Question

在右图中， $BO$ 平分 $\angle CBA$ ， $CO$ 平分 $\angle ACB$ ，且 $MN$ 平行于 $BC$ 。若 $AB=12$ 、 $BC=24$ 、 $AC=18$ ，则 $\triangle AMN$ 的周长为

In the adjoining diagram, $BO$ bisects $\angle CBA,$ $CO$ bisects $\angle ACB,$ and $MN$ is parallel to $BC.$ If $AB=12,$ $BC=24,$ and $AC=18,$ then the perimeter of $\triangle AMN$ is

$30$

$33$

$36$

$39$

$42$

答案：A

知识点：相似内切圆、内心与内切圆半径海伦公式周长

难度评级：1910

小提示：

因为 $O$ 是内心，所以它到 $BC$ 的距离就是内切圆半径

Because $O$ is the incenter, its distance from $BC$ is the inradius

大提示：

比较 $\triangle AMN$ 与 $\triangle ABC$ 的高

Compare the altitude of $\triangle AMN$ with the altitude of $\triangle ABC$

解答：

边长为 $12$ 、 $18$ 、 $24$ 的三角形半周长为 $27$ ，面积为 $\sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15}\text{，}$ 所以内切圆半径为 $r=\sqrt{15}$ 。以 $BC$ 为底，高为 $h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}$ 。因此，从 $\triangle ABC$ 到 $\triangle AMN$ 的相似比为 $1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$ 。它的周长为 $(\frac{5}{9})(12+18+24)=30$ 。

所以正确答案是 A。

The sides $12,$ $18,$ $24$ have semiperimeter $27$ and area $\sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15},$ so the inradius is $r=\sqrt{15}.$ Taking $BC$ as base, the altitude is $h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}.$ Thus the similarity scale from $\triangle ABC$ to $\triangle AMN$ is $1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$ Its perimeter is $(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.$

Therefore, the correct answer is A.

1982 AMC 12 第 10 题

答案：A

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题