Question

Sea $w$ el número complejo $2 + i,$ donde $i = \sqrt{-1}.$ ¿Qué número real $r$ tiene la propiedad de que $r,$ $w,$ y $w^2$ son tres puntos colineales en el plano complejo?

Let $w$ be the complex number $2 + i,$ where $i = \sqrt{-1}.$ What real number $r$ has the property that $r,$ $w,$ and $w^2$ are three collinear points in the complex plane?

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$\dfrac{7}{5}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

Respuesta: E

Conceptos:número complejo pendiente

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Calcula $w^2$ , y trata $w = (2,1)$ y $w^2$ como puntos en el plano

Compute $w^2$ and treat $w = (2,1)$ and $w^2$ as points in the plane

Pista grande:

Halla dónde la recta que pasa por $w$ y $w^2$ corta al eje real

Find where the line through $w$ and $w^2$ meets the real axis

Solución:

Al calcular $w^2 = (2+i)^2 = 3 + 4i,$ los puntos son $(2,1)$ y $(3,4).$

La recta que pasa por ellos tiene pendiente $\dfrac{4-1}{3-2} = 3,$ dando $y = 3x - 5.$ Poniendo $y = 0$ resulta $x = \dfrac{5}{3}.$

Así que $r = \dfrac{5}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Compute $w^2 = (2+i)^2 = 3 + 4i,$ so the points are $(2,1)$ and $(3,4).$

The line through them has slope $\dfrac{4-1}{3-2} = 3,$ giving $y = 3x - 5.$ Setting $y = 0$ yields $x = \dfrac{5}{3}.$

So $r = \dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12A Problema 9

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años