Question

设 $S$ 为所有正整数 $n$ 的集合，使得 $\dfrac{1}{n}$ 的循环小数表示为 $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是不同的数字。集合 $S$ 中元素的和是多少？

Let $S$ be the set of positive integers $n$ for which $\dfrac{1}{n}$ has the repeating decimal representation $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,$ with $a$ and $b$ different digits. What is the sum of the elements of $S?$

$11$

$44$

$110$

$143$

$155$

答案：D

知识点：循环小数因数

难度评级：1510

小提示：

两位循环节表示 $\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$ 。

A two-digit repeating block means $\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$

大提示：

所以 $\dfrac{99}{n}$ 是两位数 $\overline{ab}$ ；检查 $99$ 的因数

So $\dfrac{99}{n}$ is the two-digit number $\overline{ab};$ check the divisors of $99$

解答：

若 $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab}$ ，则 $\dfrac{99}{n} = \overline{ab}$ 是一个两位数。 $99$ 的正因数为 $1, 3, 9, 11, 33, 99$ 。

只有 $n = 11, 33, 99$ 时， $\dfrac{99}{n}$ 分别等于 $09, 03, 01$ ，它们有两个不同的数字。所求和为 $11 + 33 + 99 = 143$ 。

因此，正确答案是 D。

If $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},$ then $\dfrac{99}{n} = \overline{ab},$ a two-digit number. The positive divisors of $99$ are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

Only $n = 11, 33, 99$ make $\dfrac{99}{n}$ equal to $09, 03, 01,$ which have two different digits. The requested sum is $11 + 33 + 99 = 143.$

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12A 第 10 题

答案：D

难度评级：1510

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题