Question

令 $w$ 为复数 $2 + i$ ，其中 $i = \sqrt{-1}$ 。哪个实数 $r$ 具有这样的性质： $r$ ， $w$ ，和 $w^2$ 在复平面中是三个共线点？

Let $w$ be the complex number $2 + i,$ where $i = \sqrt{-1}.$ What real number $r$ has the property that $r,$ $w,$ and $w^2$ are three collinear points in the complex plane?

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$\dfrac{7}{5}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

答案：E

知识点：复数斜率

难度评级：1500

小提示：

计算 $w^2$ ，并把 $w = (2,1)$ 和 $w^2$ 看作平面上的点

Compute $w^2$ and treat $w = (2,1)$ and $w^2$ as points in the plane

大提示：

求过 $w$ 和 $w^2$ 的直线与实轴的交点

Find where the line through $w$ and $w^2$ meets the real axis

解答：

计算得 $w^2 = (2+i)^2 = 3 + 4i$ ，所以这些点是 $(2,1)$ 和 $(3,4)$ 。

过它们的直线斜率为 $\dfrac{4-1}{3-2} = 3$ ，因而方程为 $y = 3x - 5$ 。令 $y = 0$ 得到 $x = \dfrac{5}{3}$ 。

所以 $r = \dfrac{5}{3}$ 。

因此，正确答案是 E。

Compute $w^2 = (2+i)^2 = 3 + 4i,$ so the points are $(2,1)$ and $(3,4).$

The line through them has slope $\dfrac{4-1}{3-2} = 3,$ giving $y = 3x - 5.$ Setting $y = 0$ yields $x = \dfrac{5}{3}.$

So $r = \dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12A 第 9 题

答案：E

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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