Soluciones del 2019 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El área de una pizza de radio

4

pulgadas es

N

por ciento mayor que el área de una pizza de radio

3

pulgadas. ¿Cuál es el entero más cercano a

N

?

The area of a pizza with radius

4

inches is

N

percent larger than the area of a pizza with radius

3

inches. What is the integer closest to

N?

25

33

44

66

78

Conceptos:área del círculo porcentaje

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Las áreas están en la razón

4^2 : 3^2

.

The areas are in the ratio

4^2 : 3^2

Pista grande:

El aumento porcentual es

\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100

The percent increase is

\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100

Solución:

Las áreas son proporcionales a los cuadrados de los radios, así que la razón del área mayor a la menor es

\dfrac{16}{9}.

El aumento porcentual es

\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100 = \dfrac{700}{9} \approx 77.8.

El entero más cercano es

78.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The areas are proportional to the squares of the radii, so the ratio of the larger area to the smaller is

\dfrac{16}{9}.

The percent increase is

\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100 = \dfrac{700}{9} \approx 77.8.

The closest integer is

78.

Thus, the correct answer is E.

2.

Supongamos que

a

es el

150\%

de

b.

¿Qué porcentaje de

a

es

3b

?

Suppose

a

is

150\%

of

b.

What percent of

a

is

3b?

50

66\dfrac{2}{3}

150

200

450

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Escribe

a = 1.5b

.

Write

a = 1.5b

Pista grande:

Calcula

\dfrac{3b}{a}

y conviértelo a un porcentaje

Compute

\dfrac{3b}{a}

and convert to a percentage

Solución:

Como

a = 1.5b,

tenemos

\dfrac{3b}{a} = \dfrac{3b}{1.5b} = 2.

Como porcentaje,

3b

es el

200\%

de

a.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

a = 1.5b,

we have

\dfrac{3b}{a} = \dfrac{3b}{1.5b} = 2.

As a percentage,

3b

is

200\%

of

a.

Thus, the correct answer is D.

3.

Una caja contiene

28

bolas rojas,

20

bolas verdes,

19

bolas amarillas,

13

bolas azules,

11

bolas blancas y

9

bolas negras. ¿Cuál es el número mínimo de bolas que se deben sacar de la caja sin reemplazo para garantizar que se saquen al menos

15

bolas de un mismo color?

A box contains

28

red balls,

20

green balls,

19

yellow balls,

13

blue balls,

11

white balls, and

9

black balls. What is the minimum number of balls that must be drawn from the box without replacement to guarantee that at least

15

balls of a single color will be drawn?

75

76

79

84

91

Conceptos:principio del palomar

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Considera el peor caso: saca tantas como sea posible sin llegar nunca a

15

de un solo color

Consider the worst case: draw as many as possible without ever reaching

15

of one color

Pista grande:

Toma

14

de cada color que tenga al menos

14,

y todas las bolas de los colores con menos

Take

14

of each color that has at least

14,

and all balls of the smaller colors

Solución:

En el peor caso, sacamos

14

de rojas, verdes y amarillas, más todas las azules

(13),

blancas

(11),

y negras

(9),

sin llegar a

15

de ningún color.

Eso da

14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75

bolas.

La siguiente bola debe completar un conjunto de

15,

así que se necesitan

76

bolas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In the worst case, we draw

14

each of red, green, and yellow, plus all of the blue

(13),

white

(11),

and black

(9),

without reaching

15

of any color.

That is

14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75

balls.

The next ball must complete a set of

15,

so

76

balls are needed.

Thus, the correct answer is B.

4.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros consecutivos cuya suma es

45

?

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is

45?

9

25

45

90

120

Conceptos:sucesión aritmética simetría

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Se permite que los enteros sean negativos

The integers are allowed to be negative

Pista grande:

Sumar

-44, -43, \ldots, 44

aporta

0,

así que extiende la sucesión justo más allá de

45

.

Adding

-44, -43, \ldots, 44

contributes

0,

so extend the run just past

45

Solución:

Se permiten enteros negativos. Los enteros de

-44

a

44

suman

0,

así que los enteros de

-44

a

45

suman

45.

Esta sucesión tiene

45 - (-44) + 1 = 90

enteros. Recíprocamente, si

L

enteros consecutivos suman

45,

entonces el doble de su suma es

L

por un entero, así que

90

es múltiplo de

L.

Por tanto,

L\le90,

lo que demuestra que esta sucesión es la más larga.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Negative integers are allowed. The integers from

-44

to

44

sum to

0,

so the integers from

-44

to

45

sum to

45.

This run has

45 - (-44) + 1 = 90

integers. Conversely, if

L

consecutive integers have sum

45,

then twice their sum is

L

times an integer, so

90

is a multiple of

L.

Hence

L\le90,

proving that this run is longest.

Thus, the correct answer is D.

5.

Dos rectas de pendientes

\dfrac{1}{2}

y

2

se cortan en

(2, 2).

¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta

x + y = 10

?

Two lines with slopes

\dfrac{1}{2}

and

2

intersect at

(2, 2).

What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line

x + y = 10?

4

4\sqrt{2}

6

8

6\sqrt{2}

Conceptos:geometría analítica área del triángulo fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Halla dónde se cruza cada recta con

x + y = 10

Find where each line meets

x + y = 10

Pista grande:

Los tres vértices son

(2, 2),

(6, 4),

y

(4, 6);

usa la fórmula del cordón

The three vertices are

(2, 2),

(6, 4),

and

(4, 6);

use the shoelace formula

Solución:

Las dos rectas son

y = \tfrac{1}{2}x + 1

y

y = 2x - 2.

Al intersecar cada una con

x + y = 10

se obtienen los puntos

(6, 4)

y

(4, 6).

El triángulo tiene vértices

(2, 2),

(6, 4),

y

(4, 6).

Por la fórmula del cordón,

\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two lines are

y = \tfrac{1}{2}x + 1

and

y = 2x - 2.

Intersecting each with

x + y = 10

gives the points

(6, 4)

and

(4, 6).

The triangle has vertices

(2, 2),

(6, 4),

and

(4, 6).

By the shoelace formula,

\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

6.

La figura de abajo muestra la recta

\ell

con un patrón regular, infinito y recurrente de cuadrados y segmentos.

¿Cuántos de los siguientes cuatro tipos de transformaciones de movimiento rígido del plano en el que está dibujada esta figura, distintas de la transformación identidad, llevan esta figura sobre sí misma?

• alguna rotación alrededor de un punto de la recta

\ell

• alguna traslación en la dirección paralela a la recta

\ell

• la reflexión respecto a la recta

\ell

• alguna reflexión respecto a una recta perpendicular a la recta

\ell

The figure below shows line

\ell

with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line

\ell

• some translation in the direction parallel to line

\ell

• the reflection across line

\ell

• some reflection across a line perpendicular to line

\ell

0

1

2

3

4

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Una traslación de un período claramente funciona

A translation by one period clearly works

Pista grande:

Prueba una rotación de

180^\circ

alrededor de un punto sobre

\ell,

y verifica que ninguna de las dos reflexiones lleva correctamente los segmentos diagonales

Test a

180^\circ

rotation about a point on

\ell,

and check that neither reflection maps the diagonal segments correctly

Solución:

Una traslación de un período completo lleva la figura sobre sí misma, así que la traslación funciona.

Una rotación de

180^\circ

alrededor de un punto adecuado sobre

\ell

envía cada cuadrado por encima de la recta al cuadrado por debajo de ella, y los segmentos diagonales coinciden, así que esta rotación funciona.

La reflexión respecto a

\ell

envía las diagonales de arriba a la derecha a diagonales de arriba a la derecha por debajo de la recta, pero las diagonales reales por debajo de la recta apuntan hacia abajo a la izquierda, así que falla. Una reflexión respecto a una recta perpendicular falla por la misma razón. Solo

2

de las cuatro transformaciones funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A translation by one full period maps the figure to itself, so translation works.

A

180^\circ

rotation about a suitable point on

\ell

sends each square above the line to the square below it, with the diagonal segments matching, so this rotation works.

Reflection across

\ell

sends the top-right diagonals to top-right diagonals below the line, but the actual below-line diagonals point to the bottom-left, so it fails. A reflection across a perpendicular line fails for the same reason. Only

2

of the four transformations work.

Thus, the correct answer is C.

7.

Melanie calcula la media

\mu,

la mediana

M,

y las modas de los

365

valores que son las fechas de los meses de

2019.

Así, sus datos consisten en

12

números

1

,

12

números

2

,

\ldots,

12

números

28

,

11

números

29

,

11

números

30

y

7

números

31

. Sea

d

la mediana de las modas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Melanie computes the mean

\mu,

the median

M,

and the modes of the

365

values that are the dates in the months of

2019.

Thus her data consist of

12

1

s,

12

2

s,

\ldots,

12

28

s,

11

29

s,

11

30

s, and

7

31

s. Let

d

be the median of the modes. Which of the following statements is true?

\mu \lt d \lt M

M \lt d \lt \mu

d = M = \mu

d \lt M \lt \mu

d \lt \mu \lt M

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Las modas son

1

hasta

28,

cada una apareciendo

12

veces, así que

d

es su mediana

The modes are

1

through

28,

each appearing

12

times, so

d

is their median

Pista grande:

La mediana

M

es el

183

-ésimo valor; calcula

\mu

directamente a partir de los totales

The median

M

is the

183

rd value; compute

\mu

directly from the totals

Solución:

Los valores

1

hasta

28

aparecen cada uno

12

veces y son las modas, así que

d = \dfrac{14 + 15}{2} = 14.5.

El

183

-ésimo de los

365

valores ordenados es la mediana. Los valores

1

hasta

15

ocupan las primeras

180

posiciones, así que la posición

183

es

16;

por lo tanto

M = 16.

El total de todos los valores es

12(1 + \cdots + 28)

+ 11(29 + 30)

+ 7 \cdot 31 = 5738,

así que

\mu = \dfrac{5738}{365} \approx 15.7.

Por lo tanto

d \lt \mu \lt M.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The values

1

through

28

each appear

12

times and are the modes, so

d = \dfrac{14 + 15}{2} = 14.5.

The

183

rd of the

365

ordered values is the median. Values

1

through

15

fill the first

180

positions, so position

183

is

16;

thus

M = 16.

The total of all values is

12(1 + \cdots + 28)

+ 11(29 + 30)

+ 7 \cdot 31 = 5738,

so

\mu = \dfrac{5738}{365} \approx 15.7.

Therefore

d \lt \mu \lt M.

Thus, the correct answer is E.

8.

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente

N

puntos distintos que están sobre dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de

N

?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly

N

distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of

N?

14

16

18

19

21

Conceptos:conteo de intersecciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

El máximo es

\binom{4}{2} = 6

cuando las rectas están en posición general.

The maximum is

\binom{4}{2} = 6

when the lines are in general position

Pista grande:

Enumera las configuraciones usando clases de paralelismo y concurrencias; verifica cuáles recuentos desde

0

hasta

6

son alcanzables

Enumerate configurations using parallel classes and concurrences; check which counts from

0

to

6

are achievable

Solución:

Los valores

0

y

1

ocurren cuando las cuatro rectas son paralelas o concurrentes, respectivamente. Tres rectas paralelas cortadas por una cuarta dan

3

puntos. Tres rectas concurrentes junto con una cuarta que no pasa por su punto común dan

4.

Un par paralelo sin tres rectas concurrentes da

5,

y cuatro rectas en posición general dan

6.

El valor

2

es imposible. Una vez que dos rectas se cortan en

P,

una tercera que no pasa por

P

crea al menos una intersección nueva; una cuarta recta distinta debe crear entonces otro punto nuevo. Si todas las rectas restantes pasan por

P,

hay solo un punto de intersección. Así, los valores posibles son

0,1,3,4,5,6,

cuya suma es

19.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The values

0

and

1

occur when all four lines are parallel or all four are concurrent. Three parallel lines crossed by a fourth give

3

points. Three concurrent lines together with a fourth line not through their common point give

4.

One parallel pair with no three concurrent gives

5,

and four lines in general position give

6.

The value

2

is impossible. Once two lines meet at

P,

a third line not through

P

creates at least one new intersection; a fourth distinct line must then create another new point. If every remaining line passes through

P,

there is only one intersection point instead. Thus the achievable values are

0,1,3,4,5,6,

whose sum is

19.

Thus, the correct answer is D.

9.

Una sucesión de números se define recursivamente por

a_1 = 1,

a_2 = \dfrac{3}{7},

y

a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}

para todo

n \ge 3.

Entonces

a_{2019}

puede escribirse como

\dfrac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

p + q

?

A sequence of numbers is defined recursively by

a_1 = 1,

a_2 = \dfrac{3}{7},

and

a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}

for all

n \ge 3.

Then

a_{2019}

can be written as

\dfrac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. What is

p + q?

2020

4039

6057

6061

8078

Conceptos:recursión sustitución sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Toma los recíprocos de ambos lados

Take reciprocals of both sides

Pista grande:

Al poner

b_n = \dfrac{1}{a_n}

se obtiene

b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},

una sucesión aritmética

Setting

b_n = \dfrac{1}{a_n}

gives

b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},

an arithmetic sequence

Solución:

Tomando recíprocos,

\begin{aligned} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}} \\ &= \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}. \end{aligned}

Sea

b_n = \dfrac{1}{a_n}.

Entonces

b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},

así que

b_n

es aritmética con

b_1 = 1,

b_2 = \dfrac{7}{3},

y diferencia común

\dfrac{4}{3}.

Por lo tanto

b_{2019} = 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8075}{3},

así que

a_{2019} = \dfrac{3}{8075}.

Como son primos entre sí,

p + q = 8078.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking reciprocals,

\begin{aligned} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}} \\ &= \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}. \end{aligned}

Let

b_n = \dfrac{1}{a_n}.

Then

b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},

so

b_n

is arithmetic with

b_1 = 1,

b_2 = \dfrac{7}{3},

and common difference

\dfrac{4}{3}.

Thus

b_{2019} = 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8075}{3},

so

a_{2019} = \dfrac{3}{8075}.

Since these are relatively prime,

p + q = 8078.

Thus, the correct answer is E.

10.

La figura de abajo muestra

13

círculos de radio

1

dentro de un círculo más grande. Todas las intersecciones ocurren en puntos de tangencia. ¿Cuál es el área de la región, sombreada en la figura, dentro del círculo más grande pero fuera de todos los círculos de radio

1

?

The figure below shows

13

circles of radius

1

within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius

1?

4\pi\sqrt{3}

7\pi

\pi(3\sqrt{3} + 2)

10\pi(\sqrt{3} - 1)

\pi(\sqrt{3} + 6)

Conceptos:área del círculo circunferencias tangentes descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Un círculo central está rodeado por seis círculos, y luego otros seis se ubican en los huecos exteriores

A central circle is ringed by six circles, then six more sit in the outer notches

Pista grande:

Los centros más externos están a distancia

2\sqrt{3}

del centro, así que el radio grande es

2\sqrt{3} + 1

The outermost centers are at distance

2\sqrt{3}

from the center, so the big radius is

2\sqrt{3} + 1

Solución:

Coloca un círculo unitario en el centro, seis a su alrededor con centros a distancia

2

(un hexágono), y seis más con centros a distancia

2\sqrt{3}

en los huecos exteriores. Eso da

1 + 6 + 6 = 13

círculos.

Los círculos más externos son tangentes al círculo grande, cuyo radio es por lo tanto

2\sqrt{3} + 1.

Su área es

\pi(2\sqrt{3} + 1)^2 = \pi(13 + 4\sqrt{3}).

Restando los

13

círculos unitarios queda

\pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place a unit circle at the center, six around it with centers at distance

2

(a hexagon), and six more with centers at distance

2\sqrt{3}

in the outer gaps. That is

1 + 6 + 6 = 13

circles.

The outermost circles are tangent to the big circle, whose radius is therefore

2\sqrt{3} + 1.

Its area is

\pi(2\sqrt{3} + 1)^2 = \pi(13 + 4\sqrt{3}).

Subtracting the

13

unit circles leaves

\pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.

Thus, the correct answer is A.

11.

Para cierto entero positivo

k,

la representación periódica en base

k

de la fracción (en base diez)

\dfrac{7}{51}

es

0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.

¿Cuánto vale

k

?

For some positive integer

k,

the repeating base-

k

representation of the (base-ten) fraction

\dfrac{7}{51}

is

0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.

What is

k?

13

14

15

16

17

Conceptos:base numérica decimal periódico cuadrática

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Un bloque periódico de dos dígitos en base

k

es igual a

\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1}

.

A two-digit repeating block in base

k

equals

\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1}

Pista grande:

Iguala

\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}

y elimina los denominadores

Set

\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}

and clear denominators

Solución:

El bloque periódico da

0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.

Multiplicando en cruz,

51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),

así que

7k^2 - 102k - 160 = 0.

La fórmula cuadrática da

\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The repeating block gives

0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.

Cross-multiplying,

51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),

so

7k^2 - 102k - 160 = 0.

The quadratic formula gives

\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

12.

Los números reales positivos

x \ne 1

y

y \ne 1

satisfacen

\log_2 x = \log_y 16

y

xy = 64.

¿Cuánto vale

\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2

?

Positive real numbers

x \ne 1

and

y \ne 1

satisfy

\log_2 x = \log_y 16

and

xy = 64.

What is

\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2?

\dfrac{25}{2}

20

\dfrac{45}{2}

25

32

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Sea

a = \log_2 x

y

b = \log_2 y;

entonces

\log_y 16 = \dfrac{4}{b}

.

Let

a = \log_2 x

and

b = \log_2 y;

then

\log_y 16 = \dfrac{4}{b}

Pista grande:

Obtienes

ab = 4

y

a + b = 6;

observa que

\left(\log_2\tfrac{x}{y}\right)^2 = (a - b)^2

You get

ab = 4

and

a + b = 6;

note

\left(\log_2\tfrac{x}{y}\right)^2 = (a - b)^2

Solución:

Sea

a = \log_2 x

y

b = \log_2 y.

Entonces

\log_y 16 = \dfrac{4}{b},

así que

a = \dfrac{4}{b},

lo que da

ab = 4.

Como

xy = 64,

tenemos

a + b = 6.

Por lo tanto

\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

a = \log_2 x

and

b = \log_2 y.

Then

\log_y 16 = \dfrac{4}{b},

so

a = \dfrac{4}{b},

giving

ab = 4.

Since

xy = 64,

we have

a + b = 6.

Therefore

\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

13.

¿De cuántas maneras se puede pintar cada uno de los enteros

2,

3,

\ldots,

9

de rojo, verde o azul de modo que cada número tenga un color distinto al de cada uno de sus divisores propios?

How many ways are there to paint each of the integers

2,

3,

\ldots,

9

either red, green, or blue so that each number has a different color from each of its proper divisors?

144

216

256

384

432

Conceptos:teoría de grafos divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Los números

5

y

7

no tienen restricción; trata la cadena

2, 4, 8

y las restricciones sobre

6, 9

Numbers

5

and

7

are unconstrained; handle the chain

2, 4, 8

and the constraints on

6, 9

Pista grande:

El color de

6

debe evitar tanto

2

como

3,

así que el recuento depende de si

2

y

3

comparten color

The color of

6

must avoid both

2

and

3,

so count depends on whether

2

and

3

share a color

Solución:

Los primos

5

y

7

no tienen divisores propios aquí, dando

3

opciones cada uno.

A lo largo de la cadena

2 \to 4 \to 8,

hay

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

coloraciones. El número

9

debe diferir de

3,

dando

2

opciones una vez fijado

3

.

El número

6

debe diferir tanto de

2

como de

3.

Sumando sobre los colores de

2

y

3

(iguales en

3

pares, distintos en

6

pares), el factor combinado para

4, 8, 9, 6

suma

2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.

Multiplicando por las

9

maneras para

5

y

7

se obtiene

48 \cdot 9 = 432.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The primes

5

and

7

have no proper divisors here, giving

3

choices each.

Along the chain

2 \to 4 \to 8,

there are

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

colorings. Number

9

must differ from

3,

giving

2

choices once

3

is set.

Number

6

must differ from both

2

and

3.

Summing over the colors of

2

and

3

(equal in

3

pairs, unequal in

6

pairs), the combined factor for

4, 8, 9, 6

totals

2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.

Multiplying by the

9

ways for

5

and

7

gives

48 \cdot 9 = 432.

Thus, the correct answer is E.

14.

Para cierto número complejo

c,

el polinomio

\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}

tiene exactamente

4

raíces distintas. ¿Cuánto vale

|c|

?

For a certain complex number

c,

the polynomial

\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}

has exactly

4

distinct roots. What is

|c|?

2

\sqrt{6}

2\sqrt{2}

3

\sqrt{10}

Conceptos:número complejo polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

El primer y el tercer factor dan las raíces

1 \pm i

y

2 \pm 2i

.

The first and third factors give roots

1 \pm i

and

2 \pm 2i

Pista grande:

Para tener solo

4

raíces distintas,

x^2 - cx + 4

debe reutilizar dos de estas; sus raíces se multiplican para dar

4

.

For only

4

distinct roots,

x^2 - cx + 4

must reuse two of these; its roots multiply to

4

Solución:

Los factores

x^2 - 2x + 2

y

x^2 - 4x + 8

tienen raíces

1 \pm i

y

2 \pm 2i,

que son

4

valores distintos.

Para que

P

tenga exactamente

4

raíces distintas, las raíces de

x^2 - cx + 4

deben estar entre estas. Su producto debe ser igual a

4,

y el único par así es una raíz de cada factor, por ejemplo

(1 + i)(2 - 2i) = 4.

Entonces

c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,

así que

|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factors

x^2 - 2x + 2

and

x^2 - 4x + 8

have roots

1 \pm i

and

2 \pm 2i,

which are

4

distinct values.

For

P

to have exactly

4

distinct roots, the roots of

x^2 - cx + 4

must lie among these. Their product must equal

4,

and the only such pair is one root from each factor, for example

(1 + i)(2 - 2i) = 4.

Then

c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,

so

|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.

Thus, the correct answer is E.

15.

Los números reales positivos

a

y

b

tienen la propiedad de que

\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}

y los cuatro términos de la izquierda son enteros positivos, donde

\log

denota el logaritmo en base

10

. ¿Cuánto vale

ab

?

Positive real numbers

a

and

b

have the property that

\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}

and all four terms on the left are positive integers, where

\log

denotes the base

10

logarithm. What is

ab?

10^{52}

10^{100}

10^{144}

10^{164}

10^{200}

Conceptos:logaritmo Ecuación diofántica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea

\sqrt{\log a} = p

y

\sqrt{\log b} = q;

entonces

\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}

debe ser un entero

Let

\sqrt{\log a} = p

and

\sqrt{\log b} = q;

then

\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}

must be an integer

Pista grande:

Con

p = 2m,

q = 2n,

la ecuación se convierte en

m(m+1) + n(n+1) = 50

With

p = 2m,

q = 2n,

the equation becomes

m(m+1) + n(n+1) = 50

Solución:

Sea

\sqrt{\log a} = p

y

\sqrt{\log b} = q,

así que

\log a = p^2

y

\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.

Para que esto sea un entero,

p

es par; igualmente

q.

Escribiendo

p = 2m,

q = 2n,

la ecuación

p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100

se convierte en

m(m+1) + n(n+1) = 50.

La única solución es

\{m, n\} = \{4, 5\},

dando

\log(ab) = p^2 + q^2

= 4(16 + 25) = 164.

Por lo tanto

ab = 10^{164}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

\sqrt{\log a} = p

and

\sqrt{\log b} = q,

so

\log a = p^2

and

\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.

For this to be an integer,

p

is even; likewise

q.

Writing

p = 2m,

q = 2n,

the equation

p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100

becomes

m(m+1) + n(n+1) = 50.

The only solution is

\{m, n\} = \{4, 5\},

giving

\log(ab) = p^2 + q^2

= 4(16 + 25) = 164.

Therefore

ab = 10^{164}.

Thus, the correct answer is D.

16.

Los números

1,

2,

\ldots,

9

se colocan al azar en las

9

casillas de una cuadrícula

3 \times 3

. Cada casilla recibe un número, y cada número se usa una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en cada fila y en cada columna sea impar?

The numbers

1,

2,

\ldots,

9

are randomly placed into the

9

squares of a

3 \times 3

grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

\dfrac{1}{21}

\dfrac{1}{14}

\dfrac{5}{63}

\dfrac{2}{21}

\dfrac{1}{7}

Conceptos:paridad probabilidad básica permutaciones

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Hay

5

números impares y

4

pares; cada fila y columna necesita una cantidad impar de números impares

There are

5

odd and

4

even numbers; each row and column needs an odd count of odd numbers

Pista grande:

Las entradas impares deben llenar una fila entera y una columna entera, formando una figura de cruz de

5

casillas

The odd entries must fill one entire row and one entire column, forming a plus shape of

5

cells

Solución:

Hay

5

números impares y

4

pares. Cada fila y columna debe contener un número impar de entradas impares.

La única forma de colocar

5

entradas impares con cada fila y columna impar es llenar una fila completa y una columna completa (una cruz de

3 + 3 - 1 = 5

casillas). Hay

3 \cdot 3 = 9

de tales patrones.

Cada patrón admite

5!

colocaciones de los números impares y

4!

de los pares, así que la probabilidad es

\dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are

5

odd and

4

even numbers. Each row and column must contain an odd number of odd entries.

The only way to place

5

odd entries with every row and column odd is to fill one complete row and one complete column (a plus shape of

3 + 3 - 1 = 5

cells). There are

3 \cdot 3 = 9

such patterns.

Each pattern admits

5!

placements of the odd numbers and

4!

of the even numbers, so the probability is

\dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.

Thus, the correct answer is B.

17.

Sea

s_k

la suma de las

k

-ésimas potencias de las raíces del polinomio

x^3 - 5x^2 + 8x - 13.

En particular,

s_0 = 3,

s_1 = 5,

y

s_2 = 9.

Sean

a,

b,

y

c

números reales tales que

s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}

para

k = 2,

3,

\ldots.

¿Cuánto vale

a + b + c

?

Let

s_k

denote the sum of the

k

th powers of the roots of the polynomial

x^3 - 5x^2 + 8x - 13.

In particular,

s_0 = 3,

s_1 = 5,

and

s_2 = 9.

Let

a,

b,

and

c

be real numbers such that

s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}

for

k = 2,

3,

\ldots.

What is

a + b + c?

-6

0

6

10

26

Conceptos:Sumas de Newton polinomio recursión

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Cada raíz

r

satisface

r^3 = 5r^2 - 8r + 13

.

Each root

r

satisfies

r^3 = 5r^2 - 8r + 13

Pista grande:

Multiplica por

r^{k-2}

y suma sobre las raíces para leer

a, b, c

.

Multiply by

r^{k-2}

and sum over the roots to read off

a, b, c

Solución:

Cada raíz

r

satisface

r^3 = 5r^2 - 8r + 13,

así que

r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.

Sumando sobre las tres raíces se obtiene

s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},

así que

a = 5,

b = -8,

c = 13.

Por lo tanto

a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every root

r

satisfies

r^3 = 5r^2 - 8r + 13,

so

r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.

Summing over the three roots gives

s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},

so

a = 5,

b = -8,

c = 13.

Therefore

a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.

Thus, the correct answer is D.

18.

Una esfera con centro

O

tiene radio

6.

Un triángulo con lados de longitud

15,

15,

y

24

está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre

O

y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center

O

has radius

6.

A triangle with sides of length

15,

15,

and

24

is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between

O

and the plane determined by the triangle?

2\sqrt{3}

4

3\sqrt{2}

2\sqrt{5}

5

Conceptos:esfera circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

La esfera corta el plano en un círculo tangente a los tres lados, así que ese círculo es el incírculo

The sphere meets the plane in a circle tangent to all three sides, so that circle is the incircle

Pista grande:

Si

d

es la distancia, el círculo de corte tiene radio

\sqrt{36 - d^2},

que es igual al inradio

If

d

is the distance, the cross-circle has radius

\sqrt{36 - d^2},

which equals the inradius

Solución:

La esfera interseca el plano del triángulo en un círculo de radio

\sqrt{36 - d^2},

donde

d

es la distancia de

O

al plano. Como cada lado es tangente a la esfera, este círculo es el incírculo del triángulo.

El triángulo tiene área

\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108

y semiperímetro

27,

así que su inradio es

\dfrac{108}{27} = 4.

Así

\sqrt{36 - d^2} = 4,

lo que da

d^2 = 20

y

d = 2\sqrt{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sphere intersects the triangle’s plane in a circle of radius

\sqrt{36 - d^2},

where

d

is the distance from

O

to the plane. Since each side is tangent to the sphere, this circle is the triangle’s incircle.

The triangle has area

\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108

and semiperimeter

27,

so its inradius is

\dfrac{108}{27} = 4.

Thus

\sqrt{36 - d^2} = 4,

giving

d^2 = 20

and

d = 2\sqrt{5}.

Thus, the correct answer is D.

19.

En

\triangle ABC

con longitudes de lados enteras,

\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}

¿Cuál es el menor perímetro posible para

\triangle ABC

?

In

\triangle ABC

with integer side lengths,

\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}

What is the least possible perimeter for

\triangle ABC?

9

12

23

27

44

Conceptos:ley de los senos razón y proporción desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Halla

\sin A, \sin B, \sin C

a partir de los cosenos dados.

Find

\sin A, \sin B, \sin C

from the given cosines

Pista grande:

Por la ley de los senos, los lados son proporcionales a

\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 2 : 4

.

By the Law of Sines the sides are proportional to

\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 2 : 4

Solución:

Cada seno es

\sqrt{1 - \cos^2}:

\sin A = \dfrac{3\sqrt{15}}{16},

\sin B = \dfrac{2\sqrt{15}}{16},

\sin C = \dfrac{4\sqrt{15}}{16}.

Por la ley de los senos, los lados están en razón

3 : 2 : 4.

Los menores lados enteros son

3, 2, 4,

que satisfacen la desigualdad triangular.

El menor perímetro es

3 + 2 + 4 = 9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each sine is

\sqrt{1 - \cos^2}:

\sin A = \dfrac{3\sqrt{15}}{16},

\sin B = \dfrac{2\sqrt{15}}{16},

\sin C = \dfrac{4\sqrt{15}}{16}.

By the Law of Sines the sides are in ratio

3 : 2 : 4.

The smallest integer sides are

3, 2, 4,

which satisfy the triangle inequality.

The least perimeter is

3 + 2 + 4 = 9.

Thus, the correct answer is A.

20.

Se eligen números reales entre

0

y

1,

inclusive, de la siguiente manera. Se lanza una moneda justa. Si sale cara, se lanza de nuevo y el número elegido es

0

si el segundo lanzamiento es cara y

1

si el segundo lanzamiento es cruz. Por otro lado, si el primer lanzamiento es cruz, entonces el número se elige uniformemente al azar del intervalo cerrado

[0, 1].

Dos números aleatorios

x

y

y

se eligen independientemente de esta manera. ¿Cuál es la probabilidad de que

|x - y| \gt \dfrac{1}{2}

?

Real numbers between

0

and

1,

inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is

0

if the second flip is heads and

1

if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval

[0, 1].

Two random numbers

x

and

y

are chosen independently in this manner. What is the probability that

|x - y| \gt \dfrac{1}{2}?

\dfrac{1}{3}

\dfrac{7}{16}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{9}{16}

\dfrac{2}{3}

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Cada número es

0

con probabilidad

\tfrac14,

1

con probabilidad

\tfrac14,

y uniforme en

[0,1]

con probabilidad

\tfrac12

Each number is

0

with probability

\tfrac14,

1

with probability

\tfrac14,

and uniform on

[0,1]

with probability

\tfrac12

Pista grande:

Divide en las nueve combinaciones de tipos; para dos uniformes,

P\!\left(|x - y| \gt \tfrac12\right) = \tfrac14

Split into the nine type-combinations; for two uniforms,

P\!\left(|x - y| \gt \tfrac12\right) = \tfrac14

Solución:

Cada variable es igual a

0

con probabilidad

\tfrac14,

es igual a

1

con probabilidad

\tfrac14,

y es uniforme en

[0, 1]

con probabilidad

\tfrac12.

Considerando las nueve combinaciones de tipos: los pares

(0, 1)

y

(1, 0)

contribuyen cada uno

\tfrac{1}{16}.

Cada uno de los cuatro casos de punto contra uniforme contribuye

\tfrac{1}{16}.

El caso de uniforme contra uniforme contribuye

\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.

El total es

\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each variable equals

0

with probability

\tfrac14,

equals

1

with probability

\tfrac14,

and is uniform on

[0, 1]

with probability

\tfrac12.

Considering the nine combinations of types: the pairs

(0, 1)

and

(1, 0)

each contribute

\tfrac{1}{16}.

Each of the four point-versus-uniform cases contributes

\tfrac{1}{16}.

The uniform-versus-uniform case contributes

\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.

The total is

\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.

Thus, the correct answer is B.

21.

Sea

z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.

¿Cuánto vale

\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}

Let

z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.

What is

\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}

18

72 - 36\sqrt{2}

36

72

72 + 36\sqrt{2}

Conceptos:raíces de la unidad número complejo aritmética modular

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

así que

z^{k^2}

depende solo de

k^2 \bmod 8

.

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

so

z^{k^2}

depends only on

k^2 \bmod 8

Pista grande:

Para

k = 1, \ldots, 12,

el exponente

k^2 \bmod 8

es

1

seis veces,

4

tres veces, y

0

tres veces

Over

k = 1, \ldots, 12,

the exponent

k^2 \bmod 8

is

1

six times,

4

three times, and

0

three times

Solución:

Como

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

tenemos

z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},

que depende solo de

k^2 \bmod 8.

Para

k = 1

hasta

12,

el residuo

k^2 \bmod 8

es

1

(dando

z

) seis veces,

4

(dando

-1

) tres veces, y

0

(dando

1

) tres veces. Así que la primera suma es

6z - 3 + 3 = 6z.

La segunda suma es análogamente

\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.

Su producto es

6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

we have

z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},

depending only on

k^2 \bmod 8.

For

k = 1

to

12,

the residue

k^2 \bmod 8

is

1

(giving

z

) six times,

4

(giving

-1

) three times, and

0

(giving

1

) three times. So the first sum is

6z - 3 + 3 = 6z.

The second sum is likewise

\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.

Their product is

6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.

Thus, the correct answer is C.

22.

Los círculos

\omega

y

\gamma,

ambos con centro en

O,

tienen radios

20

y

17,

respectivamente. El triángulo equilátero

ABC,

cuyo interior está dentro de

\omega

pero fuera de

\gamma,

tiene el vértice

A

sobre

\omega,

y la recta que contiene el lado

BC

es tangente a

\gamma.

Los segmentos

AO

y

BC

se cortan en

P,

y

\dfrac{BP}{CP} = 3.

Entonces

AB

puede escribirse en la forma

\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}

para enteros positivos

m,

n,

p,

q

con

\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.

¿Cuánto vale

m + n + p + q

?

Circles

\omega

and

\gamma,

both centered at

O,

have radii

20

and

17,

respectively. Equilateral triangle

ABC,

whose interior lies in the interior of

\omega

but in the exterior of

\gamma,

has vertex

A

on

\omega,

and the line containing side

BC

is tangent to

\gamma.

Segments

AO

and

BC

intersect at

P,

and

\dfrac{BP}{CP} = 3.

Then

AB

can be written in the form

\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}

for positive integers

m,

n,

p,

q

with

\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.

What is

m + n + p + q?

42

86

92

114

130

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero recta tangente

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Sea

s = AB.

Como

\tfrac{BP}{CP} = 3,

tenemos

BP = \tfrac{3s}{4}

y

CP = \tfrac{s}{4}

.

Let

s = AB.

Since

\tfrac{BP}{CP} = 3,

we have

BP = \tfrac{3s}{4}

and

CP = \tfrac{s}{4}

Pista grande:

Coloca

P

en el origen con

BC

horizontal;

O

está sobre la recta

AP

a distancia

17

de

BC

y

20

de

A

.

Place

P

at the origin with

BC

horizontal;

O

lies on line

AP

at distance

17

from

BC

and

20

from

A

Solución:

Sea

s = AB.

Como

\dfrac{BP}{CP} = 3,

tenemos

BP = \dfrac{3s}{4}

y

CP = \dfrac{s}{4}.

Pon

P

en el origen con

BC

sobre el eje

x

,

B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),

C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),

y el ápice

A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).

Los puntos

P, O, A

son colineales, así que

O = t \cdot A

para algún escalar

t.

Dos condiciones lo determinan:

O

está a distancia

17

de la recta

BC,

lo que da

|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,

y

A

está sobre

\omega,

lo que da

|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20

ya que

|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.

Resolviendo,

|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}

y

|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.

La configuración válida tiene

O

y

A

en lados opuestos de

P,

así que

|t-1|s=|t|s+s.

Por lo tanto

AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.

Entonces

m + n + p + q = 80 + 13

+ 34 + 3 = 130.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

s = AB.

Since

\dfrac{BP}{CP} = 3,

we have

BP = \dfrac{3s}{4}

and

CP = \dfrac{s}{4}.

Put

P

at the origin with

BC

on the

x

-axis,

B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),

C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),

and apex

A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).

Points

P, O, A

are collinear, so

O = t \cdot A

for some scalar

t.

Two conditions pin it down:

O

is at distance

17

from line

BC,

giving

|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,

and

A

is on

\omega,

giving

|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20

since

|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.

Solving,

|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}

and

|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.

The valid configuration has

O

and

A

on opposite sides of

P,

so

|t-1|s=|t|s+s.

Therefore

AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.

Then

m + n + p + q = 80 + 13

+ 34 + 3 = 130.

Thus, the correct answer is E.

23.

Define las operaciones binarias

\diamondsuit

y

\heartsuit

por

a \diamondsuit b = a^{\log_7(b)}

y

a \heartsuit b = a^{\frac{1}{\log_7(b)}}

para todos los números reales

a

y

b

para los que estas expresiones están definidas. La sucesión

(a_n)

se define recursivamente por

a_3 = 3 \heartsuit 2

y

a_n = (n \heartsuit (n - 1)) \diamondsuit a_{n-1}

para todos los enteros

n \ge 4.

Al entero más cercano, ¿cuánto vale

\log_7(a_{2019})

?

Define binary operations

\diamondsuit

and

\heartsuit

by

a \diamondsuit b = a^{\log_7(b)}

and

a \heartsuit b = a^{\frac{1}{\log_7(b)}}

for all real numbers

a

and

b

for which these expressions are defined. The sequence

(a_n)

is defined recursively by

a_3 = 3 \heartsuit 2

and

a_n = (n \heartsuit (n - 1)) \diamondsuit a_{n-1}

for all integers

n \ge 4.

To the nearest integer, what is

\log_7(a_{2019})?

8

9

10

11

12

Conceptos:operación personalizada logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Aplica

\log_7:

entonces

\log_7(a \diamondsuit b) = \log_7 a \cdot \log_7 b

Apply

\log_7:

then

\log_7(a \diamondsuit b) = \log_7 a \cdot \log_7 b

Pista grande:

Escribiendo

L(x) = \log_7 x,

la recurrencia se convierte en

L(a_n) = L(a_{n-1}) \cdot \dfrac{L(n)}{L(n-1)}

Writing

L(x) = \log_7 x,

the recurrence becomes

L(a_n) = L(a_{n-1}) \cdot \dfrac{L(n)}{L(n-1)}

Solución:

Sea

L(x) = \log_7 x.

Entonces

L(a \diamondsuit b) = L(a)L(b)

y

L(a \heartsuit b) = \dfrac{L(a)}{L(b)}.

Así

L(a_3) = \dfrac{L(3)}{L(2)},

y

L(a_n) = \dfrac{L(n)}{L(n-1)} \cdot L(a_{n-1}).

El producto se telescopa:

\begin{aligned} L(a_N) &= \dfrac{L(3)}{L(2)} \cdot \dfrac{L(N)}{L(3)} \\ &= \dfrac{L(N)}{L(2)}. \end{aligned}

Por lo tanto

L(a_{2019}) = \dfrac{\log_7 2019}{\log_7 2}

= \log_2 2019 \approx 10.98,

que se redondea a

11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

L(x) = \log_7 x.

Then

L(a \diamondsuit b) = L(a)L(b)

and

L(a \heartsuit b) = \dfrac{L(a)}{L(b)}.

So

L(a_3) = \dfrac{L(3)}{L(2)},

and

L(a_n) = \dfrac{L(n)}{L(n-1)} \cdot L(a_{n-1}).

The product telescopes:

\begin{aligned} L(a_N) &= \dfrac{L(3)}{L(2)} \cdot \dfrac{L(N)}{L(3)} \\ &= \dfrac{L(N)}{L(2)}. \end{aligned}

Hence

L(a_{2019}) = \dfrac{\log_7 2019}{\log_7 2}

= \log_2 2019 \approx 10.98,

which rounds to

11.

Thus, the correct answer is D.

24.

¿Para cuántos enteros

n

entre

1

y

50,

inclusive, es

\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n}

un entero? (Recuerda que

0! = 1.

)

For how many integers

n

between

1

and

50,

inclusive, is

\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n}

an integer? (Recall that

0! = 1.

)

31

32

33

34

35

Conceptos:Fórmula de Legendre primo dígitos

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Compara el exponente de un primo

p

en el numerador y el denominador usando

v_p(m!) = \dfrac{m - s_p(m)}{p - 1}

Compare the exponent of a prime

p

in numerator and denominator using

v_p(m!) = \dfrac{m - s_p(m)}{p - 1}

Pista grande:

El fracaso requiere que

n

sea una potencia de primo

p^a

con

p^a - 1 \lt 2a(p - 1)

Failure requires

n

to be a prime power

p^a

with

p^a - 1 \lt 2a(p - 1)

Solución:

Fijemos un primo

p\le n.

Por la fórmula de Legendre, la diferencia entre el exponente de

p

en el numerador y en el denominador es

\begin{aligned} D_p &=\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n^2-1}{p^k}\right\rfloor\\ &\quad-n\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n}{p^k}\right\rfloor. \end{aligned}

Si

r_k

es el residuo de

n

módulo

p^k,

el

k

-ésimo sumando es

\left\lfloor\dfrac{nr_k-1}{p^k}\right\rfloor.

Sea

a=v_p(n).

Los primeros

a

sumandos son

-1.

Si

n

no es potencia de

p,

escribamos

n=p^a m

con

m\ge2.

Cuando

a\ge1,

el siguiente sumando es al menos

\dfrac{n}{p}-1\ge a,

y todos los posteriores son no negativos; cuando

a=0,

todos los sumandos ya son no negativos. Por tanto,

D_p\ge0

salvo que

n

sea potencia de

p.

Para

n=p^a,

la fórmula de Legendre reduce la condición a

p^a-1\ge2a(p-1).

Entre las potencias de primo no mayores que

50,

esto falla exactamente cuando

a=1

(es decir, cuando

n

es primo) y cuando

n=2^2=4.

Hay

15

primos no mayores que

50,

más

n=4,

para un total de

16

fallos. Por tanto, funcionan

50 - 16 = 34

valores de

n

.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Fix a prime

p\le n.

By Legendre’s formula, the difference between the exponent of

p

in the numerator and its exponent in the denominator is

\begin{aligned} D_p &=\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n^2-1}{p^k}\right\rfloor\\ &\quad-n\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n}{p^k}\right\rfloor. \end{aligned}

If

r_k

is the remainder of

n

modulo

p^k,

the

k

th summand is

\left\lfloor\dfrac{nr_k-1}{p^k}\right\rfloor.

Let

a=v_p(n).

The first

a

summands are

-1.

If

n

is not a power of

p,

write

n=p^a m

with

m\ge2.

When

a\ge1,

the next summand is at least

\dfrac{n}{p}-1\ge a,

and all later summands are nonnegative; when

a=0,

every summand is already nonnegative. Thus

D_p\ge0

unless

n

is a power of

p.

For

n=p^a,

Legendre’s formula reduces the requirement to

p^a-1\ge2a(p-1).

Among prime powers at most

50,

this fails exactly when

a=1

(so

n

is prime) and when

n=2^2=4.

There are

15

primes at most

50,

plus

n=4,

giving

16

failures. Hence

50 - 16 = 34

values of

n

work.

Thus, the correct answer is D.

25.

Sea

\triangle A_0 B_0 C_0

un triángulo cuyas medidas angulares son exactamente

59.999^\circ,

60^\circ,

y

60.001^\circ.

Para cada entero positivo

n

define

A_n

como el pie de la altura desde

A_{n-1}

a la recta

B_{n-1}C_{n-1}.

Del mismo modo, define

B_n

como el pie de la altura desde

B_{n-1}

a la recta

A_{n-1}C_{n-1},

y

C_n

como el pie de la altura desde

C_{n-1}

a la recta

A_{n-1}B_{n-1}.

¿Cuál es el menor entero positivo

n

para el cual

\triangle A_n B_n C_n

es obtuso?

Let

\triangle A_0 B_0 C_0

be a triangle whose angle measures are exactly

59.999^\circ,

60^\circ,

and

60.001^\circ.

For each positive integer

n

define

A_n

to be the foot of the altitude from

A_{n-1}

to line

B_{n-1}C_{n-1}.

Likewise, define

B_n

to be the foot of the altitude from

B_{n-1}

to line

A_{n-1}C_{n-1},

and

C_n

to be the foot of the altitude from

C_{n-1}

to line

A_{n-1}B_{n-1}.

What is the least positive integer

n

for which

\triangle A_n B_n C_n

is obtuse?

10

11

13

14

15

Conceptos:altura recursión persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Para un triángulo acutángulo, el triángulo órtico tiene ángulos

180^\circ - 2\alpha

.

For an acute triangle, the orthic triangle has angles

180^\circ - 2\alpha

Pista grande:

Rastrea la desviación respecto a

60^\circ:

cada paso la multiplica por

-2,

y el triángulo se vuelve obtuso cuando una desviación supera

30^\circ

Track the deviation from

60^\circ:

each step multiplies it by

-2,

and the triangle turns obtuse when a deviation exceeds

30^\circ

Solución:

Para un triángulo acutángulo, el triángulo órtico (pies de las alturas) tiene ángulos

180^\circ - 2\alpha

para cada ángulo original

\alpha.

Escribiendo un ángulo como

60^\circ + x,

el nuevo ángulo es

60^\circ - 2x,

así que cada desviación respecto a

60^\circ

se multiplica por

-2.

Las desviaciones iniciales son

\pm 0.001^\circ.

Después de

n

pasos, una desviación tiene magnitud

0.001 \cdot 2^n

grados. El triángulo se vuelve obtuso por primera vez cuando esto supera

30^\circ,

es decir

2^n \gt 30000.

Como

2^{14} = 16384

y

2^{15} = 32768,

el menor tal

n

es

15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For an acute triangle, the orthic triangle (feet of the altitudes) has angles

180^\circ - 2\alpha

for each original angle

\alpha.

Writing an angle as

60^\circ + x,

the new angle is

60^\circ - 2x,

so each deviation from

60^\circ

is multiplied by

-2.

The initial deviations are

\pm 0.001^\circ.

After

n

steps a deviation has magnitude

0.001 \cdot 2^n

degrees. The triangle first becomes obtuse when this exceeds

30^\circ,

i.e.

2^n \gt 30000.

Since

2^{14} = 16384

and

2^{15} = 32768,

the least such

n

is

15.

Thus, the correct answer is E.