Question

三角形 $ABC$ 的顶点为 $A = (3, 0)$ 、 $B = (0, 3)$ 和 $C$ ，其中 $C$ 在直线 $x + y = 7$ 上。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

Triangle $ABC$ has vertices $A = (3, 0),$ $B = (0, 3),$ and $C,$ where $C$ is on the line $x + y = 7.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

直线 $AB$ 是 $x + y = 3$ ，它与 $x + y = 7$ 平行。

Line $AB$ is $x + y = 3,$ which is parallel to $x + y = 7$

因为 $C$ 在一条与 $AB$ 平行的直线上移动，面积固定；选一个方便的 $C$ 。

Since $C$ slides along a line parallel to $AB,$ the area is fixed; pick a convenient $C$

直线 $AB$ 的方程是 $x + y = 3$ ，它与 $x + y = 7$ 平行，所以面积与 $C$ 在该直线上的具体位置无关。

取 $C = (7, 0)$ 。此时底边 $AC = 4$ 在 $x$ -轴上，高为 $3$ ，面积为 $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ 。

所以正确答案是 A。

Line $AB$ has equation $x + y = 3,$ which is parallel to $x + y = 7,$ so the area is independent of where $C$ lies on that line.

Take $C = (7, 0).$ Then the base $AC = 4$ lies on the $x$ -axis with height $3,$ giving area $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6.$

Thus, the correct answer is A.