设 n 是正整数，则 (10^4n^2+8+1)^2 的十进制各位数字之和为

1975 AMC 12 第 10 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1975 AMC 12 第 10 题

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10.

设 $n$ 是正整数，则 $\left(10^{4n^2+8}+1\right)^2$ 的十进制各位数字之和为

The sum of the digits in base ten of $\left(10^{4n^2+8}+1\right)^2,$ where $n$ is a positive integer, is

$4$

$4n$

$2+2n$

$4n^2$

$n^2+n+2$

答案：A

知识点：位值指数二项式定理

难度评级：1440

小提示：

令 $k=4n^2+8$ ，再计算 $10^k+1$ 的平方

Set $k=4n^2+8$ and square $10^k+1$

大提示：

三个非零数字位于不同数位，因此不会发生进位

The three nonzero digits occur in distinct places, so there are no carries

解答：

令 $k=4n^2+8$ ，则 $(10^k+1)^2=10^{2k}+2\cdot10^k+1\text{。}$ 它仅有的三个非零数字为 $1,2,1$ ，所以各位数字之和为 $4$ 。

因此，正确答案是 A。

For $k=4n^2+8,$ $(10^k+1)^2=10^{2k}+2\cdot10^k+1.$ Its only nonzero digits are $1,2,1,$ so their sum is $4.$

Therefore, the correct answer is A.

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