Question

若一个凸多边形除一个内角外的所有内角之和为 $2190^\circ$ ，则该多边形的边数必为

If the sum of all the angles except one of a convex polygon is $2190^\circ,$ then the number of sides of the polygon must be

$13$

$15$

$17$

$19$

$21$

答案：B

知识点：角度和不等式极限情形界定

难度评级：1600

小提示：

设省略的内角为 $x^\circ$ ，边数为 $n$

Let the omitted interior angle be $x^\circ$ and the number of sides be $n$

大提示：

利用 $0\lt x\lt180$ ，把整数 $n-2$ 限制在长度为 $1$ 的区间内

Use $0\lt x\lt180$ to trap the integer $n-2$ in an interval of length $1$

解答：

若省略的角为 $x^\circ$ ，则由凸性可得 $0\lt x\lt180$ 。因此 $180(n-2)=2190+x\text{，}$ 所以 $\frac{2190}{180} \lt n-2 \lt\frac{2370}{180}\text{。}$ 即 $12\frac16\lt n-2\lt13\frac16\text{。}$ 唯一可能的整数是 $n-2=13$ ，所以 $n=15$ 。

所以正确答案是 B。

If the omitted angle is $x^\circ,$ then convexity gives $0\lt x\lt180.$ Hence $180(n-2)=2190+x,$ so $\frac{2190}{180} \lt n-2 \lt\frac{2370}{180}.$ This is $12\frac16\lt n-2\lt13\frac16.$ The only possible integer is $n-2=13,$ so $n=15.$

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 第 16 题

答案：B

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题