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2019 AMC 12A Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2019 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Una sucesión de números se define recursivamente por a1=1,a_1 = 1, a2=37,a_2 = \dfrac{3}{7}, y

an=an−2⋅an−12an−2−an−1 a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}

para todo n≥3.n \ge 3. Entonces a2019a_{2019} puede escribirse como pq,\dfrac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale p+qp + q?

A sequence of numbers is defined recursively by a1=1,a_1 = 1, a2=37,a_2 = \dfrac{3}{7}, and

an=an−2⋅an−12an−2−an−1 a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}

for all n≥3.n \ge 3. Then a2019a_{2019} can be written as pq,\dfrac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers. What is p+q?p + q?

20202020

40394039

60576057

60616061

80788078

Respuesta: E
Conceptos:recursiónsustituciónsucesión aritmética
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:

Toma los recíprocos de ambos lados

Take reciprocals of both sides

Pista grande:

Al poner bn=1anb_n = \dfrac{1}{a_n} se obtiene bn=2bn−1−bn−2,b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2}, una sucesión aritmética

Setting bn=1anb_n = \dfrac{1}{a_n} gives bn=2bn−1−bn−2,b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2}, an arithmetic sequence

Solución:

Tomando recíprocos, 1an=2an−2−an−1an−2an−1=2an−1−1an−2. \begin{aligned} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}} \\ &= \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}. \end{aligned}

Sea bn=1an.b_n = \dfrac{1}{a_n}. Entonces bn=2bn−1−bn−2,b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2}, así que bnb_n es aritmética con b1=1,b_1 = 1, b2=73,b_2 = \dfrac{7}{3}, y diferencia común 43.\dfrac{4}{3}.

Por lo tanto b2019=1+2018⋅43=80753,b_{2019} = 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8075}{3}, así que a2019=38075.a_{2019} = \dfrac{3}{8075}. Como son primos entre sí, p+q=8078.p + q = 8078.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking reciprocals, 1an=2an−2−an−1an−2an−1=2an−1−1an−2. \begin{aligned} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}} \\ &= \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}. \end{aligned}

Let bn=1an.b_n = \dfrac{1}{a_n}. Then bn=2bn−1−bn−2,b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2}, so bnb_n is arithmetic with b1=1,b_1 = 1, b2=73,b_2 = \dfrac{7}{3}, and common difference 43.\dfrac{4}{3}.

Thus b2019=1+2018⋅43=80753,b_{2019} = 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8075}{3}, so a2019=38075.a_{2019} = \dfrac{3}{8075}. Since these are relatively prime, p+q=8078.p + q = 8078.

Thus, the correct answer is E.

Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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