Question

若 $n$ 为实数，则联立方程组 $\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}$ 无解当且仅当 $n$ 等于

If $n$ is a real number, then the simultaneous system $\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}$ has no solution if and only if $n$ is equal to

$-1$

$0$

$1$

$0$ 或 $1$

$0$ or $1$

$\frac12$

答案：A

知识点：方程组一次方程换元法

难度评级：1690

小提示：

将三个方程相加，观察 $x+y+z$ 的系数

Add all three equations and inspect the coefficient of $x+y+z$

大提示：

对其余每个 $n$ 值，尝试对称取值 $x=y=z$

For every remaining value of $n,$ try the symmetric choice $x=y=z$

解答：

将三个方程相加，得到 $(n+1)(x+y+z)=3\text{。}$ 当 $n=-1$ 时，这变为 $0=3$ ，所以无解。若 $n\ne-1$ ，对称取值 $x=y=z=\frac1{n+1}$ 满足全部三个方程。因此方程组恰在 $n=-1$ 时无解。

所以正确答案是 A。

Adding the equations gives $(n+1)(x+y+z)=3.$ When $n=-1,$ this becomes $0=3,$ so no solution exists. If $n\ne-1,$ the symmetric assignment $x=y=z=\frac1{n+1}$ satisfies all three equations. Hence the system has no solution exactly when $n=-1.$

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 第 10 题

答案：A

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题