Question

凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB = 3$ ， $BC = 4$ ， $CD = 13$ ， $AD = 12$ ，且 $\angle ABC = 90^\circ$ ，如图所示。这个四边形的面积是多少？

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 3,$ $BC = 4,$ $CD = 13,$ $AD = 12,$ and $\angle ABC = 90^\circ,$ as shown. What is the area of the quadrilateral?

$30$

$36$

$40$

$48$

$58.5$

答案：B

知识点：勾股定理三角形面积面积分割

难度评级：1560

小提示：

用直角三角形 $ABC$ 求对角线 $AC$ 。

Use right triangle $ABC$ to find diagonal $AC$

大提示：

检查 $AC$ ， $AD$ ， $CD$ 是否满足 $AC^2 + AD^2 = CD^2$ 。

Check whether $AC,$ $AD,$ $CD$ satisfy $AC^2 + AD^2 = CD^2$

解答：

由直角三角形 $ABC$ 中的勾股定理， $AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ 。

因为 $5^2 + 12^2 = 13^2$ ，勾股定理逆定理说明 $\angle DAC = 90^\circ$ ，所以 $\triangle DAC$ 是直角三角形。

$\triangle ABC$ 的面积是 $\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6$ ， $\triangle DAC$ 的面积是 $\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30$ 。四边形面积为 $6 + 30 = 36$ 。

所以正确答案是 B。

By the Pythagorean Theorem in right triangle $ABC,$ $AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.$

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ the converse of the Pythagorean Theorem shows $\angle DAC = 90^\circ,$ so $\triangle DAC$ is right.

The area of $\triangle ABC$ is $\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6$ and the area of $\triangle DAC$ is $\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30.$ The quadrilateral has area $6 + 30 = 36.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B 第 9 题

答案：B

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

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