Question

先画一个边长为 $a$ 的等边三角形，再连接其三边中点，得到一个新的等边三角形；随后连接第二个三角形的三边中点，得到第三个等边三角形；如此无限继续。所有这些三角形周长之和的极限为：

An equilateral triangle is drawn with a side of length $a.$ A new equilateral triangle is formed by joining the midpoints of the sides of the first one. Then a third equilateral triangle is formed by joining the midpoints of the sides of the second; and so on forever. The limit of the sum of the perimeters of all the triangles thus drawn is:

无穷大

Infinite

$\left(5\dfrac14\right)a$

$2a$

$6a$

$\left(4\dfrac12\right)a$

答案：D

知识点：等比数列周长等边三角形

难度评级：1400

小提示：

每个中点三角形的边长都是前一个三角形的一半

Each midpoint triangle has half the side length of the preceding triangle

大提示：

各周长组成 $3a+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{4}+\cdots$

The perimeters form $3a+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{4}+\cdots$

解答：

第一个三角形的周长为 $3a$ ，以后每个周长都是前一个的一半。因此，总和为 $\begin{aligned} &3a\left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\quad=3a\cdot\frac{1}{1-\frac12}\\ &\quad=6a \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The first perimeter is $3a,$ and every later perimeter is half the preceding one. Hence the total is $\begin{aligned} &3a\left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\quad=3a\cdot\frac{1}{1-\frac12}\\ &\quad=6a. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 第 9 题

答案：D

难度评级：1400

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题