Question

若 $\theta$ 为锐角，且 $\sin\frac12\theta=\sqrt{\frac{x-1}{2x}}\text{，}$ 则 $\tan\theta$ 等于

If $\theta$ is an acute angle and $\sin\frac12\theta=\sqrt{\frac{x-1}{2x}},$ then $\tan\theta$ equals

$x$

$\dfrac1x$

$\dfrac{\sqrt{x-1}}{x+1}$

$\dfrac{\sqrt{x^2-1}}x$

$\sqrt{x^2-1}$

答案：E

知识点：三角恒等式根式代数变形

难度评级：1930

小提示：

利用 $\cos\theta=1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})$

Use $\cos\theta=1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})$

大提示：

求得 $\cos\theta$ 后，应用 $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ ，并利用 $\theta$ 为锐角

Once $\cos\theta$ is known, apply $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ and use that $\theta$ is acute

解答：

半角恒等式给出 $\begin{aligned} \cos\theta &=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\ &=1-\frac{x-1}{x}\\ &=\frac1x \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1=x^2-1\text{。}$ 因为 $\theta$ 为锐角，其正切值为正，所以 $\tan\theta=\sqrt{x^2-1}\text{。}$

所以正确答案是 E。

The half-angle identity gives $\begin{aligned} \cos\theta &=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\ &=1-\frac{x-1}{x}\\ &=\frac1x. \end{aligned}$ Therefore $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1=x^2-1.$ Because $\theta$ is acute, its tangent is positive, so $\tan\theta=\sqrt{x^2-1}.$

Therefore, the correct answer is E.

1973 AMC 12 第 17 题

答案：E

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题