Question

一个以 $O$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆经过点 $A$ 。线段 $AB$ 在点 $A$ 处与圆相切，且 $\angle AOB = \theta$ 。若点 $C$ 位于 $\overline{OA}$ 上，且 $BC$ 平分 $\angle ABO$ ，则 $OC$ 等于多少？

A circle centered at $O$ has radius $1$ and contains the point $A.$ Segment $AB$ is tangent to the circle at $A$ and $\angle AOB = \theta.$ If point $C$ lies on $\overline{OA}$ and $BC$ bisects $\angle ABO,$ then what is $OC?$

$\sec^2\theta - \tan\theta$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\cos^2\theta}{1 + \sin\theta}$

$\dfrac{1}{1 + \sin\theta}$

$\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$

答案：D

知识点：角平分线定理切线三角学

难度评级：1870

小提示：

因为 $OA = 1$ 且 $\angle OAB = 90^\circ$ ，所以 $BA = \tan\theta$ ， $OB = \sec\theta$ 。

Since $OA = 1$ and $\angle OAB = 90^\circ,$ we have $BA = \tan\theta$ and $OB = \sec\theta$

大提示：

角平分线给出 $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}$ ，且 $OC + CA = OA = 1$ 。

The bisector gives $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA},$ and $OC + CA = OA = 1$

解答：

因为 $OA = 1$ 且 $AB$ 在 $A$ 点与圆相切，角 $OAB$ 为直角，所以 $BA = \tan\theta, \qquad OB = \sec\theta\text{。}$

因为 $BC$ 平分 $\angle ABO$ ，由角平分线定理得 $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}$ 。又 $OC + CA = OA = 1$ ， $\begin{aligned} OC &= \frac{OB}{OB + BA} \\ &= \frac{\sec\theta}{\sec\theta + \tan\theta} \end{aligned}\text{。}$

分子分母同乘 $\cos\theta$ 得到 $OC = \dfrac{1}{1 + \sin\theta}$ 。

因此，正确答案是 D。

Because $OA = 1$ and $AB$ is tangent at $A,$ angle $OAB$ is right, so $BA = \tan\theta, \qquad OB = \sec\theta.$

Since $BC$ bisects $\angle ABO,$ the angle bisector theorem gives $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}.$ Using $OC + CA = OA = 1,$ $\begin{aligned} OC &= \frac{OB}{OB + BA} \\ &= \frac{\sec\theta}{\sec\theta + \tan\theta}. \end{aligned}$

Multiplying numerator and denominator by $\cos\theta$ gives $OC = \dfrac{1}{1 + \sin\theta}.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 第 17 题

答案：D

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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