1972 AMC 12 第 10 题

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10.

对实数 xx,不等式 1x271\le\lvert x-2\rvert\le7 等价于:

For xx real, the inequality 1x271\le\lvert x-2\rvert\le7 is equivalent to:

x1x\le1x3x\ge3

x1x\le1 or x3x\ge3

1x31\le x\le3

5x9-5\le x\le9

5x1-5\le x\le13x93\le x\le9

5x1-5\le x\le1 or 3x93\le x\le9

6x1-6\le x\le13x103\le x\le10

6x1-6\le x\le1 or 3x103\le x\le10

答案:D
知识点:绝对值不等式分类讨论
难度评级:1400
小提示:

上界表示 xx22 的距离不超过 77

The upper bound places xx within 77 units of 22

大提示:

下界排除了与 22 距离小于 11 的开区间

The lower bound removes the open interval of points less than 11 unit from 22

解答:

条件 x27\lvert x-2\rvert\le7 给出 5x9-5\le x\le9。条件 x21\lvert x-2\rvert\ge1 给出 x1x\le1x3x\ge3。二者的交集为 [5,1][3,9] [-5,1]\cup[3,9]\text{。}

因此,正确答案是 D

The condition x27\lvert x-2\rvert\le7 gives 5x9.-5\le x\le9. The condition x21\lvert x-2\rvert\ge1 gives x1x\le1 or x3.x\ge3. Their intersection is [5,1][3,9]. [-5,1]\cup[3,9].

Therefore, the correct answer is D.

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