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1976 AMC 12 第 16 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

在三角形 ABCABC 和 DEFDEF 中，边长 ACAC、BCBC、DFDF 和 EFEF 都相等。ABAB 的长度是 △DEF\triangle DEF 中从 FF 到 DEDE 的高的两倍。下列哪些陈述正确？

I\mathrm{I}．∠ACB\angle ACB 与 ∠DFE\angle DFE 必须互余。

II\mathrm{II}．∠ACB\angle ACB 与 ∠DFE\angle DFE 必须互补。

III\mathrm{III}．△ABC\triangle ABC 的面积必须等于 △DEF\triangle DEF 的面积。

IV\mathrm{IV}．△ABC\triangle ABC 的面积必须等于 △DEF\triangle DEF 面积的两倍。

In triangles ABCABC and DEF,DEF, lengths AC,AC, BC,BC, DFDF and EFEF are all equal. Length ABAB is twice the length of the altitude of △DEF\triangle DEF from FF to DE.DE. Which of the following statements is (are) true?

I.\mathrm{I}. ∠ACB\angle ACB and ∠DFE\angle DFE must be complementary.

II.\mathrm{II}. ∠ACB\angle ACB and ∠DFE\angle DFE must be supplementary.

III.\mathrm{III}. The area of △ABC\triangle ABC must equal the area of △DEF.\triangle DEF.

IV.\mathrm{IV}. The area of △ABC\triangle ABC must equal twice the area of △DEF.\triangle DEF.

仅 II\mathrm{II}

II\mathrm{II} only

仅 III\mathrm{III}

III\mathrm{III} only

仅 IV\mathrm{IV}

IV\mathrm{IV} only

仅 I\mathrm{I} 和 III\mathrm{III}

I\mathrm{I} and III\mathrm{III} only

仅 II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

答案：E
知识点：等腰三角形高线全等（几何）面积
难度评级：2130
小提示：

分别从 CC 和 FF 作高；每条高都平分对应等腰三角形的底边

Drop altitudes from CC and FF; each altitude bisects the base of its isosceles triangle

大提示：

把 ABCABC 的一半与 DEFDEF 的一半视为直角三角形进行比较

Compare a half of ABCABC with a half of DEFDEF as right triangles

解答：

设四条相等的边长均为 ss，令 AB=2aAB=2a，并设从 FF 作出的高为 aa。在两个等腰三角形中，从 CC 作出的高平分 ABAB，从 FF 作出的高平分 DEDE。ABCABC 的一半是斜边为 ss、一条直角边为 aa 的直角三角形；DEFDEF 的一半也有相同的斜边和长度为 aa 的高。两个直角三角形全等，只是两条直角边互换。因此相应的锐角互余，完整的顶角 ∠ACB\angle ACB 与 ∠DFE\angle DFE 之和为 180∘180^\circ。相应的半三角形面积也相等，所以两个完整三角形的面积相等。陈述 II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III} 正确。

所以正确答案是 E。

Let the equal sides have length s,s, let AB=2a,AB=2a, and let the altitude from FF be a.a. In the isosceles triangles, the altitude from CC bisects AB,AB, while the altitude from FF bisects DE.DE. A half of ABCABC has hypotenuse ss and leg a;a; a half of DEFDEF has the same hypotenuse and altitude leg a.a. The two right triangles are congruent with their legs interchanged. Thus their relevant acute angles are complementary, so the full vertex angles ∠ACB\angle ACB and ∠DFE\angle DFE sum to 180∘.180^\circ. The corresponding half-areas are equal as well, hence the full triangle areas are equal. Statements II\mathrm{II} and III\mathrm{III} hold.

Therefore, the correct answer is E.

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