Question

La sucesión $a_0, a_1, a_2, \cdots$ es una progresión aritmética estrictamente creciente de enteros positivos tal que $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$ ¿Cuál es el mínimo valor posible de $a_2$ ?

The sequence $a_0, a_1, a_2, \cdots$ is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$ What is the minimum possible value of $a_2?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$22$

Solución:

Dividiendo entre $2^{27},$ necesitamos $2^{a_7 - 27} = a_7.$ La única solución entera positiva es $a_7 = 32,$ ya que $2^{32 - 27} = 2^5 = 32.$

Con diferencia común $d \ge 1,$ tenemos $a_7 = a_0 + 7d = 32$ y $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ Para minimizar $a_2$ maximizamos $d;$ como $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ la mayor opción es $d = 4$ (lo que da $a_0 = 4$ ).

Entonces $a_2 = 32 - 20 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Dividing by $2^{27},$ we need $2^{a_7 - 27} = a_7.$ The only positive integer solution is $a_7 = 32,$ since $2^{32 - 27} = 2^5 = 32.$

With common difference $d \ge 1,$ we have $a_7 = a_0 + 7d = 32$ and $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ To minimize $a_2$ we maximize $d;$ since $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ the largest choice is $d = 4$ (giving $a_0 = 4$ ).

Then $a_2 = 32 - 20 = 12.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años