2006 AMC 12B 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

求下式的值： $(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}\text{？}$

What is $(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}?$

$-2006$

$-1$

$0$

$1$

$2006$

答案：C

知识点：指数配对与分组

难度评级：840

小提示：

$(-1)^k$ 的值为 $1$ （当 $k$ 为偶数）或 $-1$ （当 $k$ 为奇数）。

$(-1)^k$ equals $1$ when $k$ is even and $-1$ when $k$ is odd

大提示：

把 $2006$ 项分成连续的配对 $(-1)+1$

Group the $2006$ terms into consecutive pairs $(-1)+1$

解答：

因为奇数 $k$ 时 $(-1)^k = -1$ ，偶数 $k$ 时 $(-1)^k = 1$ ，各项交替为 $-1, 1, -1, 1, \ldots$ 。

共有 $2006$ 项，可分成 $1003$ 对，每对都是 $(-1) + 1 = 0$ 。总和为 $0$ 。

因此，正确答案是 C。

Since $(-1)^k = -1$ for odd $k$ and $(-1)^k = 1$ for even $k,$ the terms alternate $-1, 1, -1, 1, \ldots$

There are $2006$ terms, forming $1003$ pairs, each equal to $(-1) + 1 = 0.$ The total is $0.$

Thus, the correct answer is C.

2.

对实数 $x$ 和 $y$ ，定义 $x \spadesuit y = (x + y)(x - y)\text{。}$ 求 $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)$ 。

For real numbers $x$ and $y,$ define $x \spadesuit y = (x + y)(x - y).$ What is $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)?$

$-72$

$-27$

$-24$

$24$

$72$

答案：A

知识点：自定义运算平方差

难度评级：990

小提示：

$x \spadesuit y = x^2 - y^2$ 。

Note that $x \spadesuit y = x^2 - y^2$

大提示：

先计算里面的 $4 \spadesuit 5$ ，再把运算应用一次

Evaluate the inner $4 \spadesuit 5$ first, then apply the operation again

解答：

因为 $x \spadesuit y = x^2 - y^2$ ，里面的值为 $4 \spadesuit 5 = 16 - 25 = -9$ 。

于是 $3 \spadesuit (-9) = 3^2 - (-9)^2$ $= 9 - 81 = -72$ 。

因此，正确答案是 A。

Since $x \spadesuit y = x^2 - y^2,$ the inner value is $4 \spadesuit 5 = 16 - 25 = -9.$

Then $3 \spadesuit (-9) = 3^2 - (-9)^2$ $= 9 - 81 = -72.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Cougars 队和 Panthers 队进行了一场橄榄球比赛。两队总共得了 $34$ 分，Cougars 队以 $14$ 分的优势获胜。Panthers 队得了多少分？

A football game was played between two teams, the Cougars and the Panthers. The two teams scored a total of $34$ points, and the Cougars won by a margin of $14$ points. How many points did the Panthers score?

$10$

$14$

$17$

$20$

$24$

答案：A

知识点：方程组

难度评级：940

小提示：

设两队得分为 $c$ 和 $p$ ，则 $c + p = 34$ ，且 $c - p = 14$ 。

Let $c$ and $p$ be the two scores, with $c + p = 34$ and $c - p = 14$

大提示：

两个方程相减可得到 $2p$

Subtracting the two equations isolates $2p$

解答：

设 Cougars 和 Panthers 的得分分别为 $c$ 和 $p$ ，则 $c + p = 34$ ，且 $c - p = 14$ 。

相减得 $2p = 20$ ，所以 $p = 10$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $c$ and $p$ be the Cougars’ and Panthers’ scores. Then $c + p = 34$ and $c - p = 14.$

Subtracting gives $2p = 20,$ so $p = 10.$

Thus, the correct answer is A.

4.

Mary 准备在杂货店为五件商品付款。这些商品的价格分别为 $\$7.99$ ， $\$4.99$ ， $\$2.99$ ， $\$1.99$ ，和 $\$0.99$ 。Mary 将用一张二十美元的纸币付款。她收到的找零约占 $\$20.00$ 的百分之几？

Mary is about to pay for five items at the grocery store. The prices of the items are $\$7.99,$ $\$4.99,$ $\$2.99,$ $\$1.99,$ and $\$0.99.$ Mary will pay with a twenty-dollar bill. Which of the following is closest to the percentage of the $\$20.00$ that she will receive in change?

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

答案：A

知识点：估算百分数

难度评级：1080

小提示：

把每个价格四舍五入到最接近的美元，快速估计总价

Round each price to the nearest dollar to estimate the total quickly

大提示：

找零是 $\$20$ 减去总价；把它与 $\$20$ 比较成分数

The change is $\$20$ minus the total; compare it to $\$20$ as a fraction

解答：

商品价格总计 $\$18.95$ ，所以找零为 $\$1.05$ 。它占 $\$20.00$ 的百分比为 $\frac{1.05}{20}\cdot100\% = 5.25\%\text{。}$ 最接近的选项是 $5\%$ 。

所以正确答案是 A。

The prices total $\$18.95,$ so the change is $\$1.05.$ As a percentage of $\$20.00,$ this is $\frac{1.05}{20}\cdot100\% = 5.25\%.$ The closest listed percentage is $5\%.$

Thus, the correct answer is A.

5.

John 以每小时 $3$ 英里的速度向东走，Bob 也向东走，但速度为每小时 $5$ 英里。如果 Bob 现在在 John 以西 $1$ 英里处，Bob 需要多少分钟才能追上 John？

John is walking east at a speed of $3$ miles per hour, while Bob is also walking east, but at a speed of $5$ miles per hour. If Bob is now $1$ mile west of John, how many minutes will it take for Bob to catch up to John?

$30$

$50$

$60$

$90$

$120$

答案：A

知识点：相对速度路程、速度与时间

难度评级：1100

小提示：

Bob 缩短距离的速度是两人的速度差

Bob gains ground at the difference of the two speeds

大提示：

他要以每小时 $5 - 3$ 英里的速度追上 $1$ 英里的差距。

He must close a $1$ -mile gap at $5 - 3$ miles per hour

解答：

Bob 以每小时 $5 - 3 = 2$ 英里的相对速度缩短距离。追平 $1$ 英里的差距需要 $\frac{1}{2}$ 小时，也就是 $30$ 分钟。

因此，正确答案是 A。

Bob closes the gap at a relative speed of $5 - 3 = 2$ miles per hour. To cover the $1$ -mile gap takes $\frac{1}{2}$ hour, or $30$ minutes.

Thus, the correct answer is A.

6.

Francesca 用 $100$ 克柠檬汁、 $100$ 克糖和 $400$ 克水制作柠檬水。 $100$ 克柠檬汁含有 $25$ 卡路里， $100$ 克糖含有 $386$ 卡路里。水不含卡路里。每 $200$ 克这种柠檬水含有多少卡路里？

Francesca uses $100$ grams of lemon juice, $100$ grams of sugar, and $400$ grams of water to make lemonade. There are $25$ calories in $100$ grams of lemon juice and $386$ calories in $100$ grams of sugar. Water contains no calories. How many calories are in $200$ grams of her lemonade?

$129$

$137$

$174$

$223$

$411$

答案：B

知识点：比与比例

难度评级：1070

小提示：

先求整批柠檬水的总卡路里和总克数

Find the total calories and total grams of the whole batch first

大提示：

$200$ 克是整批 $600$ 克的三分之一

$200$ grams is one third of the full $600$ -gram batch

解答：

整批柠檬水重 $100 + 100 + 400 = 600$ 克，含有 $25 + 386 = 411$ 卡路里。

因为 $200$ 克是整批的三分之一，所以它含有 $\frac{411}{3} = 137$ 卡路里。

因此，正确答案是 B。

The full batch weighs $100 + 100 + 400 = 600$ grams and contains $25 + 386 = 411$ calories.

Since $200$ grams is one third of the batch, it has $\frac{411}{3} = 137$ calories.

Thus, the correct answer is B.

7.

Lopez 先生和 Lopez 太太有两个孩子。他们上家庭汽车时，两个人坐在前排，另外两个人坐在后排。Lopez 先生或 Lopez 太太必须坐在驾驶座。共有多少种座位安排？

Mr. and Mrs. Lopez have two children. When they get into their family car, two people sit in the front, and the other two sit in the back. Either Mr. Lopez or Mrs. Lopez must sit in the driver’s seat. How many seating arrangements are possible?

$4$

$12$

$16$

$24$

$48$

答案：B

知识点：乘法原理有限制的排列

难度评级：1180

小提示：

按顺序安排座位：驾驶座、副驾驶座，然后是两个后排座位

Fill the seats in order: driver, then front passenger, then the two back seats

大提示：

驾驶座有 $2$ 种选择，副驾驶座有 $3$ 种选择，后排有 $2$ 种顺序

There are $2$ choices for the driver and $3$ for the front passenger, then $2$ orders in back

解答：

驾驶员是两位父母之一：有 $2$ 种选择。

剩下的 $3$ 人中任意一人可以坐副驾驶座，最后 $2$ 人坐后排，有 $2$ 种顺序。

总数为 $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ 。

因此，正确答案是 B。

The driver is one of the two parents: $2$ choices.

Any of the remaining $3$ people can sit in the front passenger seat, and the last $2$ people fill the back in $2$ orders.

The total is $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12.$

Thus, the correct answer is B.

8.

直线 $x = \tfrac14 y + a, \qquad y = \tfrac14 x + b$ 相交于点 $(1, 2)$ 。求 $a + b$ 。

The lines $x = \tfrac14 y + a, \qquad y = \tfrac14 x + b$ intersect at the point $(1, 2).$ What is $a + b?$

$0$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$2$

$\dfrac{9}{4}$

答案：E

知识点：方程组换元法

难度评级：1250

小提示：

把 $x = 1$ 和 $y = 2$ 代入两个方程。

Substitute $x = 1$ and $y = 2$ into both equations

大提示：

分别解出 $a$ 和 $b$ ，再相加

Solve each equation for $a$ and $b$ separately, then add

解答：

代入 $(1, 2)$ ，得到 $1 = \frac{2}{4} + a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1}{2}\text{，}$ 且 $2 = \frac{1}{4} + b \quad\Rightarrow\quad b = \frac{7}{4}\text{。}$

因此 $a + b = \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Substituting $(1, 2)$ gives $1 = \frac{2}{4} + a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1}{2},$ and $2 = \frac{1}{4} + b \quad\Rightarrow\quad b = \frac{7}{4}.$

Therefore $a + b = \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}.$

Thus, the correct answer is E.

9.

有多少个三位偶数满足：从左到右读，它们的各位数字严格递增？

How many even three-digit integers have the property that their digits, read left to right, are in strictly increasing order?

$21$

$34$

$51$

$72$

$150$

答案：B

知识点：数字组合分类讨论

难度评级：1390

小提示：

个位数字是偶数；前两个较小的数字都必须小于它

The units digit is even; the two smaller digits must both be less than it

大提示：

对每个偶数个位 $c$ 数出从小于 $c$ 的数字中选两个递增数字的方法数

For each even units digit $c,$ count the ways to choose two increasing digits below $c$

解答：

设三个数字为 $a \lt b \lt c$ ，且 $c$ 为偶数。因为 $a \geq 1$ ，没有数字为零，并且 $c \neq 2$ （没有两个更小的非零数字可选）。

一旦个位数字 $c$ 固定，任意两个小于它的不同数字都能按递增顺序唯一排列。因此每个 $c$ 的计数是 $\binom{c-1}{2}$ 。

对 $c = 4, 6, 8$ 分别计数，得到 $\begin{aligned} &\binom{3}{2} + \binom{5}{2} \\ &\quad {}+ \binom{7}{2} = 3 + 10 + 21 \\ &\quad = 34 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let the digits be $a \lt b \lt c$ with $c$ even. Since $a \geq 1,$ no digit is zero, and $c \neq 2$ (there is no room for two smaller nonzero digits).

Once the units digit $c$ is fixed, any two distinct digits below it can be arranged in increasing order in exactly one way. So the count for each $c$ is $\binom{c-1}{2}.$

For $c = 4, 6, 8$ this gives $\begin{aligned} &\binom{3}{2} + \binom{5}{2} \\ &\quad {}+ \binom{7}{2} = 3 + 10 + 21 \\ &\quad = 34. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

10.

一个三角形的边长都是整数，其中一条边是第二条边的三倍，第三条边长为 $15$ 。这个三角形的最大可能周长是多少？

In a triangle with integer side lengths, one side is three times as long as a second side, and the length of the third side is $15.$ What is the greatest possible perimeter of the triangle?

$43$

$44$

$45$

$46$

$47$

答案：A

知识点：三角不等式最优化

难度评级：1450

小提示：

设三边为 $x$ 、 $3x$ 和 $15$ ，再使用三角形不等式。

Let the sides be $x,$ $3x,$ and $15,$ then apply the triangle inequality

大提示：

起限制作用的条件是 $x + 15 \gt 3x$ ，它给出了 $x$ 的上界。

The binding condition is $x + 15 \gt 3x,$ which caps how large $x$ can be

解答：

设三边为 $x$ 、 $3x$ 和 $15$ 。三角形不等式要求 $x + 3x \gt 15$ ，所以 $x \geq 4$ ；且 $x + 15 \gt 3x$ ，所以 $x \leq 7$ 。

周长 $4x + 15$ 在 $x = 7$ 时最大，得到 $7 + 21 + 15 = 43$ 。

因此，正确答案是 A。

Let the sides be $x,$ $3x,$ and $15.$ The triangle inequality requires $x + 3x \gt 15,$ so $x \geq 4,$ and $x + 15 \gt 3x,$ so $x \leq 7.$

The perimeter $4x + 15$ is largest when $x = 7,$ giving $7 + 21 + 15 = 43.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Joe 和 JoAnn 各自在 $16$ 盎司杯中买了 $12$ 盎司咖啡。Joe 喝掉 $2$ 盎司咖啡后加入 $2$ 盎司奶油。JoAnn 先加入 $2$ 盎司奶油，充分搅拌后再喝掉 $2$ 盎司。最后 Joe 的咖啡中奶油量与 JoAnn 的咖啡中奶油量之比是多少？

Joe and JoAnn each bought $12$ ounces of coffee in a $16$ -ounce cup. Joe drank $2$ ounces of his coffee and then added $2$ ounces of cream. JoAnn added $2$ ounces of cream, stirred the coffee well, and then drank $2$ ounces. What is the resulting ratio of the amount of cream in Joe’s coffee to that in JoAnn’s coffee?

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{13}{14}$

$1$

$\dfrac{14}{13}$

$\dfrac{7}{6}$

答案：E

知识点：混合问题比与比例

难度评级：1510

小提示：

Joe 是喝完后才加奶油，所以他的 $2$ 盎司奶油全部留下

Joe adds cream after drinking, so all $2$ ounces of his cream remain

大提示：

JoAnn 从充分混合的 $14$ 盎司饮料中喝掉一部分，奶油按比例减少

JoAnn drinks from a well-mixed $14$ -ounce cup, removing cream in proportion

解答：

Joe 最后加入奶油，所以杯中保留了全部 $2$ 盎司奶油。

JoAnn 的杯中有 $14$ 盎司混合物，其中含 $2$ 盎司奶油。喝掉 $2$ 盎司会按比例移走 $\tfrac{2}{14}$ 的所有成分，剩下的奶油为 $2 \cdot \frac{12}{14} = \frac{12}{7}$ 盎司。

比值为 $\frac{2}{\,\frac{12}{7}\,} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Joe adds the cream last, so his cup holds all $2$ ounces of cream.

JoAnn’s cup has $14$ ounces of mixture containing $2$ ounces of cream. Drinking $2$ ounces removes a fraction $\tfrac{2}{14}$ of everything, leaving $2 \cdot \frac{12}{14} = \frac{12}{7}$ ounces of cream.

The ratio is $\frac{2}{\,\frac{12}{7}\,} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}.$

Thus, the correct answer is E.

12.

抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点为 $(p, p)$ ，且 $y$ 轴截距为 $(0, -p)$ ，其中 $p \neq 0$ 。求 $b$ 。

The parabola $y = ax^2 + bx + c$ has vertex $(p, p)$ and $y$ -intercept $(0, -p),$ where $p \neq 0.$ What is $b?$

$-p$

$0$

$2$

$4$

$p$

答案：D

知识点：抛物线二次方程

难度评级：1530

小提示：

把抛物线写成顶点式 $y = a(x - p)^2 + p$ 。

Write the parabola in vertex form $y = a(x - p)^2 + p$

大提示：

利用 $y$ 轴截距求出用 $p$ 表示的 $a$ ，再读出 $x$ 的系数。

Use the $y$ -intercept to find $a$ in terms of $p,$ then read off the coefficient of $x$

解答：

顶点式为 $y = a(x - p)^2 + p$ 。

当 $x = 0$ 时， $y = ap^2 + p = -p$ ，所以 $ap^2 = -2p$ ，且 $a = -\dfrac{2}{p}$ 。

展开得 $y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p$ ，所以 $b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4$ 。

因此，正确答案是 D。

The vertex form is $y = a(x - p)^2 + p.$

At $x = 0,$ $y = ap^2 + p = -p,$ so $ap^2 = -2p$ and $a = -\dfrac{2}{p}.$

Expanding, $y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,$ so $b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.$

Thus, the correct answer is D.

13.

菱形 $ABCD$ 与菱形 $BFDE$ 相似。菱形 $ABCD$ 的面积为 $24$ ，且 $\angle BAD = 60^\circ$ 。菱形 $BFDE$ 的面积是多少？

Rhombus $ABCD$ is similar to rhombus $BFDE.$ The area of rhombus $ABCD$ is $24,$ and $\angle BAD = 60^\circ.$ What is the area of rhombus $BFDE?$

$6$

$4\sqrt{3}$

$8$

$9$

$6\sqrt{3}$

答案：C

知识点：菱形等边三角形面积分割

难度评级：1660

小提示：

因为 $\angle BAD = 60^\circ$ ，三角形 $ABD$ 是等边三角形，所以 $BD$ 等于菱形的边长。

Since $\angle BAD = 60^\circ,$ triangle $ABD$ is equilateral, so $BD$ equals a side

大提示：

若对角线交于 $O$ ，则 $\triangle ABO$ 是一个 $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ 三角形；比较长、短对角线

If the diagonals meet at $O,$ then $\triangle ABO$ is a $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ triangle; compare the long and short diagonals

解答：

设菱形 $ABCD$ 的两条对角线交于 $O$ 。它们互相垂直平分；又因为 $\angle BAD=60^\circ$ ，所以三角形 $ABO$ 是 $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ 三角形。因此两条半对角线满足 $AO=\sqrt3\,BO$ 。

线段 $BD$ 是 $ABCD$ 的短对角线，也是相似菱形 $BFDE$ 的长对角线。因此小菱形与大菱形的长度之比为 $\frac{BD}{AC}=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{\sqrt3}$ 。面积按这个比的平方缩放，所以 $BFDE$ 的面积为 $24\cdot\dfrac13=8$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the diagonals of $ABCD$ meet at $O.$ They bisect each other at right angles, and since $\angle BAD=60^\circ,$ triangle $ABO$ is a $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ triangle. Hence the half-diagonals satisfy $AO=\sqrt3\,BO.$

The segment $BD$ is the short diagonal of $ABCD$ and the long diagonal of the similar rhombus $BFDE.$ Thus the smaller-to-larger length ratio is $\frac{BD}{AC}=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{\sqrt3}.$ Areas scale by the square of this ratio, so the area of $BFDE$ is $24\cdot\dfrac13=8.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Elmo 为筹款活动制作 $N$ 个三明治。每个三明治使用 $B$ 团花生酱，每团 $4$ ¢；以及 $J$ 团果酱，每团 $5$ ¢。制作所有三明治所用花生酱和果酱的成本为 $\$2.53$ 。假设 $B$ 、 $J$ 和 $N$ 都是正整数，且 $N \gt 1$ 。Elmo 制作这些三明治所用果酱的成本是多少？

Elmo makes $N$ sandwiches for a fundraiser. For each sandwich he uses $B$ globs of peanut butter at $4$ ¢ per glob and $J$ blobs of jam at $5$ ¢ per blob. The cost of the peanut butter and jam to make all the sandwiches is $\$2.53.$ Assume that $B,$ $J,$ and $N$ are positive integers with $N \gt 1.$ What is the cost of the jam Elmo uses to make the sandwiches?

$\$1.05$

$\$1.25$

$\$1.45$

$\$1.65$

$\$1.85$

答案：D

知识点：丢番图方程质因数分解分类讨论

难度评级：1680

小提示：

总成本为 $N(4B + 5J) = 253$ 美分；分解 $253$ 。

The total cost is $N(4B + 5J) = 253$ cents; factor $253$

大提示：

检验约数 $N = 11, 23, 253$ ，并要求 $B$ 和 $J$ 都是正整数。

Test $N = 11, 23, 253,$ then determine the numbers of peanut-butter globs $B$ and jam blobs $J$

解答：

以美分计，总成本为 $N(4B + 5J) = 253 = 11 \cdot 23$ 。因为 $N \gt 1$ ， $N$ 的可能值为 $11$ 、 $23$ 或 $253$ 。

若 $N = 253$ 则 $4B + 5J = 1$ ；若 $N = 23$ 则 $4B + 5J = 11$ ；二者都没有正整数解。

所以 $N = 11$ ，且 $4B + 5J = 23$ ，唯一的正整数解为 $B = 2$ 、 $J = 3$ 。

果酱成本为 $N \cdot J \cdot 5$ ¢ $= 11 \cdot 3 \cdot 5 = 165$ 美分，即 $\$1.65$ 。

因此，正确答案是 D。

The total cost in cents is $N(4B + 5J) = 253 = 11 \cdot 23.$ Since $N \gt 1,$ the value of $N$ is $11,$ $23,$ or $253.$

If $N = 253$ then $4B + 5J = 1,$ and if $N = 23$ then $4B + 5J = 11;$ neither has a positive integer solution.

So $N = 11$ and $4B + 5J = 23,$ whose only positive solution is $B = 2,$ $J = 3.$

The jam costs $N \cdot J \cdot 5$ ¢ $= 11 \cdot 3 \cdot 5 = 165$ cents, or $\$1.65.$

Thus, the correct answer is D.

15.

圆心为 $O$ 和 $P$ 的两个圆半径分别为 $2$ 和 $4$ ，并且外切。点 $A$ 和 $B$ 在圆心为 $O$ 的圆上，点 $C$ 和 $D$ 在圆心为 $P$ 的圆上，使得 $AD$ 和 $BC$ 是两个圆的公外切线。六边形 $AOBCPD$ 的面积是多少？

Circles with centers $O$ and $P$ have radii $2$ and $4,$ respectively, and are externally tangent. Points $A$ and $B$ are on the circle centered at $O,$ and points $C$ and $D$ are on the circle centered at $P,$ such that $AD$ and $BC$ are common external tangents to the circles. What is the area of hexagon $AOBCPD?$

$18\sqrt{3}$

$24\sqrt{2}$

$36$

$24\sqrt{3}$

$32\sqrt{2}$

答案：B

知识点：相切圆梯形勾股定理

难度评级：1680

小提示：

两圆圆心距离 $OP = 2 + 4 = 6$ ，到切点的半径垂直于切线。

The centers are $OP = 2 + 4 = 6$ apart, and the radii to the tangent points are perpendicular to the tangent

大提示：

$AOPD$ 是直角梯形；用勾股定理求它的斜边，再把面积加倍

$AOPD$ is a right trapezoid; find its slant side with the Pythagorean theorem, then double the area

解答：

两圆外切，所以 $OP = 2 + 4 = 6$ 。在四边形 $AOPD$ 中， $OA = 2$ 和 $PD = 4$ 都垂直于切线 $AD$ ，因此它是直角梯形。

过 $O$ 作平行于 $AD$ 的直线，可形成一个直角三角形，斜边为 $OP = 6$ ，一条直角边为 $PD - OA = 2$ ，所以 $AD = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2$ 。

梯形 $AOPD$ 的面积为 $\frac{1}{2}(2 + 4)(4\sqrt2) = 12\sqrt2\text{。}$

由对称性，六边形 $AOBCPD$ 由两个这样的梯形组成，所以面积为 $2 \cdot 12\sqrt2 = 24\sqrt2$ 。

因此，正确答案是 B。

The circles are externally tangent, so $OP = 2 + 4 = 6.$ In quadrilateral $AOPD,$ both $OA = 2$ and $PD = 4$ are perpendicular to the tangent line $AD,$ making it a right trapezoid.

Drawing the line through $O$ parallel to $AD$ creates a right triangle with hypotenuse $OP = 6$ and one leg $PD - OA = 2,$ so $AD = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2.$

The trapezoid $AOPD$ has area $\frac{1}{2}(2 + 4)(4\sqrt2) = 12\sqrt2.$

By symmetry the hexagon $AOBCPD$ is made of two such trapezoids, so its area is $2 \cdot 12\sqrt2 = 24\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

16.

正六边形 $ABCDEF$ 的顶点 $A$ 和 $C$ 分别为 $(0, 0)$ 和 $(7, 1)$ 。它的面积是多少？

Regular hexagon $ABCDEF$ has vertices $A$ and $C$ at $(0, 0)$ and $(7, 1),$ respectively. What is its area?

$20\sqrt{3}$

$22\sqrt{3}$

$25\sqrt{3}$

$27\sqrt{3}$

$50$

答案：C

知识点：正多边形距离公式面积

难度评级：1740

小提示：

$A$ 和 $C$ 相隔两个顶点，所以 $AC$ 是正六边形的一条短对角线

$A$ and $C$ are two vertices apart, so $AC$ is a short diagonal of the hexagon

大提示：

若边长为 $s$ ，短对角线为 $s\sqrt3$ ；面积为 $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$

For side length $s,$ the short diagonal is $s\sqrt3;$ the area is $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$

解答：

距离 $AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}$ 。正六边形边长为 $s$ 时，相隔两个顶点的距离为 $s\sqrt3$ ，所以 $s^2 \cdot 3 = 50$ ，即 $s^2 = \dfrac{50}{3}$ 。

六边形面积为 $\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The distance is $AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}.$ In a regular hexagon with side $s,$ the distance between vertices two apart is $s\sqrt3,$ so $s^2 \cdot 3 = 50,$ giving $s^2 = \dfrac{50}{3}.$

The hexagon’s area is $\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3.$

Thus, the correct answer is C.

17.

有一对特殊的骰子，每个骰子掷出 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 和 $6$ 的概率之比为 $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6$ 。掷这两个骰子，总和为 $7$ 的概率是多少？

For a particular peculiar pair of dice, the probabilities of rolling $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6$ on each die are in the ratio $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6.$ What is the probability of rolling a total of $7$ on the two dice?

$\dfrac{4}{63}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{8}{63}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{7}$

答案：C

知识点：骰子（概率）基本概率

难度评级：1740

小提示：

掷出 $k$ 的概率是 $\dfrac{k}{1+2+\cdots+6} = \dfrac{k}{21}$

The probability of rolling $k$ is $\dfrac{k}{1+2+\cdots+6} = \dfrac{k}{21}$

大提示：

对总和为 $7$ 的各对数，求和 $\dfrac{k}{21} \cdot \dfrac{7-k}{21}$

Sum $\dfrac{k}{21} \cdot \dfrac{7-k}{21}$ over the pairs that total $7$

解答：

因为权重之和为 $21$ ，掷出 $k$ 的概率为 $\dfrac{k}{21}$ 。

总和为 $7$ 来自 $(1,6), (2,5), \ldots, (6,1)$ ，所以概率为 $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Since the weights sum to $21,$ the probability of rolling $k$ is $\dfrac{k}{21}.$

A total of $7$ comes from $(1,6), (2,5), \ldots, (6,1),$ so the probability is $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

18.

平面上的一个物体从一个格点移动到另一个格点。每一步，物体可以向右、向左、向上或向下移动一个单位。如果物体从原点出发，走一条十步路径，那么终点可能有多少个不同的位置？

An object in the plane moves from one lattice point to another. At each step, the object may move one unit to the right, one unit to the left, one unit up, or one unit down. If the object starts at the origin and takes a ten-step path, how many different points could be the final point?

$120$

$121$

$221$

$230$

$231$

答案：B

知识点：格点奇偶性基本计数

难度评级：1820

小提示：

$10$ 步后终点 $(a, b)$ 满足 $|a| + |b| \le 10$ ，且 $a + b$ 为偶数。

After $10$ steps the endpoint $(a, b)$ satisfies $|a| + |b| \le 10$ with $a + b$ even

大提示：

数出菱形 $|a| + |b| \le 10$ 内坐标和为偶数的格点

Count lattice points with even coordinate sum inside the diamond $|a| + |b| \le 10$

解答：

每一步都会使坐标和改变 $1$ ，所以 $10$ 步后终点 $(a, b)$ 满足 $a + b$ 为偶数，且 $|a| + |b| \le 10$ 。任何这样的点都可到达：先走 $|a| + |b|$ 步到达它，再用剩下的偶数步往返。

可到达的点落在直线 $a + b = 2k$ 上，其中 $-5 \le k \le 5$ 。每条这样的直线与该菱形恰有 $11$ 个格点。

共有 $11$ 条直线，每条 $11$ 个点，因此共有 $121$ 个点。

因此，正确答案是 B。

Each step changes the coordinate sum by $1,$ so after $10$ steps the endpoint $(a, b)$ has $a + b$ even, and $|a| + |b| \le 10.$ Any such point is reachable: walk $|a| + |b|$ steps to it, then use the remaining even number of steps going out and back.

The reachable points lie on the lines $a + b = 2k$ for $-5 \le k \le 5.$ Each such line meets the diamond in exactly $11$ lattice points.

With $11$ lines and $11$ points each, there are $121$ points.

Thus, the correct answer is B.

19.

Jones 先生有八个年龄各不相同的孩子。在一次家庭旅行中，他最大的孩子 $9$ 岁，看到一块车牌上的 $4$ 位数，其中两个数字各出现两次。她喊道：“看，爸爸！那个数能被我们每个孩子的年龄整除！” Jones 先生回答：“没错，而且最后两位数字刚好是我的年龄。”下列哪一个不是 Jones 先生某个孩子的年龄？

Mr. Jones has eight children of different ages. On a family trip his oldest child, who is $9,$ spots a license plate with a $4$ -digit number in which each of two digits appears two times. “Look, daddy!” she exclaims. “That number is evenly divisible by the age of each of us kids!” “That’s right,” replies Mr. Jones, “and the last two digits just happen to be my age.” Which of the following is not the age of one of Mr. Jones’s children?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：B

知识点：整除性数字分类讨论

难度评级：1920

小提示：

最大的孩子 $9$ 岁，所以该数能被 $9$ 整除，迫使两个数字之和为 $9$ 。

The oldest child is $9,$ so the number is divisible by $9,$ forcing the two digits to sum to $9$

大提示：

一个以两位年龄结尾的数不能以 $0$ 结尾，因此思考它必须避开哪个较小的年龄。

A number ending in a two-digit age cannot end in $0,$ so think about which small ages it must avoid

解答：

这个数的形式为 $aabb$ ， $abab$ ，或 $baab$ 。能被 $9$ 整除说明 $2(a + b)$ 是 $9$ 的倍数，所以 $a + b = 9$ 。

八个不同年龄是从 $1$ 到 $9$ 的九个整数中的八个，所以年龄 $4$ 和 $8$ 中至少出现一个。因此这个数能被 $4$ 整除。可能性变为 $1188, 2772, 3636$ ， $5544, 6336, 7272, 9900$ 。

因为末两位是 Jones 先生的年龄， $9900$ 不可能，其余数也都不是 $5$ 的倍数。所以孩子们的年龄不能包含 $5$ 。事实上， $5544$ 能被 $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9$ 整除。

所以正确答案是 B。

The number has the form $aabb,$ $abab,$ or $baab.$ Divisibility by $9$ means $2(a + b)$ is a multiple of $9,$ so $a + b = 9.$

The eight distinct ages are eight of the nine integers from $1$ through $9,$ so at least one of ages $4$ and $8$ occurs. Therefore the number is divisible by $4.$ The possibilities become $1188, 2772, 3636,$ $5544, 6336, 7272, 9900.$

Since the last two digits are Mr. Jones’s age, $9900$ is impossible, and none of the others is a multiple of $5.$ So the children’s ages cannot include $5.$ Indeed $5544$ is divisible by $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.$

Thus, the correct answer is B.

20.

从区间 $(0, 1)$ 中随机选取 $x$ 。满足 $\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0$ 的概率是多少？这里 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。

Let $x$ be chosen at random from the interval $(0, 1).$ What is the probability that $\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?$ Here $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{20}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

答案：C

知识点：取整函数对数几何概率

难度评级：2090

小提示：

条件表示 $x$ 和 $4x$ 具有相同的十的幂数量级

The condition says $x$ and $4x$ have the same power-of-ten magnitude

大提示：

在每个区间 $[10^n, 10^{n+1})$ 上，条件在 $x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$ 时成立。

On each interval $[10^n, 10^{n+1}),$ the condition holds for $x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$

解答：

方程表示 $\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor$ ，也就是 $x$ 和 $4x$ 位于同一区间 $[10^n, 10^{n+1})$ 。

这恰好在 $10^n \le x$ 且 $4x \lt 10^{n+1}$ 时成立，即 $10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$ 。

在 $[10^n, 10^{n+1})$ 内，有利部分所占比例为 $\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6} \end{aligned}\text{。}$

因为这个比例在每个这样的区间上都相同，所以总概率为 $\dfrac{1}{6}$ 。

因此，正确答案是 C。

The equation says $\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor,$ i.e. $x$ and $4x$ lie in the same interval $[10^n, 10^{n+1}).$

This holds exactly when $10^n \le x$ and $4x \lt 10^{n+1},$ that is $10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}.$

Within $[10^n, 10^{n+1}),$ the favorable fraction is $\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since this fraction is the same on every such interval, the overall probability is $\dfrac{1}{6}.$

Thus, the correct answer is C.

21.

矩形 $ABCD$ 的面积为 $2006$ 。一个面积为 $2006\pi$ 的椭圆经过 $A$ 和 $C$ ，焦点在 $B$ 和 $D$ 。这个矩形的周长是多少？（椭圆面积为 $\pi ab$ ，其中 $2a$ 和 $2b$ 是两条轴的长度。）

Rectangle $ABCD$ has area $2006.$ An ellipse with area $2006\pi$ passes through $A$ and $C$ and has foci at $B$ and $D.$ What is the perimeter of the rectangle? (The area of an ellipse is $\pi ab,$ where $2a$ and $2b$ are the lengths of its axes.)

$\dfrac{16\sqrt{2006}}{\pi}$

$\dfrac{1003}{4}$

$8\sqrt{1003}$

$6\sqrt{2006}$

$\dfrac{32\sqrt{1003}}{\pi}$

答案：C

知识点：椭圆代数变形

难度评级：2150

小提示：

对该椭圆，从 $A$ 到两个焦点 $B, D$ 的距离和等于矩形的两条邻边之和。

For the ellipse, the sum of distances from $A$ to the foci $B, D$ equals a rectangle diagonal plus a side

大提示：

设边长为 $x, y$ ，则 $x + y = 2a$ ，且对角线 $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}$ 。

Let the sides be $x, y;$ then $x + y = 2a$ and the diagonal $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}$

解答：

设矩形边长为 $x$ 和 $y$ 。点 $A$ 在以 $B$ 和 $D$ 为焦点的椭圆上，所以 $x + y = AB + AD = 2a$ 。两个焦点之间的距离是矩形对角线，所以 $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}$ 。

因此 $2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ $= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)$ $= 4b^2$ ，所以 $xy = 2b^2$ 。由矩形面积可得 $2b^2 = 2006$ ，从而 $b^2 = 1003$ 。

椭圆面积给出 $\pi ab = 2006\pi$ ，所以 $ab = 2006$ ，且 $a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}$ 。

矩形周长为 $2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the rectangle’s sides be $x$ and $y.$ Point $A$ is on the ellipse with foci $B$ and $D,$ so $x + y = AB + AD = 2a.$ The distance between the foci is the diagonal, so $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.$

Then $2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ $= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)$ $= 4b^2,$ so $xy = 2b^2.$ The area gives $2b^2 = 2006,$ hence $b^2 = 1003.$

The ellipse area gives $\pi ab = 2006\pi,$ so $ab = 2006$ and $a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}.$

The perimeter is $2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}.$

Thus, the correct answer is C.

22.

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数，且 $a + b + c = 2006$ ，并且 $a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 为整数，且 $m$ 不能被 $10$ 整除。 $n$ 的最小可能值是多少？

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers with $a + b + c = 2006,$ and $a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n,$ where $m$ and $n$ are integers and $m$ is not divisible by $10.$ What is the smallest possible value of $n?$

$489$

$492$

$495$

$498$

$501$

答案：B

知识点：勒让德公式末尾零最优化

难度评级：2300

小提示：

因子 $5$ 比因子 $2$ 少，所以 $n$ 计数的是 $a!\,b!\,c!$ 中因子 $5$ 的个数。

Factors of $5$ are scarcer than factors of $2,$ so $n$ counts the factors of $5$ in $a!\,b!\,c!$

大提示：

对每个 $5$ 的幂使用 $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ $+ \lfloor z \rfloor \ge \lfloor x + y + z \rfloor - 2$ 。

Use $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ $+ \lfloor z \rfloor \ge \lfloor x + y + z \rfloor - 2$ at each power of $5$

解答：

因子 $2$ 比因子 $5$ 充足，所以 $n$ 等于 $a!\,b!\,c!$ 中因子 $5$ 的个数，即 $n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right)\text{。}$

对每个 $k$ ， $\lfloor \frac{a}{5^k} \rfloor + \lfloor \frac{b}{5^k} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{c}{5^k} \rfloor$ $\ge \lfloor \frac{2006}{5^k} \rfloor - 2$ 。对 $k = 1, 2, 3, 4$ 求和（因为 $2006 \lt 5^5$ ），得到 $\begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492 \end{aligned}\text{。}$

等号可以达到，例如取 $a = b = 624$ 、 $c = 758$ 。所以最小值为 $492$ 。

因此，正确答案是 B。

Since factors of $2$ are more plentiful than factors of $5,$ $n$ equals the number of factors of $5$ in $a!\,b!\,c!,$ namely $n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right).$

For each $k,$ $\lfloor \frac{a}{5^k} \rfloor + \lfloor \frac{b}{5^k} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{c}{5^k} \rfloor$ $\ge \lfloor \frac{2006}{5^k} \rfloor - 2.$ Summing over $k = 1, 2, 3, 4$ (as $2006 \lt 5^5$ ) gives $\begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492. \end{aligned}$

Equality is attainable, for example with $a = b = 624$ and $c = 758.$ So the minimum is $492.$

Thus, the correct answer is B.

23.

等腰 $\triangle ABC$ 在 $C$ 处为直角。点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部，且 $PA = 11$ 、 $PB = 7$ 、 $PC = 6$ 。直角边 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的长度为 $s = \sqrt{a + b\sqrt{2}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。求 $a + b$ 。

Isosceles $\triangle ABC$ has a right angle at $C.$ Point $P$ is inside $\triangle ABC,$ such that $PA = 11,$ $PB = 7,$ and $PC = 6.$ Legs $\overline{AC}$ and $\overline{BC}$ have length $s = \sqrt{a + b\sqrt{2}},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a + b?$

$85$

$91$

$108$

$121$

$127$

答案：E

知识点：变换余弦定理勾股定理

难度评级：2390

小提示：

将 $\triangle ABC$ 绕 $C$ 旋转 $90^\circ$ ，使 $A$ 映到 $B$

Rotate $\triangle ABC$ by $90^\circ$ about $C$ so that $A$ maps onto $B$

大提示：

$P$ 的像与 $P$ 构成一个等腰直角三角形，从而确定 $\angle BPC$ 。

The image of $P$ forms an isosceles right triangle with $P,$ which pins down $\angle BPC$

解答：

将 $\triangle ABC$ 绕 $C$ 旋转 $90^\circ$ ，使 $A$ 映到 $B$ ， $P$ 映到 $P'$ 。则 $CP' = CP = 6$ ，且 $\angle PCP' = 90^\circ$ ，所以 $\triangle PCP'$ 是等腰直角三角形， $PP' = 6\sqrt2$ 。

另外 $BP' = AP = 11$ 。因为 $(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49$ $= 121 = 11^2$ ，三角形 $BPP'$ 在 $P$ 处为直角。因此 $\angle BPC = \angle BPP'$ $+ \angle P'PC = 90^\circ$ $+ 45^\circ = 135^\circ$ 。

在 $\triangle BPC$ 中使用余弦定理： $\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2 \end{aligned}\text{。}$

所以 $s^2 = 85 + 42\sqrt2$ ，得到 $a = 85$ 、 $b = 42$ ，因此 $a + b = 127$ 。

因此，正确答案是 E。

Rotate $\triangle ABC$ by $90^\circ$ about $C,$ sending $A$ to $B$ and $P$ to $P'.$ Then $CP' = CP = 6$ and $\angle PCP' = 90^\circ,$ so $\triangle PCP'$ is an isosceles right triangle with $PP' = 6\sqrt2.$

Also $BP' = AP = 11.$ Since $(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49$ $= 121 = 11^2,$ triangle $BPP'$ has a right angle at $P.$ Hence $\angle BPC = \angle BPP'$ $+ \angle P'PC = 90^\circ$ $+ 45^\circ = 135^\circ.$

By the Law of Cosines in $\triangle BPC,$ $\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}$

So $s^2 = 85 + 42\sqrt2,$ giving $a = 85,$ $b = 42,$ and $a + b = 127.$

Thus, the correct answer is E.

24.

设 $S$ 为坐标平面中所有满足 $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ 且 $0 \le y \le \dfrac{\pi}{2}$ 的点 $(x, y)$ 的集合。 $S$ 中满足下式的子集的面积是多少 $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y \le \frac{3}{4}\text{？}$

Let $S$ be the set of all points $(x, y)$ in the coordinate plane such that $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ and $0 \le y \le \dfrac{\pi}{2}.$ What is the area of the subset of $S$ for which $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y \le \frac{3}{4}?$

$\dfrac{\pi^2}{9}$

$\dfrac{\pi^2}{8}$

$\dfrac{\pi^2}{6}$

$\dfrac{3\pi^2}{16}$

$\dfrac{2\pi^2}{9}$

答案：C

知识点：三角恒等式二次方程面积

难度评级：2480

小提示：

把表达式看作关于 $\sin x$ 的二次式，并求它等于 $\dfrac34$ 的位置

Treat the expression as a quadratic in $\sin x$ and find where it equals $\dfrac34$

大提示：

边界化为 $\sin x = \sin\!\left(y \pm \dfrac{\pi}{3}\right)$ ，在 $S$ 中给出若干直线。

The boundary reduces to $\sin x = \sin\!\left(y \pm \dfrac{\pi}{3}\right),$ giving straight lines in $S$

解答：

固定 $y$ ，把 $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y = \dfrac34$ 看作关于 $\sin x$ 的二次方程： $\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2}\sin y \\ &\quad {}\pm \frac{\sqrt3}{2}\cos y \\ &\quad = \sin\!\left(y \pm \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}\text{。}$

在 $S$ 内， $\sin x = \sin\!\left(y - \tfrac{\pi}{3}\right)$ 给出直线 $x = y - \tfrac{\pi}{3}$ ；而 $\sin x = \sin\!\left(y + \tfrac{\pi}{3}\right)$ 在 $y \le \tfrac{\pi}{6}$ 时给出 $x = y + \tfrac{\pi}{3}$ ，在 $y \ge \tfrac{\pi}{6}$ 时给出 $x = -y + \tfrac{2\pi}{3}$ 。

这些直线把 $S$ 分成若干区域；检验角点可知不等式只在中间带状区域成立。其面积为 $\begin{aligned} &\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &\quad = \frac{\pi^2}{6} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Fixing $y,$ solve $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y = \dfrac34$ as a quadratic in $\sin x:$ $\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2}\sin y \\ &\quad {}\pm \frac{\sqrt3}{2}\cos y \\ &\quad = \sin\!\left(y \pm \frac{\pi}{3}\right). \end{aligned}$

Within $S,$ $\sin x = \sin\!\left(y - \tfrac{\pi}{3}\right)$ gives the line $x = y - \tfrac{\pi}{3},$ while $\sin x = \sin\!\left(y + \tfrac{\pi}{3}\right)$ gives $x = y + \tfrac{\pi}{3}$ for $y \le \tfrac{\pi}{6}$ and $x = -y + \tfrac{2\pi}{3}$ for $y \ge \tfrac{\pi}{6}.$

These lines split $S$ into regions; testing the corners shows the inequality holds only in the middle band. Its area is $\begin{aligned} &\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &\quad = \frac{\pi^2}{6}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

25.

非负整数序列 $a_1$ ， $a_2$ ， $\ldots$ 由规则 $a_{n+2} = |a_{n+1} - a_n|$ （ $n \ge 1$ ）定义。若 $a_1 = 999$ 、 $a_2 \lt 999$ ，且 $a_{2006} = 1$ ，那么 $a_2$ 可能有多少个不同的值？

A sequence $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ of non-negative integers is defined by the rule $a_{n+2} = |a_{n+1} - a_n|$ for $n \ge 1.$ If $a_1 = 999,$ $a_2 \lt 999,$ and $a_{2006} = 1,$ how many different values of $a_2$ are possible?

$165$

$324$

$495$

$499$

$660$

答案：B

知识点：最大公约数奇偶性容斥原理

难度评级：2520

小提示：

$a_n$ 和 $a_{n+3}$ 总是同奇偶；结合 $a_{2006} = 1$ 使用这一点。

The terms $a_n$ and $a_{n+3}$ always share the same parity; use this with $a_{2006} = 1$

大提示：

每一项都是 $\gcd(a_1, a_2)$ 的倍数，所以 $\gcd(999, a_2) = 1$ ；注意 $999 = 3^3 \cdot 37$ 。

Every term is a multiple of $\gcd(a_1, a_2),$ so $\gcd(999, a_2) = 1;$ note $999 = 3^3 \cdot 37$

解答：

递推规则给出 $a_n \equiv a_{n+3} \pmod 2$ ，所以 $a_2$ 与 $a_{2006} = 1$ 的奇偶性相同，因此 $a_2$ 是奇数。

每一项都是 $\gcd(a_1, a_2)$ 的倍数，而 $a_{2006} = 1$ 迫使 $\gcd(999, a_2) = 1$ 。因为 $999 = 3^3 \cdot 37$ ，所以 $a_2$ 不能被 $3$ 或 $37$ 整除。

区间 $[1, 998]$ 中有 $499$ 个奇数；去掉 $166$ 个 $3$ 的倍数和 $13$ 个 $37$ 的倍数，再加回 $4$ 个 $111$ 的倍数，得到 $499 - 166 - 13 + 4 = 324\text{。}$

每个这样的 $a_2$ 都可行。对连续正项 $u,v$ ，更新 $(u,v)\mapsto(v,|v-u|)$ 至多每两步就会减小两者的最大值。因为初始两项都不超过 $999$ ，所以某个 $a_N=0$ 会在 $N\le1999$ 时出现。

每对连续项的最大公因数不变，所以零之前的两个相等项都等于 $\gcd(999,a_2)=1$ 。此后序列循环经过 $1,1,0$ 。最后， $2006\equiv2\pmod3$ ，所以 $a_{2006}$ 与 $a_2$ 同为奇数；在这个循环中，它必定为 $1$ 。

所以正确答案是 B。

The rule gives $a_n \equiv a_{n+3} \pmod 2,$ so $a_2$ has the same parity as $a_{2006} = 1;$ thus $a_2$ is odd.

Every term is a multiple of $\gcd(a_1, a_2),$ and $a_{2006} = 1$ forces $\gcd(999, a_2) = 1.$ Since $999 = 3^3 \cdot 37,$ we need $a_2$ not divisible by $3$ or $37.$

Among the odd integers in $[1, 998]$ there are $499;$ removing the $166$ multiples of $3$ and $13$ multiples of $37,$ then adding back the $4$ multiples of $111,$ leaves $499 - 166 - 13 + 4 = 324.$

Each such $a_2$ works. For consecutive positive terms $u,v,$ the update $(u,v)\mapsto(v,|v-u|)$ reduces their maximum within at most two steps. Since both initial terms are at most $999,$ some $a_N=0$ occurs by $N\le1999.$

The gcd of each consecutive pair is invariant, so the equal terms immediately before that zero both equal $\gcd(999,a_2)=1.$ The sequence then cycles through $1,1,0.$ Finally, $2006\equiv2\pmod3,$ so $a_{2006}$ has the same odd parity as $a_2;$ in this cycle it must therefore be $1.$

Thus, the correct answer is B.