Question

一个 $13$ 行 $17$ 列的棋盘，每个方格中都写有一个数，从左上角开始编号，第一行编号为 $1$ ， $2$ ， $\ldots$ ， $17$ ，第二行编号为 $18$ ， $19$ ， $\ldots$ ， $34$ ，依此向下。如果重新编号，使左列从上到下为 $1$ ， $2$ ， $\ldots$ ， $13$ ，第二列为 $14$ ， $15$ ， $\ldots$ ， $26$ ，依此向右，有些方格在两种编号方式下得到相同的数。求这些方格中数字的和（任一种编号方式下都一样）。

A checkerboard of $13$ rows and $17$ columns has a number written in each square, beginning in the upper left corner, so that the first row is numbered $1,$ $2,$ $\ldots,$ $17,$ the second row $18,$ $19,$ $\ldots,$ $34,$ and so on down the board. If the board is renumbered so that the left column, top to bottom, is $1,$ $2,$ $\ldots,$ $13,$ the second column $14,$ $15,$ $\ldots,$ $26$ and so on across the board, some squares have the same numbers in both numbering systems. Find the sum of the numbers in these squares (under either system).

$222$

$333$

$444$

$555$

$666$

答案：D

知识点：丢番图方程系统列举

难度评级：1770

小提示：

第 $m$ 行第 $n$ 列的方格原来编号为 $17(m - 1) + n$ ，重新编号后为 $13(n - 1) + m$ 。

The square in row $m,$ column $n$ is numbered $17(m - 1) + n$ originally and $13(n - 1) + m$ after

大提示：

令两个表达式相等，得到 $4m - 3n = 1$ ；找出所有合法的 $(m, n)$ 。

Setting the two expressions equal gives $4m - 3n = 1$ ; find all valid $(m, n)$

解答：

方格 $(m, n)$ 原来的编号为 $17(m - 1) + n$ ，重新编号后为 $13(n - 1) + m$ 。令它们相等，得 $4m - 3n = 1\text{。}$

满足 $1 \le m \le 13$ 且 $1 \le n \le 17$ 的解为 $(1, 1)$ ， $(4, 5)$ ， $(7, 9)$ ， $(10, 13)$ ，和 $(13, 17)$ 。

这些方格中的数为 $1, 56, 111, 166$ 和 $221$ ，总和为 $555$ 。

因此，正确答案是 D。

The square $(m, n)$ is numbered $17(m - 1) + n$ originally and $13(n - 1) + m$ after renumbering. Setting these equal gives $4m - 3n = 1.$

The solutions with $1 \le m \le 13$ and $1 \le n \le 17$ are $(1, 1),$ $(4, 5),$ $(7, 9),$ $(10, 13),$ and $(13, 17).$

These squares hold the numbers $1, 56, 111, 166,$ and $221,$ whose sum is $555.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 第 16 题

答案：D

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题