Question

设 $M$ 是最大的整数，使得 $M+1213$ 和 $M+3773$ 都是完全平方数。 $M$ 的个位数字是多少？

Let $M$ be the greatest integer such that both $M+1213$ and $M+3773$ are perfect squares. What is the units digit of $M?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

答案：E

知识点：平方差完全平方数最优化

难度评级：1510

小提示：

设 $M+1213=a^2$ ， $M+3773=b^2$ ；相减得到 $b^2-a^2=2560$ 。

Let $M+1213=a^2$ and $M+3773=b^2;$ subtract to get $b^2-a^2=2560$

大提示：

$(b-a)(b+a)=2560$ ，两个因数都为偶数；要使 $M$ 最大，就让 $b-a$ 尽可能小

$(b-a)(b+a)=2560$ with both factors even; to maximize $M,$ make $b-a$ as small as possible

解答：

写成 $M+1213=a^2$ 、 $M+3773=b^2$ ，则 $b^2-a^2=2560$ ，即 $(b-a)(b+a)=2560$ 。两个因数同奇偶，所以都为偶数。要最大化 $a$ （也就是最大化 $M$ ），应最小化 $b-a$ ：取 $b-a=2,\ b+a=1280$ ，得 $a=639$ 。于是 $M=639^2-1213$ $=408321-1213$ $=407108$ ，个位数字为 $8$ 。因此正确答案是 E。

Write $M+1213=a^2$ and $M+3773=b^2,$ so $b^2-a^2=2560,$ i.e. $(b-a)(b+a)=2560.$ Both factors have the same parity, hence both even. To maximize $a$ (and thus $M$ ), minimize $b-a:$ take $b-a=2,\ b+a=1280,$ so $a=639.$ Then $M=639^2-1213$ $=408321-1213$ $=407108,$ whose units digit is $8.$ Thus, the correct answer is E.

2024 AMC 12A 第 9 题

答案：E

难度评级：1510

小提示：

大提示：

解答：

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