Question

正方形 $ABCD$ 的边长为 $s$ ，以 $E$ 为圆心的圆半径为 $r$ ，且 $r$ 与 $s$ 都是有理数。该圆经过 $D$ ，且 $D$ 在 $\overline{BE}$ 上。点 $F$ 在圆上，并且与 $A$ 在 $\overline{BE}$ 的同侧。线段 $AF$ 与圆相切，且 $AF = \sqrt{9 + 5\sqrt{2}}$ 。 $\frac{r}{s}$ 是多少？

Square $ABCD$ has side length $s,$ a circle centered at $E$ has radius $r,$ and $r$ and $s$ are both rational. The circle passes through $D,$ and $D$ lies on $\overline{BE}.$ Point $F$ lies on the circle, on the same side of $\overline{BE}$ as $A.$ Segment $AF$ is tangent to the circle, and $AF = \sqrt{9 + 5\sqrt{2}}.$ What is $\frac{r}{s}?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{9}{5}$

答案：B

知识点：圆幂切线坐标几何

难度评级：1910

小提示：

切线长度满足 $AF^2 = AE^2 - r^2$ 。

The tangent length satisfies $AF^2 = AE^2 - r^2$

大提示：

将 $B$ 放在原点；则 $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}$ ，再比较有理部分和无理部分。

Place $B$ at the origin; then $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2},$ and match rational and irrational parts

解答：

设 $B = (0, 0)$ ， $C = (s, 0)$ ， $A = (0, s)$ ， $D = (s, s)$ ，因此 $E = \left(s + \tfrac{r}{\sqrt{2}},\ s + \tfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$ 在射线 $BD$ 上。

因为 $AF$ 是圆的切线， $AF^2 = AE^2 - r^2$ 。计算 $AE^2$ 并化简，得到 $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}$ 。

因为 $r$ 和 $s$ 都是有理数，有理部分和无理部分分别相等： $s^2 = 9$ ， $rs = 5$ 。因此 $s = 3,\ r = \tfrac{5}{3}$ ，所以 $\frac{r}{s} = \tfrac{5}{9}$ 。

因此，正确答案是 B。

Set $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s),$ so that $E = \left(s + \tfrac{r}{\sqrt{2}},\ s + \tfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$ lies on ray $BD.$

Since $AF$ is tangent to the circle, $AF^2 = AE^2 - r^2.$ Computing $AE^2$ and simplifying gives $9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}.$

Because $r$ and $s$ are rational, the rational and irrational parts match: $s^2 = 9$ and $rs = 5.$ Thus $s = 3,\ r = \tfrac{5}{3},$ and $\frac{r}{s} = \tfrac{5}{9}.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12A 第 17 题

答案：B

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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