Question

$ABC$ 与 $A'B'C'$ 是边互相平行且中心相同的等边三角形，如图所示。边 $BC$ 与边 $B'C'$ 之间的距离是 $\triangle ABC$ 的高的 $\frac16$ 。 $\triangle A'B'C'$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比为

$ABC$ and $A'B'C'$ are equilateral triangles with parallel sides and the same center, as in the figure. The distance between side $BC$ and side $B'C'$ is $\frac16$ the altitude of $\triangle ABC.$ The ratio of the area of $\triangle A'B'C'$ to the area of $\triangle ABC$ is

$\frac1{36}$

$\frac16$

$\frac14$

$\frac{\sqrt3}{4}$

$\frac{9+8\sqrt3}{36}$

答案：C

知识点：equilateral triangles 重心 area scale factor

难度评级：1660

小提示：

重心到三角形底边的距离是高的三分之一

A centroid lies one-third of the altitude above the base

大提示：

利用两条平行底边之间的距离，求出两个三角形的高之间的关系

Relate the two altitudes using the distance between their parallel bases

解答：

设外、内两个三角形的高分别为 $h$ 和 $h'$ 。它们的共同中心位于 $BC$ 上方 $\frac{h}{3}$ 处，位于 $B'C'$ 上方 $\frac{h'}{3}$ 处。因此 $\frac{h-h'}{3}=\frac{h}{6}$ ，所以 $h'=\frac{h}{2}$ 。面积按对应长度之比的平方缩放，故 $(\frac{h'}{h})^2=\frac{1}{4}$ 。

所以正确答案是 C。

Let the outer and inner altitudes be $h$ and $h'.$ Their common center is $\frac{h}{3}$ above $BC$ and $\frac{h'}{3}$ above $B'C'.$ Hence $\frac{h-h'}{3}=\frac{h}{6},$ so $h'=\frac{h}{2}.$ Areas scale as the square of corresponding lengths, giving $(\frac{h'}{h})^2=\frac{1}{4}.$

Thus the correct answer is C.

1988 AMC 12 第 16 题

答案：C

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题