Question

La sucesión $a_0,$ $a_1,$ $a_2,$ $\cdots$ es una progresión aritmética estrictamente creciente de enteros positivos tal que $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$ ¿Cuál es el mínimo valor posible de $a_2$ ?

The sequence $a_0,$ $a_1,$ $a_2,$ $\cdots$ is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$ What is the minimum possible value of $a_2?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$22$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética exponente optimización

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Divide ambos lados entre $2^{27}$ para obtener $2^{a_7 - 27} = a_7$ .

Divide both sides by $2^{27}$ to get $2^{a_7 - 27} = a_7$

Pista grande:

Después de hallar $a_7,$ escribe $a_2 = a_7 - 5d$ y haz la diferencia común $d$ lo más grande posible.

After finding $a_7,$ write $a_2 = a_7 - 5d$ and make the common difference $d$ as large as possible

Solución:

Al dividir entre $2^{27},$ necesitamos $2^{a_7 - 27} = a_7.$ Por tanto, $a_7=2^j$ y $2^j-j=27,$ donde $j=a_7-27\ge0.$ El lado izquierdo es estrictamente creciente para $j\ge1,$ y $j=5$ funciona, así que de manera única $a_7=32.$

Con diferencia común $d \ge 1,$ tenemos $a_7 = a_0 + 7d = 32$ y $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ Para minimizar $a_2$ , maximizamos $d;$ como $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ la mayor opción es $d = 4$ (que da $a_0 = 4$ ).

Entonces $a_2 = 32 - 20 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Dividing by $2^{27},$ we need $2^{a_7 - 27} = a_7.$ Thus $a_7=2^j$ and $2^j-j=27,$ where $j=a_7-27\ge0.$ The left side is strictly increasing for $j\ge1,$ and $j=5$ works, so uniquely $a_7=32.$

With common difference $d \ge 1,$ we have $a_7 = a_0 + 7d = 32$ and $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ To minimize $a_2$ we maximize $d;$ since $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ the largest choice is $d = 4$ (giving $a_0 = 4$ ).

Then $a_2 = 32 - 20 = 12.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B Problema 9

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años