Question

数列 $a_0$ ， $a_1$ ， $a_2$ ， $\cdots$ 是正整数的严格递增等差数列，且 $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7\text{。}$ 求 $a_2$ 的最小可能值。

The sequence $a_0,$ $a_1,$ $a_2,$ $\cdots$ is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$ What is the minimum possible value of $a_2?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$22$

答案：B

知识点：等差数列指数最优化

难度评级：1530

小提示：

两边除以 $2^{27}$ 得到 $2^{a_7 - 27} = a_7$ 。

Divide both sides by $2^{27}$ to get $2^{a_7 - 27} = a_7$

大提示：

求出 $a_7$ 后，写成 $a_2 = a_7 - 5d$ ，并让公差 $d$ 尽可能大。

After finding $a_7,$ write $a_2 = a_7 - 5d$ and make the common difference $d$ as large as possible

解答：

两边除以 $2^{27}$ ，得 $2^{a_7 - 27} = a_7$ 。因此 $a_7=2^j$ ，并且 $2^j-j=27$ ，其中 $j=a_7-27\ge0$ 。当 $j\ge1$ 时，左边严格递增，而 $j=5$ 满足方程，所以唯一解是 $a_7=32$ 。

设公差 $d \ge 1$ ，则 $a_7 = a_0 + 7d = 32$ ，并且 $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d$ 。要使 $a_2$ 最小，就要使 $d$ 尽可能大。因为 $a_0 = 32 - 7d \ge 1$ ，最大选择为 $d = 4$ （此时 $a_0 = 4$ ）。

于是 $a_2 = 32 - 20 = 12$ 。

因此，正确答案是 B。

Dividing by $2^{27},$ we need $2^{a_7 - 27} = a_7.$ Thus $a_7=2^j$ and $2^j-j=27,$ where $j=a_7-27\ge0.$ The left side is strictly increasing for $j\ge1,$ and $j=5$ works, so uniquely $a_7=32.$

With common difference $d \ge 1,$ we have $a_7 = a_0 + 7d = 32$ and $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ To minimize $a_2$ we maximize $d;$ since $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ the largest choice is $d = 4$ (giving $a_0 = 4$ ).

Then $a_2 = 32 - 20 = 12.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B 第 9 题

答案：B

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题