Question

有多少个互不全等的正面积整数边三角形，其周长小于 $15$ 且既不是等边三角形，也不是等腰三角形，也不是直角三角形？

How many noncongruent integer-sided triangles with positive area and perimeter less than $15$ are neither equilateral, isosceles, nor right triangles?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

答案：C

知识点：三角不等式系统列举

难度评级：1520

小提示：

设边长 $a \lt b \lt c$ ，三角形不等式给出周长 $\gt 2c$ 。

With sides $a \lt b \lt c,$ the triangle inequality gives perimeter $\gt 2c$

大提示：

这迫使 $c \le 6$ ；列出不等边三元组，并去掉直角三角形 $3, 4, 5$ 。

This forces $c \le 6;$ list scalene triples and drop the right triangle $3, 4, 5$

解答：

设三条不同边为 $a \lt b \lt c$ 。因为 $a + b \gt c$ ，周长大于 $2c$ ，所以 $2c \lt 15$ ，从而 $c \le 6$ 。

周长小于 $15$ 的不等边三元组为 $(6,5,3)$ ， $(6,5,2)$ ， $(6,4,3)$ ， $(5,4,3)$ ， $(5,4,2)$ ，和 $(4,3,2)$ 。其中只有 $(5,4,3)$ 是直角三角形，剩下 $5$ 个。

因此，正确选项是 C。

Let the distinct sides be $a \lt b \lt c.$ Since $a + b \gt c,$ the perimeter exceeds $2c,$ so $2c \lt 15$ and $c \le 6.$

The scalene triples with perimeter less than $15$ are $(6,5,3),$ $(6,5,2),$ $(6,4,3),$ $(5,4,3),$ $(5,4,2),$ and $(4,3,2).$ Of these, only $(5,4,3)$ is a right triangle, leaving $5.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12B 第 10 题

答案：C

难度评级：1520

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题