Question

正六边形 $ABCDEF$ 的顶点 $A$ 和 $C$ 分别为 $(0, 0)$ 和 $(7, 1)$ 。它的面积是多少？

Regular hexagon $ABCDEF$ has vertices $A$ and $C$ at $(0, 0)$ and $(7, 1),$ respectively. What is its area?

$20\sqrt{3}$

$22\sqrt{3}$

$25\sqrt{3}$

$27\sqrt{3}$

$50$

答案：C

知识点：正多边形距离公式面积

难度评级：1740

小提示：

$A$ 和 $C$ 相隔两个顶点，所以 $AC$ 是正六边形的一条短对角线

$A$ and $C$ are two vertices apart, so $AC$ is a short diagonal of the hexagon

大提示：

若边长为 $s$ ，短对角线为 $s\sqrt3$ ；面积为 $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$

For side length $s,$ the short diagonal is $s\sqrt3;$ the area is $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$

解答：

距离 $AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}$ 。正六边形边长为 $s$ 时，相隔两个顶点的距离为 $s\sqrt3$ ，所以 $s^2 \cdot 3 = 50$ ，即 $s^2 = \dfrac{50}{3}$ 。

六边形面积为 $\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The distance is $AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}.$ In a regular hexagon with side $s,$ the distance between vertices two apart is $s\sqrt3,$ so $s^2 \cdot 3 = 50,$ giving $s^2 = \dfrac{50}{3}.$

The hexagon’s area is $\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 16 题

答案：C

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题