Question

三个半径为 $s$ 的圆位于 $xy$ 平面第一象限。第一个圆与两条坐标轴都相切，第二个圆与第一个圆和 $x$ -轴相切，第三个圆与第一个圆和 $y$ -轴相切。另有一个半径为 $r \gt s$ 的圆，它与两条坐标轴以及第二、第三个圆相切。求 $\frac{r}{s}$ 。

Three circles of radius $s$ are drawn in the first quadrant of the $xy$ -plane. The first circle is tangent to both axes, the second is tangent to the first circle and the $x$ -axis, and the third is tangent to the first circle and the $y$ -axis. A circle of radius $r \gt s$ is tangent to both axes and to the second and third circles. What is $\frac{r}{s}?$

$5$

$6$

$8$

$9$

$10$

答案：D

知识点：相切圆坐标几何勾股定理

难度评级：2000

小提示：

按各圆的半径定出圆心：大圆圆心为 $(r, r)$ ，第二个小圆圆心为 $(3s, s)$ 。

Place the centers by their radii: the big circle is at $(r, r)$ and the second small circle at $(3s, s)$

大提示：

两个外切圆的圆心距为 $r + s$ ；再对圆心之间的水平、竖直距离使用勾股定理。

The distance between the big center and a tangent small center equals $r + s;$ apply the Pythagorean theorem to the horizontal and vertical gaps

解答：

大圆圆心为 $(r, r)$ ，第二个小圆圆心为 $(3s, s)$ 。两圆外切，所以圆心距为 $r + s$ 。

两个圆心之间的水平距离为 $r - 3s$ ，竖直距离为 $r - s$ ，因此 $(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2\text{。}$

展开并整理得 $0 = r^2 - 10rs + 9s^2$ $= (r - 9s)(r - s)$ 。因为 $r \ne s$ ，所以 $r = 9s$ ，故 $\frac{r}{s} = 9$ 。

所以正确答案是 D。

Put the big circle’s center at $(r, r)$ and the second small circle’s center at $(3s, s).$ They are externally tangent, so the distance between centers is $r + s.$

The horizontal and vertical gaps are $r - 3s$ and $r - s,$ so $(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2.$

Expanding gives $0 = r^2 - 10rs + 9s^2$ $= (r - 9s)(r - s).$ Since $r \ne s,$ we get $r = 9s,$ so $\frac{r}{s} = 9.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A 第 16 题

答案：D

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题