Question

从集合 $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}$ 中有放回地随机且独立选取正整数 $a$ ， $b$ 和 $c$ 。 $abc+ab+a$ 能被 $3$ 整除的概率是多少？

Positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are randomly and independently selected with replacement from the set $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.$ What is the probability that $abc+ab+a$ is divisible by $3?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{29}{81}$

$\dfrac{31}{81}$

$\dfrac{11}{27}$

$\dfrac{13}{27}$

答案：E

知识点：模运算基本概率分类讨论

难度评级：1810

小提示：

分解 $abc+ab+a=a(bc+b+1)$ ；每个模 $3$ 余数等可能出现

Factor $abc+ab+a=a(bc+b+1);$ each residue mod $3$ is equally likely

大提示：

如果 $a$ 是 $3$ 的倍数则成立；否则需要 $bc+b+1$ 是 $3$ 的倍数

If $a$ is divisible by $3$ it works; otherwise require $bc+b+1$ to be divisible by $3$

解答：

分解 $abc+ab+a=a(bc+b+1)$ 。因为 $2010$ 是 $3$ 的倍数， $a, b, c$ 在模 $3$ 下各个余数等可能。

如果 $a$ 是 $3$ 的倍数（概率为 $\tfrac13$ ），乘积能被 $3$ 整除。

如果 $a$ 不是 $3$ 的倍数（概率为 $\tfrac23$ ），需要 $bc+b+1$ 是 $3$ 的倍数。检查余数可知，这恰好在 $(b,c)\equiv(1,1)$ 或 $(2,0)\pmod3$ 时成立，概率为 $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29$ 。

总概率是 $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Factor $abc+ab+a=a(bc+b+1).$ Since $2010$ is a multiple of $3,$ each of $a, b, c$ is uniform modulo $3.$

If $a$ is divisible by $3$ (probability $\tfrac13$ ), the product is divisible by $3.$

If $a$ is not divisible by $3$ (probability $\tfrac23$ ), we need $bc+b+1$ to be divisible by $3.$ Checking residues, this holds exactly when $(b,c)\equiv(1,1)$ or $(2,0)\pmod3,$ a probability of $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.$

The total probability is $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.$

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B 第 16 题

答案：E

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题