Question

圆心为 $O$ 和 $P$ 的两个圆半径分别为 $2$ 和 $4$ ，并且外切。点 $A$ 和 $B$ 在圆心为 $O$ 的圆上，点 $C$ 和 $D$ 在圆心为 $P$ 的圆上，使得 $AD$ 和 $BC$ 是两个圆的公外切线。六边形 $AOBCPD$ 的面积是多少？

Circles with centers $O$ and $P$ have radii $2$ and $4,$ respectively, and are externally tangent. Points $A$ and $B$ are on the circle centered at $O,$ and points $C$ and $D$ are on the circle centered at $P,$ such that $AD$ and $BC$ are common external tangents to the circles. What is the area of hexagon $AOBCPD?$

$18\sqrt{3}$

$24\sqrt{2}$

$36$

$24\sqrt{3}$

$32\sqrt{2}$

答案：B

知识点：相切圆梯形勾股定理

难度评级：1680

小提示：

两圆圆心距离 $OP = 2 + 4 = 6$ ，到切点的半径垂直于切线。

The centers are $OP = 2 + 4 = 6$ apart, and the radii to the tangent points are perpendicular to the tangent

大提示：

$AOPD$ 是直角梯形；用勾股定理求它的斜边，再把面积加倍

$AOPD$ is a right trapezoid; find its slant side with the Pythagorean theorem, then double the area

解答：

两圆外切，所以 $OP = 2 + 4 = 6$ 。在四边形 $AOPD$ 中， $OA = 2$ 和 $PD = 4$ 都垂直于切线 $AD$ ，因此它是直角梯形。

过 $O$ 作平行于 $AD$ 的直线，可形成一个直角三角形，斜边为 $OP = 6$ ，一条直角边为 $PD - OA = 2$ ，所以 $AD = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2$ 。

梯形 $AOPD$ 的面积为 $\frac{1}{2}(2 + 4)(4\sqrt2) = 12\sqrt2\text{。}$

由对称性，六边形 $AOBCPD$ 由两个这样的梯形组成，所以面积为 $2 \cdot 12\sqrt2 = 24\sqrt2$ 。

因此，正确答案是 B。

The circles are externally tangent, so $OP = 2 + 4 = 6.$ In quadrilateral $AOPD,$ both $OA = 2$ and $PD = 4$ are perpendicular to the tangent line $AD,$ making it a right trapezoid.

Drawing the line through $O$ parallel to $AD$ creates a right triangle with hypotenuse $OP = 6$ and one leg $PD - OA = 2,$ so $AD = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2.$

The trapezoid $AOPD$ has area $\frac{1}{2}(2 + 4)(4\sqrt2) = 12\sqrt2.$

By symmetry the hexagon $AOBCPD$ is made of two such trapezoids, so its area is $2 \cdot 12\sqrt2 = 24\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12B 第 15 题

答案：B

难度评级：1680

小提示：

大提示：

解答：

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