对于满足 1≤ k\lt n 的整数 k 和 n ，定义 \binom nk=(n!)/(k!(n-k)!)。则 ((n-2k-1)/(k+1))\binom nk 为整数

(A) 对所有 k 和 n 均成立

(B) 对所有偶数 k 和 n 均成立，但并非对所有 k 和 n 均成立

(C) 对所有奇数 k 和 n 均成立，但并非对所有 k 和 n 均成立

(D) 当 k=1 或 n-1 时成立，但并非对所有奇数 k 和 n 均成立

(E) 当 n 能被 k 整除时成立，但并非对所有偶数 k 和 n 均成立

1976 AMC 12 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

从一中减去 $(1-x)$ 的倒数，所得结果等于 $(1-x)$ 的倒数，则 $x$ 等于

If one minus the reciprocal of $(1-x)$ equals the reciprocal of $(1-x),$ then $x$ equals

$-2$

$-1$

$\frac12$

$2$

$3$

答案：B

知识点：分式方程代数变形

难度评级：1260

小提示：

将方程两边乘以不为零的 $1-x$

Multiply the equation by $1-x,$ which cannot be zero

大提示：

消去分母后，解方程 $1-x-1=1$

After clearing the denominator, solve $1-x-1=1$

解答：

方程为 $1-\frac1{1-x}=\frac1{1-x}\text{。}$ 两边乘以 $1-x\ne0$ ，得 $1-x-1=1$ ，所以 $x=-1$ 。

所以正确答案是 B。

The equation is $1-\frac1{1-x}=\frac1{1-x}.$ Multiplying by $1-x\ne0$ gives $1-x-1=1,$ so $x=-1.$

Therefore, the correct answer is B.

2.

有多少个实数 $x$ 能使 $\sqrt{-(x+1)^2}$ 为实数？

For how many real numbers $x$ is $\sqrt{-(x+1)^2}$ a real number?

没有

none

一个

one

两个

two

大于两个的有限个

a finite number greater than two

无穷多个

infinitely many

答案：B

知识点：根式完全平方数不等式

难度评级：1180

小提示：

平方根在实数范围内有意义时，被开方数必须非负

A real square root requires a nonnegative radicand

大提示：

$-(x+1)^2$ 只有在这个平方为零时才可能非负

The quantity $-(x+1)^2$ can be nonnegative only when the square vanishes

解答：

因为 $(x+1)^2\ge0$ ，所以它的相反数至多为 $0$ 。它只有在 $(x+1)^2=0$ 时非负，而这只对应一个值 $x=-1$ 。

所以正确答案是 B。

Since $(x+1)^2\ge0,$ its negative is at most $0.$ It is nonnegative only when $(x+1)^2=0,$ which occurs for the single value $x=-1.$

Therefore, the correct answer is B.

3.

边长为二的正方形中，从一个顶点到四条边的中点的距离之和为

The sum of the distances from one vertex of a square with sides of length two to the midpoints of each of the sides of the square is

$2\sqrt5$

$2+\sqrt3$

$2+2\sqrt3$

$2+\sqrt5$

$2+2\sqrt5$

答案：E

知识点：正方形（几何）中点距离公式

难度评级：1490

小提示：

把所选顶点置于 $(0,0)$ ，其余顶点置于 $(2,0)$ 、 $(2,2)$ 、 $(0,2)$

Place the chosen vertex at $(0,0)$ and the other vertices at $(2,0),$ $(2,2),$ and $(0,2)$

大提示：

两个中点与该顶点相距一个单位，另两个中点分别对应直角边长 $2$ 和 $1$

Two midpoints are one unit away, while each opposite-side midpoint forms legs $2$ and $1$

解答：

与所选顶点相邻的两条边的中点到该顶点的距离均为 $1$ 。另外两个中点的横、纵坐标差分别为 $2$ 和 $1$ ，所以每个距离都是 $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$ 。总和为 $2+2\sqrt5$ 。

所以正确答案是 E。

The two midpoints on sides meeting the chosen vertex are each at distance $1.$ The other two midpoints have coordinate differences $2$ and $1,$ so each is at distance $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.$ The sum is $2+2\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is E.

4.

一个有 $n$ 项的等比数列首项为一、公比为 $r$ 、和为 $s$ ，其中 $r$ 和 $s$ 均不为零。把原数列的每一项替换为其倒数后所得等比数列的和为

Let a geometric progression with $n$ terms have first term one, common ratio $r$ and sum $s,$ where $r$ and $s$ are not zero. The sum of the geometric progression formed by replacing each term of the original progression by its reciprocal is

$\frac1s$

$\frac1{r^ns}$

$\frac{s}{r^{n-1}}$

$\frac{r^n}{s}$

$\frac{r^{n-1}}s$

答案：C

知识点：等比数列因式分解代数变形

难度评级：1620

小提示：

把倒数数列的和写成 $1+r^{-1}+\cdots+r^{-(n-1)}$

Write the reciprocal sum as $1+r^{-1}+\cdots+r^{-(n-1)}$

大提示：

将幂的顺序倒过来后，提取因子 $r^{-(n-1)}$

Factor $r^{-(n-1)}$ after reversing the order of the powers

解答：

设倒数数列的和为 $S'$ 。乘以 $r^{n-1}$ 后，原数列各项的顺序恰好反转： $\begin{aligned} r^{n-1}S' &=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1\\ &=s \end{aligned}\text{。}$ 因此 $S'=\frac{s}{r^{n-1}}$ 。当 $r=1$ 时结论也成立。

所以正确答案是 C。

Let $S'$ be the reciprocal sum. Multiplying it by $r^{n-1}$ reverses the original terms: $\begin{aligned} r^{n-1}S' &=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1\\ &=s. \end{aligned}$ Hence $S'=\frac{s}{r^{n-1}}.$ This also holds when $r=1.$

Therefore, the correct answer is C.

5.

在大于十且小于一百的整数中，若用十进制表示，把各位数字颠倒后会增加九的有多少个？

How many integers greater than ten and less than one hundred, written in base ten notation, are increased by nine when their digits are reversed?

$0$

$1$

$8$

$9$

$10$

答案：C

知识点：数字位值系统列举

难度评级：1250

小提示：

用 $t$ 和 $u$ 分别表示十位与个位数字

Represent the tens and units digits by $t$ and $u$

大提示：

增加量为 $10u+t-(10t+u)=9(u-t)$

The increase is $10u+t-(10t+u)=9(u-t)$

解答：

条件为 $9(u-t)=9$ ，所以 $u=t+1$ 。可能的整数是 $12$ 、 $23$ 、 $34$ 、 $45$ 、 $56$ 、 $67$ 、 $78$ 和 $89$ ，共 $8$ 个。

所以正确答案是 C。

The condition is $9(u-t)=9,$ so $u=t+1.$ The possibilities are $12,$ $23,$ $34,$ $45,$ $56,$ $67,$ $78,$ and $89,$ giving $8$ integers.

Therefore, the correct answer is C.

6.

设 $c$ 为实数。若方程 $x^2-3x+c=0$ 的某个解的相反数是方程 $x^2+3x-c=0$ 的一个解，则 $x^2-3x+c=0$ 的两个解为

If $c$ is a real number and the negative of one of the solutions of $x^2-3x+c=0$ is a solution of $x^2+3x-c=0,$ then the solutions of $x^2-3x+c=0$ are

$1$ ， $2$

$1,$ $2$

$-1$ ， $-2$

$-1,$ $-2$

$0$ ， $3$

$0,$ $3$

$0$ ， $-3$

$0,$ $-3$

$\frac32$ ， $\frac32$

$\frac32,$ $\frac32$

答案：C

知识点：二次方程换元法零积性质

难度评级：1210

小提示：

把第一个方程的这个根记为 $r$ ，再将 $-r$ 代入第二个方程

Call the first root $r$ and substitute $-r$ into the second equation

大提示：

所得两个方程只有 $c$ 的符号不同

The two resulting equations differ only in the sign of $c$

解答：

对于这样的根 $r$ ， $\begin{aligned} r^2-3r+c&=0,\\ (-r)^2+3(-r)-c&=0 \end{aligned}\text{。}$ 两式相减得 $2c=0$ 。于是第一个方程化为 $x(x-3)=0$ ，其根为 $0$ 和 $3$ 。

所以正确答案是 C。

For such a root $r,$ $\begin{aligned} r^2-3r+c&=0,\\ (-r)^2+3(-r)-c&=0. \end{aligned}$ Subtracting gives $2c=0.$ Thus the first equation is $x(x-3)=0,$ with roots $0$ and $3.$

Therefore, the correct answer is C.

7.

若 $x$ 为实数，则 $(1-|x|)(1+x)$ 为正数的充要条件是

If $x$ is a real number, then the quantity $(1-|x|)(1+x)$ is positive if and only if

$|x|\lt1$

$x\lt1$

$|x|\gt1$

$x\lt-1$

$x\lt-1$ 或 $-1\lt x\lt1$

$x\lt-1$ or $-1\lt x\lt1$

答案：E

知识点：绝对值不等式分类讨论

难度评级：1570

小提示：

乘积为正数时，两个因子的符号相同

A product is positive when its two factors have the same sign

大提示：

分别考察由 $-1$ 和 $1$ 分出的各个区间

Analyze the intervals cut by $-1$ and $1$

解答：

两个因子同时为正恰好发生在 $|x|\lt1$ 时，此时 $-1\lt x\lt1$ 。两个因子同时为负需要 $|x|\gt1$ 且 $x\lt-1$ ，这化为 $x\lt-1$ 。两个端点都使乘积为零。

所以正确答案是 E。

Both factors are positive exactly when $|x|\lt1,$ giving $-1\lt x\lt1.$ Both are negative when $|x|\gt1$ and $x\lt-1,$ which reduces to $x\lt-1.$ The endpoints make the product zero.

Therefore, the correct answer is E.

8.

在平面上随机选取一点，其两个直角坐标都是绝对值不超过四的整数，且所有这样的点被选中的概率相同。该点到原点的距离不超过两个单位的概率是多少？

A point in the plane, both of whose rectangular coordinates are integers with absolute value less than or equal to four, is chosen at random, with all such points having an equal probability of being chosen. What is the probability that the distance from the point to the origin is at most two units?

$\frac{13}{81}$

$\frac{15}{81}$

$\frac{13}{64}$

$\frac{\pi}{16}$

某个有理数的平方

the square of a rational number

答案：A

知识点：格点基本概率圆系统列举

难度评级：1710

小提示：

每个坐标各有 $9$ 种选择

There are $9$ choices for each coordinate

大提示：

分别考虑 $x=0$ 、 $x=\pm1$ 、 $x=\pm2$ ，数出满足 $x^2+y^2\le4$ 的整数对

Count integer pairs satisfying $x^2+y^2\le4$ by considering $x=0,$ $x=\pm1,$ and $x=\pm2$

解答：

共有 $9^2=81$ 个可能的点。到原点距离不超过 $2$ 的点包括原点；四个点 $(\pm1,0)$ 、 $(0,\pm1)$ ；四个点 $(\pm1,\pm1)$ ；以及四个点 $(\pm2,0)$ 、 $(0,\pm2)$ 。因此共有 $13$ 个点符合条件，概率为 $\frac{13}{81}$ 。

所以正确答案是 A。

There are $9^2=81$ possible points. Within distance $2$ are the origin; the four points $(\pm1,0),$ $(0,\pm1);$ the four points $(\pm1,\pm1);$ and the four points $(\pm2,0),$ $(0,\pm2).$ Thus $13$ points qualify, for probability $\frac{13}{81}.$

Therefore, the correct answer is A.

9.

在三角形 $ABC$ 中， $D$ 是 $AB$ 的中点， $E$ 是 $DB$ 的中点， $F$ 是 $BC$ 的中点。若 $\triangle ABC$ 的面积为 $96$ ，则 $\triangle AEF$ 的面积为

In triangle $ABC,$ $D$ is the midpoint of $AB;$ $E$ is the midpoint of $DB;$ and $F$ is the midpoint of $BC.$ If the area of $\triangle ABC$ is $96,$ then the area of $\triangle AEF$ is

$16$

$24$

$32$

$36$

$48$

答案：D

知识点：三角形面积中点面积比

难度评级：1530

小提示：

比较底边 $AE$ 与 $AB$ ，再比较 $F$ 和 $C$ 到这条直线的高

Compare the base $AE$ with $AB$ and the height from $F$ with the height from $C$

大提示：

这两个比值分别为 $\frac34$ 和 $\frac12$

The two ratios are $\frac34$ and $\frac12$

解答：

因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，而 $E$ 是 $DB$ 的中点，所以 $AE=\frac34AB$ 。又因为 $F$ 是 $BC$ 的中点，所以它到直线 $AB$ 的距离是 $C$ 到该直线距离的一半。因此 $\begin{aligned} [AEF]&=\frac34\cdot\frac12[ABC]\\ &=\frac38(96)=36 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Since $D$ is the midpoint of $AB$ and $E$ is the midpoint of $DB,$ $AE=\frac34AB.$ Since $F$ is the midpoint of $BC,$ its distance from line $AB$ is half that of $C.$ Therefore $\begin{aligned} [AEF]&=\frac34\cdot\frac12[ABC]\\ &=\frac38(96)=36. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

10.

若 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 和 $q$ 都是实数，且 $f(x)=mx+n$ 、 $g(x)=px+q$ ，则方程 $f(g(x))=g(f(x))$ 有解的充要条件为

If $m,$ $n,$ $p$ and $q$ are real numbers and $f(x)=mx+n$ and $g(x)=px+q,$ then the equation $f(g(x))=g(f(x))$ has a solution

任意 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 、 $q$ 均可

for all choices of $m,$ $n,$ $p$ and $q$

$m=p$ 且 $n=q$

if and only if $m=p$ and $n=q$

$mq-np=0$

if and only if $mq-np=0$

$n(1-p)-q(1-m)=0$

if and only if $n(1-p)-q(1-m)=0$

$(1-n)(1-p)$ ${}-(1-q)(1-m)=0$

if and only if $(1-n)(1-p)$ ${}-(1-q)(1-m)=0$

答案：D

知识点：函数一次方程代数变形

难度评级：1670

小提示：

先展开两个复合函数，再尝试解出 $x$

Expand both compositions before trying to solve for $x$

大提示：

两边 $x$ 的系数自动相同，只需比较常数项

The coefficients of $x$ are automatically equal, leaving a condition on the constant terms

解答：

有 $\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q \end{aligned}\text{。}$ 对任意 $x$ ，两边的 $x$ 项都会消去，所以方程有解当且仅当 $mq+n=pn+q$ 。整理得 $n(1-p)-q(1-m)=0$ 。

所以正确答案是 D。

We have $\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}$ The $x$ -terms cancel for every $x,$ so a solution exists exactly when $mq+n=pn+q.$ Rearranging gives $n(1-p)-q(1-m)=0.$

Therefore, the correct answer is D.

11.

下列哪些陈述与“如果阿尔法行星上的粉红色大象长着紫色眼睛，那么贝塔行星上的野猪就没有长鼻子”这一陈述等价？

$\mathrm{I}$ ．“如果贝塔行星上的野猪长着长鼻子，那么阿尔法行星上的粉红色大象就长着紫色眼睛。”

$\mathrm{II}$ ．“如果阿尔法行星上的粉红色大象没有紫色眼睛，那么贝塔行星上的野猪就没有长鼻子。”

$\mathrm{III}$ ．“如果贝塔行星上的野猪长着长鼻子，那么阿尔法行星上的粉红色大象就没有紫色眼睛。”

$\mathrm{IV}$ ．“阿尔法行星上的粉红色大象没有紫色眼睛，或者贝塔行星上的野猪没有长鼻子。”

这里的“或者”取包含式的含义（数学写作中通常如此）。

Which of the following statements is (are) equivalent to the statement “If the pink elephant on planet alpha has purple eyes, then the wild pig on planet beta does not have a long nose”?

$\mathrm{I}.$ “If the wild pig on planet beta has a long nose, then the pink elephant on planet alpha has purple eyes.”

$\mathrm{II}.$ “If the pink elephant on planet alpha does not have purple eyes, then the wild pig on planet beta does not have a long nose.”

$\mathrm{III}.$ “If the wild pig on planet beta has a long nose, then the pink elephant on planet alpha does not have purple eyes.”

$\mathrm{IV}.$ “The pink elephant on planet alpha does not have purple eyes, or the wild pig on planet beta does not have a long nose.”

The word “or” is used here in the inclusive sense (as is customary in mathematical writing).

仅 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

仅 $\mathrm{III}$ 和 $\mathrm{IV}$

$\mathrm{III}$ and $\mathrm{IV}$ only

仅 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{IV}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ only

仅 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

仅 $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

答案：B

知识点：逻辑推理

难度评级：1740

小提示：

把原命题写成 $P\mathbin{\Rightarrow}\neg Q$

Write the original implication as $P\mathbin{\Rightarrow}\neg Q$

大提示：

同时使用它的逆否命题和等价的析取式 $\neg P\mathbin{\lor}\neg Q$

Use both its contrapositive and the equivalent disjunction $\neg P\mathbin{\lor}\neg Q$

解答：

令 $P$ 表示大象长着紫色眼睛，令 $Q$ 表示野猪长着长鼻子。原命题 $P\Rightarrow\neg Q$ 等价于其逆否命题 $Q\Rightarrow\neg P$ ，即 $\mathrm{III}$ ；也等价于 $\neg P\lor\neg Q$ ，即 $\mathrm{IV}$ 。陈述 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$ 都是原命题的逆命题，不一定成立。

所以正确答案是 B。

Let $P$ mean the elephant has purple eyes and $Q$ mean the pig has a long nose. The original statement $P\Rightarrow\neg Q$ is equivalent to its contrapositive $Q\Rightarrow\neg P,$ which is $\mathrm{III},$ and to $\neg P\lor\neg Q,$ which is $\mathrm{IV}.$ Statements $\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ are converses and need not follow.

Therefore, the correct answer is B.

12.

一家超市有 $128$ 箱苹果。每箱至少有 $120$ 个苹果，至多有 $144$ 个苹果。至少有 $n$ 箱装有相同数量的苹果一定成立时， $n$ 的最大整数值是多少？

A supermarket has $128$ crates of apples. Each crate contains at least $120$ apples and at most $144$ apples. What is the largest integer $n$ such that there must be at least $n$ crates containing the same number of apples?

$4$

$5$

$6$

$24$

$25$

答案：C

知识点：抽屉原理基本计数

难度评级：1380

小提示：

数出从 $120$ 到 $144$ （含端点）共有多少种苹果数

Count the possible apple totals from $120$ through $144$ , inclusive

大提示：

如果每种苹果数最多出现五次，那么至多只有 $25\cdot5$ 箱

If every total occurred at most five times, there would be at most $25\cdot5$ crates

解答：

可能的苹果数共有 $144-120+1=25$ 种。因为 $128>25\cdot5$ ，所以某一种数量至少出现 $6$ 次。这个界可以达到：让三种数量各出现 $6$ 次，其余二十二种各出现 $5$ 次，恰好分配 $128$ 箱。因此能保证的最大 $n$ 是 $6$ 。

所以正确答案是 C。

There are $144-120+1=25$ possible apple counts. Since $128>25\cdot5,$ some count occurs at least $6$ times. This is sharp: distribute $128$ crates so that three counts occur $6$ times and the other twenty-two occur $5$ times. Thus the largest guaranteed $n$ is $6.$

Therefore, the correct answer is C.

13.

如果 $x$ 头奶牛在 $x+2$ 天内产出 $x+1$ 罐牛奶，那么 $x+3$ 头奶牛产出 $x+5$ 罐牛奶需要多少天？

If $x$ cows give $x+1$ cans of milk in $x+2$ days, how many days will it take $x+3$ cows to give $x+5$ cans of milk?

$\frac{x(x+2)(x+5)}{(x+1)(x+3)}$

$\frac{x(x+1)(x+5)}{(x+2)(x+3)}$

$\frac{(x+1)(x+3)(x+5)}{x(x+2)}$

$\frac{(x+1)(x+3)}{x(x+2)(x+5)}$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：速率比与比例代数变形

难度评级：1560

小提示：

先求每头奶牛每天产出的牛奶罐数

First find the number of cans produced per cow-day

大提示：

列方程 $\frac{x+5}{(x+3)T}=\frac{x+1}{x(x+2)}$

Set $\frac{x+5}{(x+3)T}=\frac{x+1}{x(x+2)}$

解答：

产奶率为每头奶牛每天 $\frac{x+1}{x(x+2)}$ 罐。设新的用时为 $T$ ，则 $\frac{x+5}{(x+3)T}=\frac{x+1}{x(x+2)}\text{。}$ 因此 $T=\frac{x(x+2)(x+5)}{(x+1)(x+3)}$ 。

所以正确答案是 A。

The production rate is $\frac{x+1}{x(x+2)}$ cans per cow-day. If the new time is $T,$ then $\frac{x+5}{(x+3)T}=\frac{x+1}{x(x+2)}.$ Hence $T=\frac{x(x+2)(x+5)}{(x+1)(x+3)}.$

Therefore, the correct answer is A.

14.

一个凸多边形的各内角度数成等差数列。若最小角为 $100^\circ$ ，最大角为 $140^\circ$ ，则该多边形的边数为

The measures of the interior angles of a convex polygon are in arithmetic progression. If the smallest angle is $100^\circ$ and the largest angle is $140^\circ,$ then the number of sides the polygon has is

$6$

$8$

$10$

$11$

$12$

答案：A

知识点：角度和等差数列一次方程

难度评级：1510

小提示：

等差数列的平均值等于首项与末项的平均值

The average of an arithmetic progression is the average of its first and last terms

大提示：

令 $120n$ 等于内角和 $180(n-2)$

Equate $120n$ with the interior-angle sum $180(n-2)$

解答：

平均角度为 $\frac{100+140}{2}=120^\circ$ ，所以内角和为 $120n$ 。凸 $n$ 边形的内角和为 $180(n-2)$ ，故 $120n=180(n-2)$ ，解得 $n=6$ 。

所以正确答案是 A。

The average angle is $\frac{100+140}{2}=120^\circ,$ so the angle sum is $120n.$ A convex $n$ -gon has angle sum $180(n-2),$ hence $120n=180(n-2)$ and $n=6.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

用整数 $d$ 分别除 $1059$ 、 $1417$ 和 $2312$ ，所得余数均为 $r$ ，其中 $d$ 大于一。则 $d-r$ 等于

If $r$ is the remainder when each of the numbers $1059,$ $1417$ and $2312$ is divided by $d,$ where $d$ is an integer greater than one, then $d-r$ equals

$1$

$15$

$179$

$d-15$

$d-1$

答案：B

知识点：模运算最大公约数整除性

难度评级：1800

小提示：

余数相同意味着 $d$ 整除任意两数之差

A common remainder means $d$ divides every pairwise difference

大提示：

使用 $1417-1059=358=2\cdot179$ 和 $2312-1417=895=5\cdot179$

Use $1417-1059=358=2\cdot179$ and $2312-1417=895=5\cdot179$

解答：

除数 $d$ 同时整除 $358=2\cdot179$ 和 $895=5\cdot179$ 。这两个数的最大公因数为质数 $179$ ，所以 $d=179$ 。又因为 $1059=5\cdot179+164$ ，所以 $r=164$ ，从而 $d-r=15$ 。

所以正确答案是 B。

The divisor $d$ divides both $358=2\cdot179$ and $895=5\cdot179.$ Their greatest common divisor is $179,$ a prime, so $d=179.$ Since $1059=5\cdot179+164,$ we have $r=164$ and $d-r=15.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

在三角形 $ABC$ 和 $DEF$ 中，边长 $AC$ 、 $BC$ 、 $DF$ 和 $EF$ 都相等。 $AB$ 的长度是 $\triangle DEF$ 中从 $F$ 到 $DE$ 的高的两倍。下列哪些陈述正确？

$\mathrm{I}$ ． $\angle ACB$ 与 $\angle DFE$ 必须互余。

$\mathrm{II}$ ． $\angle ACB$ 与 $\angle DFE$ 必须互补。

$\mathrm{III}$ ． $\triangle ABC$ 的面积必须等于 $\triangle DEF$ 的面积。

$\mathrm{IV}$ ． $\triangle ABC$ 的面积必须等于 $\triangle DEF$ 面积的两倍。

In triangles $ABC$ and $DEF,$ lengths $AC,$ $BC,$ $DF$ and $EF$ are all equal. Length $AB$ is twice the length of the altitude of $\triangle DEF$ from $F$ to $DE.$ Which of the following statements is (are) true?

$\mathrm{I}.$ $\angle ACB$ and $\angle DFE$ must be complementary.

$\mathrm{II}.$ $\angle ACB$ and $\angle DFE$ must be supplementary.

$\mathrm{III}.$ The area of $\triangle ABC$ must equal the area of $\triangle DEF.$

$\mathrm{IV}.$ The area of $\triangle ABC$ must equal twice the area of $\triangle DEF.$

仅 $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

仅 $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

仅 $\mathrm{IV}$

$\mathrm{IV}$ only

仅 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

仅 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

答案：E

知识点：等腰三角形高线全等（几何）面积

难度评级：2130

小提示：

分别从 $C$ 和 $F$ 作高；每条高都平分对应等腰三角形的底边

Drop altitudes from $C$ and $F$ ; each altitude bisects the base of its isosceles triangle

大提示：

把 $ABC$ 的一半与 $DEF$ 的一半视为直角三角形进行比较

Compare a half of $ABC$ with a half of $DEF$ as right triangles

解答：

设四条相等的边长均为 $s$ ，令 $AB=2a$ ，并设从 $F$ 作出的高为 $a$ 。在两个等腰三角形中，从 $C$ 作出的高平分 $AB$ ，从 $F$ 作出的高平分 $DE$ 。 $ABC$ 的一半是斜边为 $s$ 、一条直角边为 $a$ 的直角三角形； $DEF$ 的一半也有相同的斜边和长度为 $a$ 的高。两个直角三角形全等，只是两条直角边互换。因此相应的锐角互余，完整的顶角 $\angle ACB$ 与 $\angle DFE$ 之和为 $180^\circ$ 。相应的半三角形面积也相等，所以两个完整三角形的面积相等。陈述 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$ 正确。

所以正确答案是 E。

Let the equal sides have length $s,$ let $AB=2a,$ and let the altitude from $F$ be $a.$ In the isosceles triangles, the altitude from $C$ bisects $AB,$ while the altitude from $F$ bisects $DE.$ A half of $ABC$ has hypotenuse $s$ and leg $a;$ a half of $DEF$ has the same hypotenuse and altitude leg $a.$ The two right triangles are congruent with their legs interchanged. Thus their relevant acute angles are complementary, so the full vertex angles $\angle ACB$ and $\angle DFE$ sum to $180^\circ.$ The corresponding half-areas are equal as well, hence the full triangle areas are equal. Statements $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ hold.

Therefore, the correct answer is E.

17.

若 $\theta$ 是锐角，且 $\sin2\theta=a$ ，则 $\sin\theta+\cos\theta$ 等于

If $\theta$ is an acute angle and $\sin2\theta=a,$ then $\sin\theta+\cos\theta$ equals

$\sqrt{a+1}$

$(\sqrt2-1)a+1$

$\sqrt{a+1}-\sqrt{a^2-a}$

$\sqrt{a+1}+\sqrt{a^2-a}$

$\sqrt{a+1}+a^2-a$

答案：A

知识点：三角恒等式三角学根式

难度评级：1530

小提示：

将 $\sin\theta+\cos\theta$ 平方

Square the expression $\sin\theta+\cos\theta$

大提示：

使用 $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ ，并注意所求和为正

Use $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ and the fact that the desired sum is positive

解答：

有 $\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a \end{aligned}\text{。}$ 当 $\theta$ 为锐角时，正弦和余弦都为正，所以所求和为 $\sqrt{a+1}$ 。

所以正确答案是 A。

We have $\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned}$ Both sine and cosine are positive for acute $\theta,$ so the sum is $\sqrt{a+1}.$

Therefore, the correct answer is A.

18.

在所附图中， $AB$ 在 $A$ 点与圆心为 $O$ 的圆相切；点 $D$ 在圆内； $DB$ 与圆交于 $C$ 。若 $BC=DC=3$ 、 $OD=2$ 、 $AB=6$ ，则圆的半径为

In the adjoining figure, $AB$ is tangent at $A$ to the circle with center $O;$ point $D$ is interior to the circle; and $DB$ intersects the circle at $C.$ If $BC=DC=3,$ $OD=2$ and $AB=6,$ then the radius of the circle is

$3+\sqrt3$

$\frac{15}{\pi}$

$\frac92$

$2\sqrt6$

$\sqrt{22}$

答案：E

知识点：圆切线圆幂

难度评级：2130

小提示：

延长 $BD$ ，使其越过 $D$ 后再次与圆交于 $E$

Extend $BD$ through $D$ to meet the circle again at $E$

大提示：

先用 $BC\cdot BE=AB^2$ ，再利用圆内点 $D$ 的幂

Use $BC\cdot BE=AB^2$ first, then use the power of interior point $D$

解答：

延长 $BD$ ，使其越过 $D$ 后与圆交于 $E$ 。因为 $BC=3$ 、 $BD=6$ ，切割线定理给出 $3\cdot BE=AB^2=36\text{，}$ 所以 $BE=12$ 、 $DE=6$ 。点 $D$ 的幂满足 $\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2 \end{aligned}\text{，}$ 因而 $3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4$ 。所以 $R^2=22$ ，且 $R=\sqrt{22}$ 。

所以正确答案是 E。

Extend $BD$ through $D$ to meet the circle at $E.$ Since $BC=3$ and $BD=6,$ the tangent-secant theorem gives $3\cdot BE=AB^2=36,$ so $BE=12$ and $DE=6.$ The power of $D$ gives $\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}$ hence $3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.$ Thus $R^2=22$ and $R=\sqrt{22}.$

Therefore, the correct answer is E.

19.

多项式 $p(x)$ 除以 $x-1$ 的余数为三，除以 $x-3$ 的余数为五。 $p(x)$ 除以 $(x-1)(x-3)$ 的余数为

A polynomial $p(x)$ has remainder three when divided by $x-1$ and remainder five when divided by $x-3.$ The remainder when $p(x)$ is divided by $(x-1)(x-3)$ is

$x-2$

$x+2$

$2$

$8$

$15$

答案：B

知识点：多项式一次方程换元法

难度评级：1620

小提示：

所求余式的次数小于二，可将其写成 $ax+b$

The desired remainder has degree less than two, so write it as $ax+b$

大提示：

在 $x=1$ 和 $x=3$ 处使用余式定理

Use the remainder theorem at $x=1$ and $x=3$

解答：

设余式为 $r(x)=ax+b$ 。因为 $p(1)=3$ 、 $p(3)=5$ ，所以 $a+b=3$ 和 $3a+b=5$ 。因此 $a=1$ 、 $b=2$ ，余式为 $x+2$ 。

所以正确答案是 B。

Let the remainder be $r(x)=ax+b.$ Since $p(1)=3$ and $p(3)=5,$ we have $a+b=3,$ and $3a+b=5.$ Thus $a=1,$ and $b=2,$ so the remainder is $x+2.$

Therefore, the correct answer is B.

20.

设 $a$ 、 $b$ 和 $x$ 是不等于一的正实数。则 $\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}$

Let $a,$ $b$ and $x$ be positive real numbers distinct from one. Then $\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}$

对所有 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 均成立

for all values of $a,$ $b$ and $x$

当且仅当 $a=b^2$

if and only if $a=b^2$

当且仅当 $b=a^2$

if and only if $b=a^2$

当且仅当 $x=ab$

if and only if $x=ab$

以上都不是

none of these

答案：E

知识点：对数二次方程因式分解

难度评级：2110

小提示：

把所有项移到同一边，再把关于两个对数的二次式因式分解

Move all terms to one side and factor the quadratic in the two logarithms

大提示：

利用换底公式，将每个因式为零的方程转化为两个底数之间的关系

Translate each factor equation into a relation between the bases using change of base

解答：

因式分解得 $\begin{aligned} &\bigl(2\log_a x-\log_b x\bigr)\\ &\quad\cdot \bigl(2\log_a x-3\log_b x\bigr)=0 \end{aligned}\text{。}$ 因为 $x\ne1$ ，由换底公式可知，第一个因式在 $a=b^2$ 时为零，第二个因式在 $a^3=b^2$ 时为零。因此原方程在这两个条件中的任一个成立时成立，而选项中没有任何一个“当且仅当”陈述能描述它们的并集。

所以正确答案是 E。

Factoring gives $\begin{aligned} &\bigl(2\log_a x-\log_b x\bigr)\\ &\quad\cdot \bigl(2\log_a x-3\log_b x\bigr)=0. \end{aligned}$ Since $x\ne1,$ change of base shows that the first factor vanishes when $a=b^2,$ while the second vanishes when $a^3=b^2.$ Thus the equation holds under either of two conditions, and no listed “if and only if” statement describes their union.

Therefore, the correct answer is E.

21.

使乘积 $2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}$ 大于 $1000$ 的最小正奇数 $n$ 是多少？（在这个乘积中，各指数的分母均为七，分子是从 $1$ 到 $2n+1$ 的连续奇数。）

What is the smallest positive odd integer $n$ such that the product $2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}$ is greater than $1000?$ (In the product the denominators of the exponents are all sevens, and the numerators are the successive odd integers from $1$ to $2n+1.$ )

$7$

$9$

$11$

$17$

$19$

答案：B

知识点：指数前n个奇数之和不等式

难度评级：1870

小提示：

把各幂合并，即把奇数分子相加

Combine the powers by summing the odd numerators

大提示：

奇数和 $1+3+\cdots+(2n+1)$ 等于 $(n+1)^2$ ，将它与 $2^{10}=1024$ 比较

The odd-number sum $1+3+\cdots+(2n+1)$ equals $(n+1)^2;$ compare with $2^{10}=1024$

解答：

这个乘积为 $2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}\text{。}$ 当 $n=7$ 时，指数 $\frac{64}{7}$ 小于 $\frac{19}{2}$ ，所以乘积小于 $2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000$ 。所有更小的正奇数 $n$ 也都不满足。当 $n=9$ 时，指数为 $\frac{100}{7}\gt10$ ，所以乘积大于 $2^{10}=1024$ 。因此第一个符合条件的奇数 $n$ 是 $9$ 。

所以正确答案是 B。

The product is $2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.$ For $n=7,$ the exponent $\frac{64}{7}$ is less than $\frac{19}{2},$ so the product is less than $2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.$ All smaller positive odd $n$ also fail. For $n=9,$ the exponent is $\frac{100}{7}\gt10,$ so the product exceeds $2^{10}=1024.$ Thus the first allowable odd $n$ is $9.$

Therefore, the correct answer is B.

22.

给定一个边长为 $s$ 的等边三角形。考虑该三角形所在平面内所有满足下列条件的点 $P$ ： $P$ 到三个顶点的距离平方和为定值 $a$ 。这个轨迹

Given an equilateral triangle with side of length $s,$ consider the locus of all points $P$ in the plane of the triangle such that the sum of the squares of the distances from $P$ to the vertices of the triangle is a fixed number $a.$ This locus

当 $a\gt s^2$ 时是一个圆

is a circle if $a\gt s^2$

当 $a=2s^2$ 时只含三个点，而当 $a\gt2s^2$ 时是一个圆

contains only three points if $a=2s^2$ and is a circle if $a\gt2s^2$

仅当 $s^2\lt a\lt2s^2$ 时是一个半径为正的圆

is a circle with positive radius only if $s^2\lt a\lt2s^2$

无论 $a$ 取何值，都只含有限个点

contains only a finite number of points for any value of $a$

以上都不是

is none of these

答案：A

知识点：重心圆距离公式

难度评级：2110

小提示：

设 $G$ 为重心，用 $PG^2$ 表示这个距离平方和

Let $G$ be the centroid and express the sum using $PG^2$

大提示：

对于等边三角形，这个和等于 $3PG^2+s^2$

For an equilateral triangle, the sum equals $3PG^2+s^2$

解答：

设三个顶点为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，重心为 $G$ ，并令 $T=GA^2+GB^2+GC^2$ 。重心恒等式给出 $PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T\text{。}$ 在等边三角形中，每个 $GA=\frac{s}{\sqrt3}$ ，所以 $T=s^2$ 。因此 $3PG^2=a-s^2$ 。当 $a\lt s^2$ 时轨迹为空集；当 $a=s^2$ 时只有一个点；当 $a\gt s^2$ 时是半径为正的圆。

所以正确答案是 A。

For vertices $A,$ $B,$ and $C$ with centroid $G,$ put $T=GA^2+GB^2+GC^2.$ The standard centroid identity gives $PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T.$ In an equilateral triangle, each $GA=\frac{s}{\sqrt3},$ so $T=s^2.$ Hence $3PG^2=a-s^2.$ The locus is empty for $a\lt s^2,$ one point for $a=s^2,$ and a circle of positive radius for $a\gt s^2.$

Therefore, the correct answer is A.

23.

对于满足 $1\le k\lt n$ 的整数 $k$ 和 $n$ ，定义 $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\text{。}$ 则 $\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk$ 为整数

For integers $k$ and $n$ such that $1\le k\lt n,$ let $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$ Then $\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk$ is an integer

对所有 $k$ 和 $n$ 均成立

for all $k$ and $n$

对所有偶数 $k$ 和 $n$ 均成立，但并非对所有 $k$ 和 $n$ 均成立

for all even values of $k$ and $n,$ but not for all $k$ and $n$

对所有奇数 $k$ 和 $n$ 均成立，但并非对所有 $k$ 和 $n$ 均成立

for all odd values of $k$ and $n,$ but not for all $k$ and $n$

当 $k=1$ 或 $n-1$ 时成立，但并非对所有奇数 $k$ 和 $n$ 均成立

if $k=1$ or $n-1,$ but not for all odd values of $k$ and $n$

当 $n$ 能被 $k$ 整除时成立，但并非对所有偶数 $k$ 和 $n$ 均成立

if $n$ is divisible by $k,$ but not for all even values of $k$ and $n$

答案：A

知识点：组合代数变形

难度评级：2080

小提示：

把 $n-2k-1$ 拆成 $(n-k)-(k+1)$

Split $n-2k-1$ into $(n-k)-(k+1)$

大提示：

尝试把原式改写成两个相邻二项式系数之差

Try rewriting the expression as a difference of two adjacent binomial coefficients

解答：

利用 $\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk\text{，}$ 并写成 $\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1\text{，}$ 原式化为 $\binom n{k+1}-\binom nk\text{。}$ 对每一组允许的 $k$ 和 $n$ ，这都是整数。

所以正确答案是 A。

Using $\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,$ and writing $\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,$ the given expression becomes $\binom n{k+1}-\binom nk.$ This is an integer for every permitted $k$ and $n.$

Therefore, the correct answer is A.

24.

在所附图中，圆 $K$ 的直径为 $AB$ ；圆 $L$ 与圆 $K$ 相切，并在圆 $K$ 的圆心处与 $AB$ 相切；圆 $M$ 与圆 $K$ 、圆 $L$ 和 $AB$ 都相切。圆 $K$ 与圆 $M$ 的面积之比为

In the adjoining figure, circle $K$ has diameter $AB;$ circle $L$ is tangent to circle $K$ and to $AB$ at the center of circle $K;$ and circle $M$ is tangent to circle $K,$ to circle $L$ and to $AB.$ The ratio of the area of circle $K$ to the area of circle $M$ is

$12$

$14$

$16$

$18$

不是整数

not an integer

答案：C

知识点：相切圆勾股定理面积比

难度评级：2200

小提示：

把圆 $K$ 的半径缩放为 $2$ ，则圆 $L$ 的半径为 $1$

Scale the radius of $K$ to $2,$ so circle $L$ has radius $1$

大提示：

若圆 $M$ 的半径为 $t$ 、圆心为 $(x,t)$ ，利用它与两个较大圆的相切关系

If $M$ has radius $t$ and center $(x,t),$ use its tangencies to both larger circles

解答：

令圆 $K$ 的圆心为 $(0,0)$ 、半径为 $2$ ，并令 $AB$ 为 $x$ 轴。则圆 $L$ 的圆心为 $(0,1)$ 、半径为 $1$ 。若圆 $M$ 的圆心为 $(x,t)$ 、半径为 $t$ ，它与圆 $K$ 内切并与圆 $L$ 外切，故 $\begin{aligned} x^2+t^2&=(2-t)^2,\\ x^2+(t-1)^2&=(1+t)^2 \end{aligned}\text{。}$ 两式分别化为 $x^2=4-4t$ 和 $x^2=4t$ ，所以 $t=\frac12$ 。半径之比为 $2:\frac{1}{2}=4:1$ ，因此面积之比为 $16$ 。

所以正确答案是 C。

Take $K$ to have center $(0,0)$ and radius $2,$ with $AB$ the $x$ -axis. Then $L$ has center $(0,1)$ and radius $1.$ If $M$ has center $(x,t)$ and radius $t,$ internal tangency to $K$ and external tangency to $L$ give $\begin{aligned} x^2+t^2&=(2-t)^2,\\ x^2+(t-1)^2&=(1+t)^2. \end{aligned}$ These simplify to $x^2=4-4t$ and $x^2=4t,$ so $t=\frac12.$ The radius ratio is $2:\frac{1}{2}=4:1,$ hence the area ratio is $16.$

Therefore, the correct answer is C.

25.

对于数列 $u_1$ 、 $u_2$ 、 $\ldots$ ，定义 $\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n$ ，并对所有整数 $k\gt1$ 定义 $\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n))$ 。若 $u_n=n^3+n$ ，则对所有 $n$ ，都有 $\Delta^k(u_n)=0$

For a sequence $u_1,$ $u_2,$ $\ldots,$ define $\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n$ and, for all integers $k\gt1,$ $\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).$ If $u_n=n^3+n,$ then $\Delta^k(u_n)=0$ for all $n$

当 $k=1$ 时

if $k=1$

当 $k=2$ 时，但 $k=1$ 时不成立

if $k=2,$ but not if $k=1$

当 $k=3$ 时，但 $k=2$ 时不成立

if $k=3,$ but not if $k=2$

当 $k=4$ 时，但 $k=3$ 时不成立

if $k=4,$ but not if $k=3$

不存在这样的 $k$

for no value of $k$

答案：D

知识点：多项式递推找规律

难度评级：1830

小提示：

多项式数列每作一次向前差分，次数就降低一

Each forward difference lowers the degree of a polynomial sequence by one

大提示：

一直计算到恒定的三阶差分，就能看出何时首次得到零

Compute through the constant third difference to see when zero first appears

解答：

直接计算得 $\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0 \end{aligned}\text{。}$ 因此四阶差分对所有 $n$ 都为零，而三阶差分不为零。

所以正确答案是 D。

Directly, $\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}$ Thus the fourth differences vanish for all $n,$ but the third differences do not.

Therefore, the correct answer is D.

26.

在所附图中，圆 $O'$ 的每一点都在圆 $O$ 的外部。一条内公切线分别与两条外公切线交于 $P$ 和 $Q$ 。则 $PQ$ 的长度

In the adjoining figure, every point of circle $O'$ is exterior to circle $O.$ Let $P$ and $Q$ be the points of intersection of an internal common tangent with the two external common tangents. Then the length of $PQ$ is

等于内公切线段与外公切线段长度的平均数

the average of the lengths of the internal and external common tangents

当且仅当圆 $O$ 和 $O'$ 的半径相等时，才等于一条外公切线段的长度

equal to the length of an external common tangent if and only if circles $O$ and $O'$ have equal radii

总是等于一条外公切线段的长度

always equal to the length of an external common tangent

大于一条外公切线段的长度

greater than the length of an external common tangent

等于内公切线段与外公切线段长度的几何平均数

the geometric mean of the lengths of the internal and external common tangents

答案：C

知识点：相切圆切线位似

难度评级：2200

小提示：

在三条切线上分别标出切点

Mark the tangency point on each of the three tangent lines

大提示：

从 $P$ 或 $Q$ 中任一点向同一个圆所作的两条切线段长度相等

From either $P$ or $Q,$ tangent segments to the same circle have equal lengths

解答：

设内公切线与圆 $O$ 和 $O'$ 分别切于 $R$ 和 $S$ 。设经过 $P$ 的外公切线与两圆分别切于 $X$ 和 $Y$ ，经过 $Q$ 的外公切线与两圆分别切于 $V$ 和 $W$ 。从同一点引出的切线段相等，所以 $\begin{gathered} PR=PX,\\ PS=PY,\\ QR=QV,\\ QS=QW \end{gathered}\text{。}$ 在内公切线上， $PR+QR=PQ$ ，且 $PS+QS=PQ$ 。相加得 $\begin{aligned} PR+QR+PS+QS=2PQ \end{aligned}\text{。}$ 在两条外公切线上， $PX+PY=XY$ ，且 $QV+QW=VW$ 。因此 $2PQ=XY+VW$ 。两条外公切线段长度相等，所以 $XY=VW$ ，从而 $PQ=XY=VW$ 。

所以正确答案是 C。

Let the internal tangent touch $O$ and $O'$ at $R$ and $S.$ Let the external tangent through $P$ touch them at $X$ and $Y,$ and let the one through $Q$ touch them at $V$ and $W.$ Equal tangent segments from a point give $\begin{gathered} PR=PX,\\ PS=PY,\\ QR=QV,\\ QS=QW. \end{gathered}$ Along the internal tangent, $PR+QR=PQ$ and $PS+QS=PQ.$ Adding, $\begin{aligned} PR+QR+PS+QS=2PQ. \end{aligned}$ Along the external tangents, $PX+PY=XY$ and $QV+QW=VW.$ Therefore $2PQ=XY+VW.$ The two external common tangent segments have equal length, so $XY=VW$ and hence $PQ=XY=VW.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

若 $\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2} \end{aligned}\text{，}$ 则 $N$ 等于

If $\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned}$ then $N$ equals

$1$

$2\sqrt2-1$

$\frac{\sqrt5}{2}$

$\sqrt{\frac52}$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：根式分母有理化代数变形

难度评级：2080

小提示：

先把大分数的分子平方，再进行化简

Square the numerator of the large fraction before simplifying it

大提示：

识别出 $3-2\sqrt2$ 是 $(\sqrt2-1)^2$

Recognize $3-2\sqrt2$ as $(\sqrt2-1)^2$

解答：

设 $T$ 为第一个分数。它的分子平方为 $\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2$ ，且 $T=\sqrt2$ 。另外， $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1$ 。所以 $N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1$ 。

所以正确答案是 A。

Let $T$ be the first fraction. Its numerator squared is $\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned}$ Thus $T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2,$ and $T=\sqrt2.$ Also $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1.$ Hence $N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

直线 $L_1$ 、 $L_2$ 、 $\ldots$ 、 $L_{100}$ 两两不同。所有直线 $L_{4n}$ （其中 $n$ 为正整数）彼此平行。所有直线 $L_{4n-3}$ （其中 $n$ 为正整数）都经过给定点 $A$ 。完整集合 $\{L_1,L_2,\ldots,L_{100}\}$ 中任意两条直线的交点数最大为

Lines $L_1,$ $L_2,$ $\ldots,$ $L_{100}$ are distinct. All lines $L_{4n},$ $n$ a positive integer, are parallel to each other. All lines $L_{4n-3},$ $n$ a positive integer, pass through a given point $A.$ The maximum number of points of intersection of pairs of lines from the complete set $\{L_1,L_2,\ldots,L_{100}\}$ is

$4350$

$4351$

$4900$

$4901$

$9851$

答案：B

知识点：交点计数组合双重计数

难度评级：2320

小提示：

先从一般位置下的 $\binom{100}{2}$ 个交点开始

Start with $\binom{100}{2}$ intersections in general position

大提示：

去掉 $25$ 条平行线之间的线对，并把 $25$ 条共点直线之间的所有线对合并成一个点

Remove the pairs among the $25$ parallel lines and collapse the pairs among the $25$ concurrent lines to one point

解答：

能被 $4$ 整除的下标有 $25$ 个，与 $1\pmod4$ 同余的下标也有 $25$ 个。从 $\binom{100}{2}=4950$ 个交点出发，平行线组不产生交点，因此减去 $\binom{25}{2}=300$ 。共点线组的 $300$ 对直线只产生一个点，而不是 $300$ 个不同的点，因此再减去 $299$ 。其余交点都可以选成互不相同，所以最大值为 $4950-300-299=4351\text{。}$

所以正确答案是 B。

There are $25$ indices divisible by $4$ and $25$ congruent to $1\pmod4.$ Starting from $\binom{100}{2}=4950,$ the parallel group contributes no intersections, removing $\binom{25}{2}=300.$ The concurrent group’s $300$ pairs all give one point rather than $300$ distinct points, removing another $299.$ All remaining intersections can be chosen distinct, so the maximum is $4950-300-299=4351.$

Therefore, the correct answer is B.

29.

安和芭芭拉在比较年龄时发现：芭芭拉现在的年龄，等于安在某时的年龄；在那时，芭芭拉的年龄，又等于安在更早某时的年龄；而在那个更早的时候，芭芭拉的年龄是安现在年龄的一半。若她们现在的年龄之和为 $44$ 岁，则安的年龄是

Ann and Barbara were comparing their ages and found that Barbara is as old as Ann was when Barbara was as old as Ann had been when Barbara was half as old as Ann is. If the sum of their present ages is $44$ years, then Ann’s age is

$22$

$24$

$25$

$26$

$28$

答案：B

知识点：年龄问题一次方程逆推法

难度评级：1950

小提示：

设安和芭芭拉现在的年龄分别为 $x$ 和 $y$ ，且 $x+y=44$

Let Ann’s and Barbara’s present ages be $x$ and $y,$ with $x+y=44$

大提示：

每遇到一个“在某时”，就从两人的年龄中减去同一段经过的时间

Translate each “when” by subtracting the same elapsed time from both ages

解答：

设安和芭芭拉现在的年龄分别为 $x$ 和 $y$ ，并令她们恒定的年龄差为 $d=x-y$ 。在第一个所述时刻，安的年龄为 $y$ ，所以芭芭拉的年龄为 $y-d$ 。在更早的所述时刻，安的年龄为 $y-d$ ，所以芭芭拉的年龄为 $y-2d$ 。最后一句说明这个年龄等于 $\frac{x}{2}$ 。因此 $y-2(x-y)=\frac{x}{2}\text{，}$ 从而 $6y=5x$ 。再结合 $x+y=44$ ，得 $x=24$ 、 $y=20$ 。

所以正确答案是 B。

Let Ann’s and Barbara’s present ages be $x$ and $y,$ and let their constant age difference be $d=x-y.$ At the first referenced time Ann was $y,$ so Barbara was $y-d.$ At the earlier referenced time Ann was that age $y-d,$ so Barbara was $y-2d.$ The final clause says this last age was $\frac{x}{2}.$ Hence $y-2(x-y)=\frac{x}{2},$ which gives $6y=5x.$ Together with $x+y=44,$ this yields $x=24$ and $y=20.$

Therefore, the correct answer is B.

30.

有多少个不同的有序三元组 $(x,y,z)$ 满足方程组 $\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6 \end{aligned}\text{？}$

How many distinct ordered triples $(x,y,z)$ satisfy the equations $\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}$

没有

none

$1$

$2$

$4$

$6$

答案：E

知识点：对称性（代数）韦达定理排列

难度评级：2320

小提示：

令 $x=2u$ 、 $y=v$ 和 $z=\frac{w}{2}$ ，对变量作缩放

Rescale the variables by setting $x=2u,$ $y=v,$ and $z=\frac{w}{2}$

大提示：

新变量的三个基本对称和分别为 $6$ 、 $11$ 、 $6$

The new variables have elementary symmetric sums $6,$ $11,$ and $6$

解答：

令 $x=2u$ 、 $y=v$ 和 $z=\frac{w}{2}$ 。前两个方程都除以 $2$ ，得 $\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11 \end{aligned}\text{，}$ 而 $uvw=6$ 。因此 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 是多项式 $p(t)=t^3-6t^2+11t-6$ 的三个根。该多项式分解为 $p(t)=(t-1)(t-2)(t-3)\text{，}$ 所以这三个数是按任意顺序排列的 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 。它们的 $3!=6$ 种排列产生 $6$ 个不同的有序三元组 $(x,y,z)$ 。

所以正确答案是 E。

Set $x=2u,$ $y=v,$ and $z=\frac{w}{2}.$ Dividing the first two equations by $2$ gives $\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}$ while $uvw=6.$ Thus $u,$ $v,$ and $w$ are the three roots of $p(t)=t^3-6t^2+11t-6.$ This polynomial factors as $p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),$ so they are $1,$ $2,$ and $3$ in any order. Their $3!=6$ permutations produce $6$ distinct ordered triples $(x,y,z).$

Therefore, the correct answer is E.