Question

若 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 和 $q$ 都是实数，且 $f(x)=mx+n$ 、 $g(x)=px+q$ ，则方程 $f(g(x))=g(f(x))$ 有解的充要条件为

If $m,$ $n,$ $p$ and $q$ are real numbers and $f(x)=mx+n$ and $g(x)=px+q,$ then the equation $f(g(x))=g(f(x))$ has a solution

任意 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 、 $q$ 均可

for all choices of $m,$ $n,$ $p$ and $q$

$m=p$ 且 $n=q$

if and only if $m=p$ and $n=q$

$mq-np=0$

if and only if $mq-np=0$

$n(1-p)-q(1-m)=0$

if and only if $n(1-p)-q(1-m)=0$

$(1-n)(1-p)$ ${}-(1-q)(1-m)=0$

if and only if $(1-n)(1-p)$ ${}-(1-q)(1-m)=0$

答案：D

知识点：函数一次方程代数变形

难度评级：1670

小提示：

先展开两个复合函数，再尝试解出 $x$

Expand both compositions before trying to solve for $x$

大提示：

两边 $x$ 的系数自动相同，只需比较常数项

The coefficients of $x$ are automatically equal, leaving a condition on the constant terms

解答：

有 $\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q \end{aligned}\text{。}$ 对任意 $x$ ，两边的 $x$ 项都会消去，所以方程有解当且仅当 $mq+n=pn+q$ 。整理得 $n(1-p)-q(1-m)=0$ 。

所以正确答案是 D。

We have $\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}$ The $x$ -terms cancel for every $x,$ so a solution exists exactly when $mq+n=pn+q.$ Rearranging gives $n(1-p)-q(1-m)=0.$

Therefore, the correct answer is D.

1976 AMC 12 第 10 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题