Question

已知 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $\ldots$ 与 $b_1$ 、 $b_2$ 、 $\ldots$ 都是等差数列，且 $a_1=25$ 、 $b_1=75$ 、 $a_{100}+b_{100}=100$ 。求数列 $a_1+b_1$ 、 $a_2+b_2$ 、 $\ldots$ 的前一百项之和。

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ and $b_1,$ $b_2,$ $\ldots$ be arithmetic progressions such that $a_1=25,$ $b_1=75,$ and $a_{100}+b_{100}=100.$ Find the sum of the first one hundred terms of the progression $a_1+b_1,$ $a_2+b_2,$ $\ldots.$

$0$

$100$

$10{,}000$

$505{,}000$

所给信息不足以求解

not enough information given to solve the problem

答案：C

知识点：等差数列求和

难度评级：1430

小提示：

两个等差数列逐项相加所得数列仍是等差数列

The termwise sum of two arithmetic progressions is arithmetic

大提示：

该数列的第一项和第一百项都等于 $100$

Its first and hundredth terms are both $100$

解答：

令 $c_i=a_i+b_i$ 。这是一个等差数列，且 $c_1=25+75=100$ 、 $c_{100}=100$ 。首末两项相等，故公差为 $0$ ，所以全部 $100$ 项都等于 $100$ ，其和为 $10{,}000$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $c_i=a_i+b_i.$ This is an arithmetic progression with $c_1=25+75=100$ and $c_{100}=100.$ Equal endpoint terms force its common difference to be $0,$ so all $100$ terms equal $100.$ Their sum is $10{,}000.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 第 9 题

答案：C

难度评级：1430

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题