Question

圆 $C_1$ 的圆心 $O$ 在圆 $C_2$ 上。两个圆相交于 $X$ 和 $Y$ 。点 $Z$ 在 $C_1$ 外部，且在圆 $C_2$ 上，并满足 $XZ = 13$ ， $OZ = 11$ ， $YZ = 7$ 。圆 $C_1$ 的半径是多少？

Circle $C_1$ has its center $O$ lying on circle $C_2.$ The two circles meet at $X$ and $Y.$ Point $Z$ in the exterior of $C_1$ lies on circle $C_2$ and $XZ = 13,$ $OZ = 11,$ and $YZ = 7.$ What is the radius of circle $C_1?$

$5$

$\sqrt{26}$

$3\sqrt{3}$

$2\sqrt{7}$

$\sqrt{30}$

答案：E

知识点：余弦定理弦圆

难度评级：1870

小提示：

设半径为 $r$ ，则 $OX = OY = r$ ；这些是 $C_2$ 的等弦，因此在 $Z$ 处所对的角相等

Let $r$ be the radius, so $OX = OY = r$ ; these equal chords of $C_2$ subtend equal angles at $Z$

大提示：

对三角形 $XZO$ 和 $YZO$ 使用余弦定理，并令两个 $\cos\angle Z$ 的表达式相等

Apply the Law of Cosines to triangles $XZO$ and $YZO$ and set the two expressions for $\cos\angle Z$ equal

解答：

设 $C_1$ 的半径为 $r$ ，所以 $OX = OY = r$ 。它们是 $C_2$ 的等弦，因此在 $Z$ 处所对角相等： $\angle XZO = \angle OZY$ 。

对三角形 $XZO$ 和 $YZO$ 使用余弦定理， $\begin{aligned} &\frac{13^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 13 \cdot 11} \\ &= \frac{7^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 7 \cdot 11} \end{aligned}\text{。}$

清去分母并求解，得到 $r^2 = 30$ ，所以 $r = \sqrt{30}$ 。

因此，正确答案是 E。

Let $r$ be the radius of $C_1,$ so $OX = OY = r.$ These are equal chords of $C_2,$ so they subtend equal angles at $Z:$ $\angle XZO = \angle OZY.$

Applying the Law of Cosines to triangles $XZO$ and $YZO,$ $\begin{aligned} &\frac{13^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 13 \cdot 11} \\ &= \frac{7^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 7 \cdot 11}. \end{aligned}$

Clearing denominators and solving gives $r^2 = 30,$ so $r = \sqrt{30}.$

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12A 第 16 题

答案：E

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题