Question

三角形 $\triangle ABC$ 的边长为 $AB = 80$ ， $BC = 45$ ，和 $AC = 75$ 。 $\angle B$ 的角平分线与到边 $AB$ 的高相交于点 $P$ 。 $BP$ 是多少？

Triangle $\triangle ABC$ has side lengths $AB = 80,$ $BC = 45,$ and $AC = 75.$ The bisector of $\angle B$ and the altitude to side $AB$ intersect at point $P.$ What is $BP?$

$18$

$19$

$20$

$21$

$22$

答案：D

知识点：余弦定理角平分线三角恒等式

难度评级：1840

小提示：

$\cos B = \dfrac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} = \dfrac{7}{18}$ 。

$\cos B = \dfrac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} = \dfrac{7}{18}$

大提示：

高的垂足在边 $AB$ 上，距 $B$ 为 $BC\cos B = 17.5$ ，且 $BP\cos\tfrac{B}{2} = 17.5$ 。

The altitude’s foot is $BC\cos B = 17.5$ from $B$ along $AB,$ and $BP\cos\tfrac{B}{2} = 17.5$

解答：

由余弦定理， $\begin{aligned} \cos B &= \frac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} \\ &= \frac{2800}{7200} = \frac{7}{18} \end{aligned}\text{。}$

到 $AB$ 的高是从 $C$ 作出的，其垂足在边 $AB$ 上，距 $B$ 的距离为 $BC\cos B = 45 \cdot \dfrac{7}{18} = 17.5$ 。

沿着从 $B$ 出发的角平分线，平行于 $AB$ 的分量是 $BP\cos\dfrac{B}{2}$ ，它必须到达高的垂足： $BP\cos\dfrac{B}{2} = 17.5$ 。

因为 $\cos\dfrac{B}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \frac{7}{18}}{2}}$ $= \sqrt{\dfrac{25}{36}}$ $= \dfrac{5}{6}$ ，所以 $BP = \dfrac{17.5}{\frac{5}{6}} = 21$ 。

因此，正确答案是 D。

By the Law of Cosines, $\begin{aligned} \cos B &= \frac{80^2 + 45^2 - 75^2}{2 \cdot 80 \cdot 45} \\ &= \frac{2800}{7200} = \frac{7}{18}. \end{aligned}$

The altitude to $AB$ is drawn from $C,$ and its foot is at distance $BC\cos B = 45 \cdot \dfrac{7}{18} = 17.5$ from $B$ along $AB.$

Along the bisector from $B,$ the component parallel to $AB$ is $BP\cos\dfrac{B}{2},$ which must reach the altitude’s foot: $BP\cos\dfrac{B}{2} = 17.5.$

Since $\cos\dfrac{B}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \frac{7}{18}}{2}}$ $= \sqrt{\dfrac{25}{36}}$ $= \dfrac{5}{6},$ we get $BP = \dfrac{17.5}{\frac{5}{6}} = 21.$

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12A 第 16 题

答案：D

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题