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1985 AMC 12 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

矩形 ABCDABCD 的对角线 DBDB 被分成三个长度均为 11 的线段，分割线是互相平行的直线 LL 和 L′L'。它们分别经过 AA 和 CC，且都垂直于 DBDB。ABCDABCD 的面积四舍五入到小数点后一位为

Diagonal DBDB of rectangle ABCDABCD is divided into three segments of length 11 by parallel lines LL and L′L' that pass through AA and CC and are perpendicular to DB.DB. The area of ABCD,ABCD, rounded to one decimal place, is

4.14.1

4.24.2

4.34.3

4.44.4

4.54.5

答案：B
知识点：面积对角线矩形向量
难度评级：2240
小提示：

设矩形的两条边长为 w,hw,h，则对角线长为 33

Let the rectangle’s side lengths be w,h;w,h; then its diagonal has length 33

大提示：

将竖直边和水平边投影到对角线上，得到 h23=1\frac{h^2}{3}=1 和 w23=2\frac{w^2}{3}=2

Project the vertical and horizontal sides onto the diagonal to obtain h23=1\frac{h^2}{3}=1 and w23=2\frac{w^2}{3}=2

解答：

设 D=(0,0)D=(0,0)、B=(w,h)B=(w,h)、A=(0,h)A=(0,h)，且 C=(w,0)C=(w,0)。因为 DB=3DB=3，有 w2+h2=9w^2+h^2=9。DADA 在 DBDB 上的投影长为 h23\frac{h^2}{3}，而第一段标记线段长为 11，所以 h2=3h^2=3。同理，DCDC 的投影到达第二个分点，所以 w23=2\frac{w^2}{3}=2，且 w2=6w^2=6。因此面积为 wh=18=32≈4.2426， wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426\text{，} 四舍五入后为 4.24.2。

因此正确答案是 B。

Let D=(0,0),D=(0,0), B=(w,h),B=(w,h), A=(0,h)A=(0,h) and C=(w,0).C=(w,0). Since DB=3,DB=3, we have w2+h2=9.w^2+h^2=9. The projection of DADA onto DBDB has length h23,\frac{h^2}{3}, and the first marked segment has length 1,1, so h2=3.h^2=3. Similarly, the projection of DCDC reaches the second division point, so w23=2\frac{w^2}{3}=2 and w2=6.w^2=6. Hence the area is wh=18=32≈4.2426, wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426, which rounds to 4.2.4.2.

Therefore the correct answer is B.

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