Soluciones del 2019 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El área de una pizza de radio $4$ pulgadas es $N$ por ciento mayor que el área de una pizza de radio $3$ pulgadas. ¿Cuál es el entero más cercano a $N$ ?

The area of a pizza with radius $4$ inches is $N$ percent larger than the area of a pizza with radius $3$ inches. What is the integer closest to $N?$

$25$

$33$

$44$

$66$

$78$

Conceptos:área del círculo porcentaje

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Las áreas están en la razón $4^2 : 3^2$ .

The areas are in the ratio $4^2 : 3^2$

Pista grande:

El aumento porcentual es $\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100$

The percent increase is $\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100$

Solución:

Las áreas son proporcionales a los cuadrados de los radios, así que la razón del área mayor a la menor es $\dfrac{16}{9}.$

El aumento porcentual es $\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100 = \dfrac{700}{9} \approx 77.8.$ El entero más cercano es $78.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The areas are proportional to the squares of the radii, so the ratio of the larger area to the smaller is $\dfrac{16}{9}.$

The percent increase is $\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100 = \dfrac{700}{9} \approx 77.8.$ The closest integer is $78.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Supongamos que $a$ es el $150\%$ de $b.$ ¿Qué porcentaje de $a$ es $3b$ ?

Suppose $a$ is $150\%$ of $b.$ What percent of $a$ is $3b?$

$50$

$66\dfrac{2}{3}$

$150$

$200$

$450$

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Escribe $a = 1.5b$ .

Write $a = 1.5b$

Pista grande:

Calcula $\dfrac{3b}{a}$ y conviértelo a un porcentaje

Compute $\dfrac{3b}{a}$ and convert to a percentage

Solución:

Como $a = 1.5b,$ tenemos $\dfrac{3b}{a} = \dfrac{3b}{1.5b} = 2.$

Como porcentaje, $3b$ es el $200\%$ de $a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $a = 1.5b,$ we have $\dfrac{3b}{a} = \dfrac{3b}{1.5b} = 2.$

As a percentage, $3b$ is $200\%$ of $a.$

Thus, the correct answer is D.

3.

Una caja contiene $28$ bolas rojas, $20$ bolas verdes, $19$ bolas amarillas, $13$ bolas azules, $11$ bolas blancas y $9$ bolas negras. ¿Cuál es el número mínimo de bolas que se deben sacar de la caja sin reemplazo para garantizar que se saquen al menos $15$ bolas de un mismo color?

A box contains $28$ red balls, $20$ green balls, $19$ yellow balls, $13$ blue balls, $11$ white balls, and $9$ black balls. What is the minimum number of balls that must be drawn from the box without replacement to guarantee that at least $15$ balls of a single color will be drawn?

$75$

$76$

$79$

$84$

$91$

Conceptos:principio del palomar

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Considera el peor caso: saca tantas como sea posible sin llegar nunca a $15$ de un solo color

Consider the worst case: draw as many as possible without ever reaching $15$ of one color

Pista grande:

Toma $14$ de cada color que tenga al menos $14,$ y todas las bolas de los colores con menos

Take $14$ of each color that has at least $14,$ and all balls of the smaller colors

Solución:

En el peor caso, sacamos $14$ de rojas, verdes y amarillas, más todas las azules $(13),$ blancas $(11),$ y negras $(9),$ sin llegar a $15$ de ningún color.

Eso da $14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$ bolas.

La siguiente bola debe completar un conjunto de $15,$ así que se necesitan $76$ bolas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In the worst case, we draw $14$ each of red, green, and yellow, plus all of the blue $(13),$ white $(11),$ and black $(9),$ without reaching $15$ of any color.

That is $14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$ balls.

The next ball must complete a set of $15,$ so $76$ balls are needed.

Thus, the correct answer is B.

4.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros consecutivos cuya suma es $45$ ?

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is $45?$

$9$

$25$

$45$

$90$

$120$

Conceptos:sucesión aritmética simetría

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Se permite que los enteros sean negativos

The integers are allowed to be negative

Pista grande:

Sumar $-44, -43, \ldots, 44$ aporta $0,$ así que extiende la sucesión justo más allá de $45$ .

Adding $-44, -43, \ldots, 44$ contributes $0,$ so extend the run just past $45$

Solución:

Se permiten enteros negativos. Los enteros de $-44$ a $44$ suman $0,$ así que los enteros de $-44$ a $45$ suman $45.$

Esta sucesión tiene $45 - (-44) + 1 = 90$ enteros. Recíprocamente, si $L$ enteros consecutivos suman $45,$ entonces el doble de su suma es $L$ por un entero, así que $90$ es múltiplo de $L.$ Por tanto, $L\le90,$ lo que demuestra que esta sucesión es la más larga.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Negative integers are allowed. The integers from $-44$ to $44$ sum to $0,$ so the integers from $-44$ to $45$ sum to $45.$

This run has $45 - (-44) + 1 = 90$ integers. Conversely, if $L$ consecutive integers have sum $45,$ then twice their sum is $L$ times an integer, so $90$ is a multiple of $L.$ Hence $L\le90,$ proving that this run is longest.

Thus, the correct answer is D.

5.

Dos rectas de pendientes $\dfrac{1}{2}$ y $2$ se cortan en $(2, 2).$ ¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta $x + y = 10$ ?

Two lines with slopes $\dfrac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Halla dónde se cruza cada recta con $x + y = 10$

Find where each line meets $x + y = 10$

Pista grande:

Los tres vértices son $(2, 2),$ $(6, 4),$ y $(4, 6);$ usa la fórmula del cordón

The three vertices are $(2, 2),$ $(6, 4),$ and $(4, 6);$ use the shoelace formula

Solución:

Las dos rectas son $y = \tfrac{1}{2}x + 1$ y $y = 2x - 2.$ Al intersecar cada una con $x + y = 10$ se obtienen los puntos $(6, 4)$ y $(4, 6).$

El triángulo tiene vértices $(2, 2),$ $(6, 4),$ y $(4, 6).$ Por la fórmula del cordón,

$\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two lines are $y = \tfrac{1}{2}x + 1$ and $y = 2x - 2.$ Intersecting each with $x + y = 10$ gives the points $(6, 4)$ and $(4, 6).$

The triangle has vertices $(2, 2),$ $(6, 4),$ and $(4, 6).$ By the shoelace formula,

$\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

6.

La figura de abajo muestra la recta $\ell$ con un patrón regular, infinito y recurrente de cuadrados y segmentos.

¿Cuántos de los siguientes cuatro tipos de transformaciones de movimiento rígido del plano en el que está dibujada esta figura, distintas de la transformación identidad, llevan esta figura sobre sí misma?

• alguna rotación alrededor de un punto de la recta $\ell$

• alguna traslación en la dirección paralela a la recta $\ell$

• la reflexión respecto a la recta $\ell$

• alguna reflexión respecto a una recta perpendicular a la recta $\ell$

The figure below shows line $\ell$ with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line $\ell$

• some translation in the direction parallel to line $\ell$

• the reflection across line $\ell$

• some reflection across a line perpendicular to line $\ell$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Una traslación de un período claramente funciona

A translation by one period clearly works

Pista grande:

Prueba una rotación de $180^\circ$ alrededor de un punto sobre $\ell,$ y verifica que ninguna de las dos reflexiones lleva correctamente los segmentos diagonales

Test a $180^\circ$ rotation about a point on $\ell,$ and check that neither reflection maps the diagonal segments correctly

Solución:

Una traslación de un período completo lleva la figura sobre sí misma, así que la traslación funciona.

Una rotación de $180^\circ$ alrededor de un punto adecuado sobre $\ell$ envía cada cuadrado por encima de la recta al cuadrado por debajo de ella, y los segmentos diagonales coinciden, así que esta rotación funciona.

La reflexión respecto a $\ell$ envía las diagonales de arriba a la derecha a diagonales de arriba a la derecha por debajo de la recta, pero las diagonales reales por debajo de la recta apuntan hacia abajo a la izquierda, así que falla. Una reflexión respecto a una recta perpendicular falla por la misma razón. Solo $2$ de las cuatro transformaciones funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A translation by one full period maps the figure to itself, so translation works.

A $180^\circ$ rotation about a suitable point on $\ell$ sends each square above the line to the square below it, with the diagonal segments matching, so this rotation works.

Reflection across $\ell$ sends the top-right diagonals to top-right diagonals below the line, but the actual below-line diagonals point to the bottom-left, so it fails. A reflection across a perpendicular line fails for the same reason. Only $2$ of the four transformations work.

Thus, the correct answer is C.

7.

Melanie calcula la media $\mu,$ la mediana $M,$ y las modas de los $365$ valores que son las fechas de los meses de $2019.$ Así, sus datos consisten en $12$ números $1$ , $12$ números $2$ , $\ldots,$ $12$ números $28$ , $11$ números $29$ , $11$ números $30$ y $7$ números $31$ . Sea $d$ la mediana de las modas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Melanie computes the mean $\mu,$ the median $M,$ and the modes of the $365$ values that are the dates in the months of $2019.$ Thus her data consist of $12$ $1$ s, $12$ $2$ s, $\ldots,$ $12$ $28$ s, $11$ $29$ s, $11$ $30$ s, and $7$ $31$ s. Let $d$ be the median of the modes. Which of the following statements is true?

$\mu \lt d \lt M$

$M \lt d \lt \mu$

$d = M = \mu$

$d \lt M \lt \mu$

$d \lt \mu \lt M$

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Las modas son $1$ hasta $28,$ cada una apareciendo $12$ veces, así que $d$ es su mediana

The modes are $1$ through $28,$ each appearing $12$ times, so $d$ is their median

Pista grande:

La mediana $M$ es el $183$ -ésimo valor; calcula $\mu$ directamente a partir de los totales

The median $M$ is the $183$ rd value; compute $\mu$ directly from the totals

Solución:

Los valores $1$ hasta $28$ aparecen cada uno $12$ veces y son las modas, así que $d = \dfrac{14 + 15}{2} = 14.5.$

El $183$ -ésimo de los $365$ valores ordenados es la mediana. Los valores $1$ hasta $15$ ocupan las primeras $180$ posiciones, así que la posición $183$ es $16;$ por lo tanto $M = 16.$

El total de todos los valores es $12(1 + \cdots + 28)$ $+ 11(29 + 30)$ $+ 7 \cdot 31 = 5738,$ así que $\mu = \dfrac{5738}{365} \approx 15.7.$

Por lo tanto $d \lt \mu \lt M.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The values $1$ through $28$ each appear $12$ times and are the modes, so $d = \dfrac{14 + 15}{2} = 14.5.$

The $183$ rd of the $365$ ordered values is the median. Values $1$ through $15$ fill the first $180$ positions, so position $183$ is $16;$ thus $M = 16.$

The total of all values is $12(1 + \cdots + 28)$ $+ 11(29 + 30)$ $+ 7 \cdot 31 = 5738,$ so $\mu = \dfrac{5738}{365} \approx 15.7.$

Therefore $d \lt \mu \lt M.$

Thus, the correct answer is E.

8.

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente $N$ puntos distintos que están sobre dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $N$ ?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly $N$ distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of $N?$

$14$

$16$

$18$

$19$

$21$

Conceptos:conteo de intersecciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

El máximo es $\binom{4}{2} = 6$ cuando las rectas están en posición general.

The maximum is $\binom{4}{2} = 6$ when the lines are in general position

Pista grande:

Enumera las configuraciones usando clases de paralelismo y concurrencias; verifica cuáles recuentos desde $0$ hasta $6$ son alcanzables

Enumerate configurations using parallel classes and concurrences; check which counts from $0$ to $6$ are achievable

Solución:

Los valores $0$ y $1$ ocurren cuando las cuatro rectas son paralelas o concurrentes, respectivamente. Tres rectas paralelas cortadas por una cuarta dan $3$ puntos. Tres rectas concurrentes junto con una cuarta que no pasa por su punto común dan $4.$ Un par paralelo sin tres rectas concurrentes da $5,$ y cuatro rectas en posición general dan $6.$

El valor $2$ es imposible. Una vez que dos rectas se cortan en $P,$ una tercera que no pasa por $P$ crea al menos una intersección nueva; una cuarta recta distinta debe crear entonces otro punto nuevo. Si todas las rectas restantes pasan por $P,$ hay solo un punto de intersección. Así, los valores posibles son $0,1,3,4,5,6,$ cuya suma es $19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The values $0$ and $1$ occur when all four lines are parallel or all four are concurrent. Three parallel lines crossed by a fourth give $3$ points. Three concurrent lines together with a fourth line not through their common point give $4.$ One parallel pair with no three concurrent gives $5,$ and four lines in general position give $6.$

The value $2$ is impossible. Once two lines meet at $P,$ a third line not through $P$ creates at least one new intersection; a fourth distinct line must then create another new point. If every remaining line passes through $P,$ there is only one intersection point instead. Thus the achievable values are $0,1,3,4,5,6,$ whose sum is $19.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Una sucesión de números se define recursivamente por $a_1 = 1,$ $a_2 = \dfrac{3}{7},$ y

$a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$

para todo $n \ge 3.$ Entonces $a_{2019}$ puede escribirse como $\dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p + q$ ?

A sequence of numbers is defined recursively by $a_1 = 1,$ $a_2 = \dfrac{3}{7},$ and

$a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$

for all $n \ge 3.$ Then $a_{2019}$ can be written as $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p + q?$

$2020$

$4039$

$6057$

$6061$

$8078$

Conceptos:recursión sustitución sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Toma los recíprocos de ambos lados

Take reciprocals of both sides

Pista grande:

Al poner $b_n = \dfrac{1}{a_n}$ se obtiene $b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},$ una sucesión aritmética

Setting $b_n = \dfrac{1}{a_n}$ gives $b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},$ an arithmetic sequence

Solución:

Tomando recíprocos, $\begin{aligned} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}} \\ &= \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}. \end{aligned}$

Sea $b_n = \dfrac{1}{a_n}.$ Entonces $b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},$ así que $b_n$ es aritmética con $b_1 = 1,$ $b_2 = \dfrac{7}{3},$ y diferencia común $\dfrac{4}{3}.$

Por lo tanto $b_{2019} = 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8075}{3},$ así que $a_{2019} = \dfrac{3}{8075}.$ Como son primos entre sí, $p + q = 8078.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking reciprocals, $\begin{aligned} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}} \\ &= \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}. \end{aligned}$

Let $b_n = \dfrac{1}{a_n}.$ Then $b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},$ so $b_n$ is arithmetic with $b_1 = 1,$ $b_2 = \dfrac{7}{3},$ and common difference $\dfrac{4}{3}.$

Thus $b_{2019} = 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8075}{3},$ so $a_{2019} = \dfrac{3}{8075}.$ Since these are relatively prime, $p + q = 8078.$

Thus, the correct answer is E.

10.

La figura de abajo muestra $13$ círculos de radio $1$ dentro de un círculo más grande. Todas las intersecciones ocurren en puntos de tangencia. ¿Cuál es el área de la región, sombreada en la figura, dentro del círculo más grande pero fuera de todos los círculos de radio $1$ ?

The figure below shows $13$ circles of radius $1$ within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius $1?$

$4\pi\sqrt{3}$

$7\pi$

$\pi(3\sqrt{3} + 2)$

$10\pi(\sqrt{3} - 1)$

$\pi(\sqrt{3} + 6)$

Conceptos:área del círculo circunferencias tangentes descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Un círculo central está rodeado por seis círculos, y luego otros seis se ubican en los huecos exteriores

A central circle is ringed by six circles, then six more sit in the outer notches

Pista grande:

Los centros más externos están a distancia $2\sqrt{3}$ del centro, así que el radio grande es $2\sqrt{3} + 1$

The outermost centers are at distance $2\sqrt{3}$ from the center, so the big radius is $2\sqrt{3} + 1$

Solución:

Coloca un círculo unitario en el centro, seis a su alrededor con centros a distancia $2$ (un hexágono), y seis más con centros a distancia $2\sqrt{3}$ en los huecos exteriores. Eso da $1 + 6 + 6 = 13$ círculos.

Los círculos más externos son tangentes al círculo grande, cuyo radio es por lo tanto $2\sqrt{3} + 1.$ Su área es $\pi(2\sqrt{3} + 1)^2 = \pi(13 + 4\sqrt{3}).$

Restando los $13$ círculos unitarios queda $\pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place a unit circle at the center, six around it with centers at distance $2$ (a hexagon), and six more with centers at distance $2\sqrt{3}$ in the outer gaps. That is $1 + 6 + 6 = 13$ circles.

The outermost circles are tangent to the big circle, whose radius is therefore $2\sqrt{3} + 1.$ Its area is $\pi(2\sqrt{3} + 1)^2 = \pi(13 + 4\sqrt{3}).$

Subtracting the $13$ unit circles leaves $\pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Para cierto entero positivo $k,$ la representación periódica en base $k$ de la fracción (en base diez) $\dfrac{7}{51}$ es $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

For some positive integer $k,$ the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\dfrac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.$ What is $k?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:base numérica decimal periódico cuadrática

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Un bloque periódico de dos dígitos en base $k$ es igual a $\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1}$ .

A two-digit repeating block in base $k$ equals $\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1}$

Pista grande:

Iguala $\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}$ y elimina los denominadores

Set $\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}$ and clear denominators

Solución:

El bloque periódico da $0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.$

Multiplicando en cruz, $51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),$ así que $7k^2 - 102k - 160 = 0.$

La fórmula cuadrática da $\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The repeating block gives $0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.$

Cross-multiplying, $51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),$ so $7k^2 - 102k - 160 = 0.$

The quadratic formula gives $\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

12.

Los números reales positivos $x \ne 1$ y $y \ne 1$ satisfacen $\log_2 x = \log_y 16$ y $xy = 64.$ ¿Cuánto vale $\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2$ ?

Positive real numbers $x \ne 1$ and $y \ne 1$ satisfy $\log_2 x = \log_y 16$ and $xy = 64.$ What is $\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2?$

$\dfrac{25}{2}$

$20$

$\dfrac{45}{2}$

$25$

$32$

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Sea $a = \log_2 x$ y $b = \log_2 y;$ entonces $\log_y 16 = \dfrac{4}{b}$ .

Let $a = \log_2 x$ and $b = \log_2 y;$ then $\log_y 16 = \dfrac{4}{b}$

Pista grande:

Obtienes $ab = 4$ y $a + b = 6;$ observa que $\left(\log_2\tfrac{x}{y}\right)^2 = (a - b)^2$

You get $ab = 4$ and $a + b = 6;$ note $\left(\log_2\tfrac{x}{y}\right)^2 = (a - b)^2$

Solución:

Sea $a = \log_2 x$ y $b = \log_2 y.$ Entonces $\log_y 16 = \dfrac{4}{b},$ así que $a = \dfrac{4}{b},$ lo que da $ab = 4.$

Como $xy = 64,$ tenemos $a + b = 6.$

Por lo tanto $\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a = \log_2 x$ and $b = \log_2 y.$ Then $\log_y 16 = \dfrac{4}{b},$ so $a = \dfrac{4}{b},$ giving $ab = 4.$

Since $xy = 64,$ we have $a + b = 6.$

Therefore $\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

13.

¿De cuántas maneras se puede pintar cada uno de los enteros $2,$ $3,$ $\ldots,$ $9$ de rojo, verde o azul de modo que cada número tenga un color distinto al de cada uno de sus divisores propios?

How many ways are there to paint each of the integers $2,$ $3,$ $\ldots,$ $9$ either red, green, or blue so that each number has a different color from each of its proper divisors?

$144$

$216$

$256$

$384$

$432$

Conceptos:teoría de grafos divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Los números $5$ y $7$ no tienen restricción; trata la cadena $2, 4, 8$ y las restricciones sobre $6, 9$

Numbers $5$ and $7$ are unconstrained; handle the chain $2, 4, 8$ and the constraints on $6, 9$

Pista grande:

El color de $6$ debe evitar tanto $2$ como $3,$ así que el recuento depende de si $2$ y $3$ comparten color

The color of $6$ must avoid both $2$ and $3,$ so count depends on whether $2$ and $3$ share a color

Solución:

Los primos $5$ y $7$ no tienen divisores propios aquí, dando $3$ opciones cada uno.

A lo largo de la cadena $2 \to 4 \to 8,$ hay $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ coloraciones. El número $9$ debe diferir de $3,$ dando $2$ opciones una vez fijado $3$ .

El número $6$ debe diferir tanto de $2$ como de $3.$ Sumando sobre los colores de $2$ y $3$ (iguales en $3$ pares, distintos en $6$ pares), el factor combinado para $4, 8, 9, 6$ suma $2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.$

Multiplicando por las $9$ maneras para $5$ y $7$ se obtiene $48 \cdot 9 = 432.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The primes $5$ and $7$ have no proper divisors here, giving $3$ choices each.

Along the chain $2 \to 4 \to 8,$ there are $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ colorings. Number $9$ must differ from $3,$ giving $2$ choices once $3$ is set.

Number $6$ must differ from both $2$ and $3.$ Summing over the colors of $2$ and $3$ (equal in $3$ pairs, unequal in $6$ pairs), the combined factor for $4, 8, 9, 6$ totals $2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.$

Multiplying by the $9$ ways for $5$ and $7$ gives $48 \cdot 9 = 432.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Para cierto número complejo $c,$ el polinomio

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}$

tiene exactamente $4$ raíces distintas. ¿Cuánto vale $|c|$ ?

For a certain complex number $c,$ the polynomial

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}$

has exactly $4$ distinct roots. What is $|c|?$

$2$

$\sqrt{6}$

$2\sqrt{2}$

$3$

$\sqrt{10}$

Conceptos:número complejo polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

El primer y el tercer factor dan las raíces $1 \pm i$ y $2 \pm 2i$ .

The first and third factors give roots $1 \pm i$ and $2 \pm 2i$

Pista grande:

Para tener solo $4$ raíces distintas, $x^2 - cx + 4$ debe reutilizar dos de estas; sus raíces se multiplican para dar $4$ .

For only $4$ distinct roots, $x^2 - cx + 4$ must reuse two of these; its roots multiply to $4$

Solución:

Los factores $x^2 - 2x + 2$ y $x^2 - 4x + 8$ tienen raíces $1 \pm i$ y $2 \pm 2i,$ que son $4$ valores distintos.

Para que $P$ tenga exactamente $4$ raíces distintas, las raíces de $x^2 - cx + 4$ deben estar entre estas. Su producto debe ser igual a $4,$ y el único par así es una raíz de cada factor, por ejemplo $(1 + i)(2 - 2i) = 4.$

Entonces $c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,$ así que $|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factors $x^2 - 2x + 2$ and $x^2 - 4x + 8$ have roots $1 \pm i$ and $2 \pm 2i,$ which are $4$ distinct values.

For $P$ to have exactly $4$ distinct roots, the roots of $x^2 - cx + 4$ must lie among these. Their product must equal $4,$ and the only such pair is one root from each factor, for example $(1 + i)(2 - 2i) = 4.$

Then $c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,$ so $|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is E.

15.

Los números reales positivos $a$ y $b$ tienen la propiedad de que

$\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}$

y los cuatro términos de la izquierda son enteros positivos, donde $\log$ denota el logaritmo en base $10$ . ¿Cuánto vale $ab$ ?

Positive real numbers $a$ and $b$ have the property that

$\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}$

and all four terms on the left are positive integers, where $\log$ denotes the base $10$ logarithm. What is $ab?$

$10^{52}$

$10^{100}$

$10^{144}$

$10^{164}$

$10^{200}$

Conceptos:logaritmo Ecuación diofántica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea $\sqrt{\log a} = p$ y $\sqrt{\log b} = q;$ entonces $\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}$ debe ser un entero

Let $\sqrt{\log a} = p$ and $\sqrt{\log b} = q;$ then $\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}$ must be an integer

Pista grande:

Con $p = 2m,$ $q = 2n,$ la ecuación se convierte en $m(m+1) + n(n+1) = 50$

With $p = 2m,$ $q = 2n,$ the equation becomes $m(m+1) + n(n+1) = 50$

Solución:

Sea $\sqrt{\log a} = p$ y $\sqrt{\log b} = q,$ así que $\log a = p^2$ y $\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.$ Para que esto sea un entero, $p$ es par; igualmente $q.$

Escribiendo $p = 2m,$ $q = 2n,$ la ecuación $p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100$ se convierte en $m(m+1) + n(n+1) = 50.$

La única solución es $\{m, n\} = \{4, 5\},$ dando $\log(ab) = p^2 + q^2$ $= 4(16 + 25) = 164.$

Por lo tanto $ab = 10^{164}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\sqrt{\log a} = p$ and $\sqrt{\log b} = q,$ so $\log a = p^2$ and $\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.$ For this to be an integer, $p$ is even; likewise $q.$

Writing $p = 2m,$ $q = 2n,$ the equation $p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100$ becomes $m(m+1) + n(n+1) = 50.$

The only solution is $\{m, n\} = \{4, 5\},$ giving $\log(ab) = p^2 + q^2$ $= 4(16 + 25) = 164.$

Therefore $ab = 10^{164}.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Los números $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9$ se colocan al azar en las $9$ casillas de una cuadrícula $3 \times 3$ . Cada casilla recibe un número, y cada número se usa una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en cada fila y en cada columna sea impar?

The numbers $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9$ are randomly placed into the $9$ squares of a $3 \times 3$ grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{5}{63}$

$\dfrac{2}{21}$

$\dfrac{1}{7}$

Conceptos:paridad probabilidad básica permutaciones

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Hay $5$ números impares y $4$ pares; cada fila y columna necesita una cantidad impar de números impares

There are $5$ odd and $4$ even numbers; each row and column needs an odd count of odd numbers

Pista grande:

Las entradas impares deben llenar una fila entera y una columna entera, formando una figura de cruz de $5$ casillas

The odd entries must fill one entire row and one entire column, forming a plus shape of $5$ cells

Solución:

Hay $5$ números impares y $4$ pares. Cada fila y columna debe contener un número impar de entradas impares.

La única forma de colocar $5$ entradas impares con cada fila y columna impar es llenar una fila completa y una columna completa (una cruz de $3 + 3 - 1 = 5$ casillas). Hay $3 \cdot 3 = 9$ de tales patrones.

Cada patrón admite $5!$ colocaciones de los números impares y $4!$ de los pares, así que la probabilidad es $\dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $5$ odd and $4$ even numbers. Each row and column must contain an odd number of odd entries.

The only way to place $5$ odd entries with every row and column odd is to fill one complete row and one complete column (a plus shape of $3 + 3 - 1 = 5$ cells). There are $3 \cdot 3 = 9$ such patterns.

Each pattern admits $5!$ placements of the odd numbers and $4!$ of the even numbers, so the probability is $\dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Sea $s_k$ la suma de las $k$ -ésimas potencias de las raíces del polinomio $x^3 - 5x^2 + 8x - 13.$ En particular, $s_0 = 3,$ $s_1 = 5,$ y $s_2 = 9.$ Sean $a,$ $b,$ y $c$ números reales tales que $s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}$ para $k = 2,$ $3,$ $\ldots.$ ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Let $s_k$ denote the sum of the $k$ th powers of the roots of the polynomial $x^3 - 5x^2 + 8x - 13.$ In particular, $s_0 = 3,$ $s_1 = 5,$ and $s_2 = 9.$ Let $a,$ $b,$ and $c$ be real numbers such that $s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}$ for $k = 2,$ $3,$ $\ldots.$ What is $a + b + c?$

$-6$

$0$

$6$

$10$

$26$

Conceptos:Sumas de Newton polinomio recursión

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Cada raíz $r$ satisface $r^3 = 5r^2 - 8r + 13$ .

Each root $r$ satisfies $r^3 = 5r^2 - 8r + 13$

Pista grande:

Multiplica por $r^{k-2}$ y suma sobre las raíces para leer $a, b, c$ .

Multiply by $r^{k-2}$ and sum over the roots to read off $a, b, c$

Solución:

Cada raíz $r$ satisface $r^3 = 5r^2 - 8r + 13,$ así que $r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.$

Sumando sobre las tres raíces se obtiene $s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},$ así que $a = 5,$ $b = -8,$ $c = 13.$

Por lo tanto $a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every root $r$ satisfies $r^3 = 5r^2 - 8r + 13,$ so $r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.$

Summing over the three roots gives $s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},$ so $a = 5,$ $b = -8,$ $c = 13.$

Therefore $a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Una esfera con centro $O$ tiene radio $6.$ Un triángulo con lados de longitud $15,$ $15,$ y $24$ está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre $O$ y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15,$ $15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

Conceptos:esfera circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

La esfera corta el plano en un círculo tangente a los tres lados, así que ese círculo es el incírculo

The sphere meets the plane in a circle tangent to all three sides, so that circle is the incircle

Pista grande:

Si $d$ es la distancia, el círculo de corte tiene radio $\sqrt{36 - d^2},$ que es igual al inradio

If $d$ is the distance, the cross-circle has radius $\sqrt{36 - d^2},$ which equals the inradius

Solución:

La esfera interseca el plano del triángulo en un círculo de radio $\sqrt{36 - d^2},$ donde $d$ es la distancia de $O$ al plano. Como cada lado es tangente a la esfera, este círculo es el incírculo del triángulo.

El triángulo tiene área $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ y semiperímetro $27,$ así que su inradio es $\dfrac{108}{27} = 4.$

Así $\sqrt{36 - d^2} = 4,$ lo que da $d^2 = 20$ y $d = 2\sqrt{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sphere intersects the triangle’s plane in a circle of radius $\sqrt{36 - d^2},$ where $d$ is the distance from $O$ to the plane. Since each side is tangent to the sphere, this circle is the triangle’s incircle.

The triangle has area $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ and semiperimeter $27,$ so its inradius is $\dfrac{108}{27} = 4.$

Thus $\sqrt{36 - d^2} = 4,$ giving $d^2 = 20$ and $d = 2\sqrt{5}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

En $\triangle ABC$ con longitudes de lados enteras,

$\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$

¿Cuál es el menor perímetro posible para $\triangle ABC$ ?

In $\triangle ABC$ with integer side lengths,

$\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$

What is the least possible perimeter for $\triangle ABC?$

$9$

$12$

$23$

$27$

$44$

Conceptos:ley de los senos razón y proporción desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Halla $\sin A, \sin B, \sin C$ a partir de los cosenos dados.

Find $\sin A, \sin B, \sin C$ from the given cosines

Pista grande:

Por la ley de los senos, los lados son proporcionales a $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 2 : 4$ .

By the Law of Sines the sides are proportional to $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 2 : 4$

Solución:

Cada seno es $\sqrt{1 - \cos^2}:$ $\sin A = \dfrac{3\sqrt{15}}{16},$ $\sin B = \dfrac{2\sqrt{15}}{16},$ $\sin C = \dfrac{4\sqrt{15}}{16}.$

Por la ley de los senos, los lados están en razón $3 : 2 : 4.$ Los menores lados enteros son $3, 2, 4,$ que satisfacen la desigualdad triangular.

El menor perímetro es $3 + 2 + 4 = 9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each sine is $\sqrt{1 - \cos^2}:$ $\sin A = \dfrac{3\sqrt{15}}{16},$ $\sin B = \dfrac{2\sqrt{15}}{16},$ $\sin C = \dfrac{4\sqrt{15}}{16}.$

By the Law of Sines the sides are in ratio $3 : 2 : 4.$ The smallest integer sides are $3, 2, 4,$ which satisfy the triangle inequality.

The least perimeter is $3 + 2 + 4 = 9.$

Thus, the correct answer is A.

20.

Se eligen números reales entre $0$ y $1,$ inclusive, de la siguiente manera. Se lanza una moneda justa. Si sale cara, se lanza de nuevo y el número elegido es $0$ si el segundo lanzamiento es cara y $1$ si el segundo lanzamiento es cruz. Por otro lado, si el primer lanzamiento es cruz, entonces el número se elige uniformemente al azar del intervalo cerrado $[0, 1].$ Dos números aleatorios $x$ y $y$ se eligen independientemente de esta manera. ¿Cuál es la probabilidad de que $|x - y| \gt \dfrac{1}{2}$ ?

Real numbers between $0$ and $1,$ inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is $0$ if the second flip is heads and $1$ if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval $[0, 1].$ Two random numbers $x$ and $y$ are chosen independently in this manner. What is the probability that $|x - y| \gt \dfrac{1}{2}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Cada número es $0$ con probabilidad $\tfrac14,$ $1$ con probabilidad $\tfrac14,$ y uniforme en $[0,1]$ con probabilidad $\tfrac12$

Each number is $0$ with probability $\tfrac14,$ $1$ with probability $\tfrac14,$ and uniform on $[0,1]$ with probability $\tfrac12$

Pista grande:

Divide en las nueve combinaciones de tipos; para dos uniformes, $P\!\left(|x - y| \gt \tfrac12\right) = \tfrac14$

Split into the nine type-combinations; for two uniforms, $P\!\left(|x - y| \gt \tfrac12\right) = \tfrac14$

Solución:

Cada variable es igual a $0$ con probabilidad $\tfrac14,$ es igual a $1$ con probabilidad $\tfrac14,$ y es uniforme en $[0, 1]$ con probabilidad $\tfrac12.$

Considerando las nueve combinaciones de tipos: los pares $(0, 1)$ y $(1, 0)$ contribuyen cada uno $\tfrac{1}{16}.$ Cada uno de los cuatro casos de punto contra uniforme contribuye $\tfrac{1}{16}.$ El caso de uniforme contra uniforme contribuye $\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.$

El total es $\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each variable equals $0$ with probability $\tfrac14,$ equals $1$ with probability $\tfrac14,$ and is uniform on $[0, 1]$ with probability $\tfrac12.$

Considering the nine combinations of types: the pairs $(0, 1)$ and $(1, 0)$ each contribute $\tfrac{1}{16}.$ Each of the four point-versus-uniform cases contributes $\tfrac{1}{16}.$ The uniform-versus-uniform case contributes $\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.$

The total is $\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Sea $z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.$ ¿Cuánto vale

$\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}$

Let $z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.$ What is

$\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}$

$18$

$72 - 36\sqrt{2}$

$36$

$72$

$72 + 36\sqrt{2}$

Conceptos:raíces de la unidad número complejo aritmética modular

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

$z = e^{\frac{i\pi}{4}},$ así que $z^{k^2}$ depende solo de $k^2 \bmod 8$ .

$z = e^{\frac{i\pi}{4}},$ so $z^{k^2}$ depends only on $k^2 \bmod 8$

Pista grande:

Para $k = 1, \ldots, 12,$ el exponente $k^2 \bmod 8$ es $1$ seis veces, $4$ tres veces, y $0$ tres veces

Over $k = 1, \ldots, 12,$ the exponent $k^2 \bmod 8$ is $1$ six times, $4$ three times, and $0$ three times

Solución:

Como $z = e^{\frac{i\pi}{4}},$ tenemos $z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},$ que depende solo de $k^2 \bmod 8.$

Para $k = 1$ hasta $12,$ el residuo $k^2 \bmod 8$ es $1$ (dando $z$ ) seis veces, $4$ (dando $-1$ ) tres veces, y $0$ (dando $1$ ) tres veces. Así que la primera suma es $6z - 3 + 3 = 6z.$

La segunda suma es análogamente $\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.$ Su producto es $6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $z = e^{\frac{i\pi}{4}},$ we have $z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},$ depending only on $k^2 \bmod 8.$

For $k = 1$ to $12,$ the residue $k^2 \bmod 8$ is $1$ (giving $z$ ) six times, $4$ (giving $-1$ ) three times, and $0$ (giving $1$ ) three times. So the first sum is $6z - 3 + 3 = 6z.$

The second sum is likewise $\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.$ Their product is $6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Los círculos $\omega$ y $\gamma,$ ambos con centro en $O,$ tienen radios $20$ y $17,$ respectivamente. El triángulo equilátero $ABC,$ cuyo interior está dentro de $\omega$ pero fuera de $\gamma,$ tiene el vértice $A$ sobre $\omega,$ y la recta que contiene el lado $BC$ es tangente a $\gamma.$ Los segmentos $AO$ y $BC$ se cortan en $P,$ y $\dfrac{BP}{CP} = 3.$ Entonces $AB$ puede escribirse en la forma $\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}$ para enteros positivos $m,$ $n,$ $p,$ $q$ con $\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.$ ¿Cuánto vale $m + n + p + q$ ?

Circles $\omega$ and $\gamma,$ both centered at $O,$ have radii $20$ and $17,$ respectively. Equilateral triangle $ABC,$ whose interior lies in the interior of $\omega$ but in the exterior of $\gamma,$ has vertex $A$ on $\omega,$ and the line containing side $BC$ is tangent to $\gamma.$ Segments $AO$ and $BC$ intersect at $P,$ and $\dfrac{BP}{CP} = 3.$ Then $AB$ can be written in the form $\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}$ for positive integers $m,$ $n,$ $p,$ $q$ with $\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.$ What is $m + n + p + q?$

$42$

$86$

$92$

$114$

$130$

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero recta tangente

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Sea $s = AB.$ Como $\tfrac{BP}{CP} = 3,$ tenemos $BP = \tfrac{3s}{4}$ y $CP = \tfrac{s}{4}$ .

Let $s = AB.$ Since $\tfrac{BP}{CP} = 3,$ we have $BP = \tfrac{3s}{4}$ and $CP = \tfrac{s}{4}$

Pista grande:

Coloca $P$ en el origen con $BC$ horizontal; $O$ está sobre la recta $AP$ a distancia $17$ de $BC$ y $20$ de $A$ .

Place $P$ at the origin with $BC$ horizontal; $O$ lies on line $AP$ at distance $17$ from $BC$ and $20$ from $A$

Solución:

Sea $s = AB.$ Como $\dfrac{BP}{CP} = 3,$ tenemos $BP = \dfrac{3s}{4}$ y $CP = \dfrac{s}{4}.$ Pon $P$ en el origen con $BC$ sobre el eje $x$ , $B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),$ $C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),$ y el ápice $A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).$

Los puntos $P, O, A$ son colineales, así que $O = t \cdot A$ para algún escalar $t.$ Dos condiciones lo determinan: $O$ está a distancia $17$ de la recta $BC,$ lo que da $|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,$ y $A$ está sobre $\omega,$ lo que da $|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20$ ya que $|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.$

Resolviendo, $|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$ y $|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.$ La configuración válida tiene $O$ y $A$ en lados opuestos de $P,$ así que $|t-1|s=|t|s+s.$ Por lo tanto $AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.$

Entonces $m + n + p + q = 80 + 13$ $+ 34 + 3 = 130.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $s = AB.$ Since $\dfrac{BP}{CP} = 3,$ we have $BP = \dfrac{3s}{4}$ and $CP = \dfrac{s}{4}.$ Put $P$ at the origin with $BC$ on the $x$ -axis, $B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),$ $C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),$ and apex $A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).$

Points $P, O, A$ are collinear, so $O = t \cdot A$ for some scalar $t.$ Two conditions pin it down: $O$ is at distance $17$ from line $BC,$ giving $|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,$ and $A$ is on $\omega,$ giving $|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20$ since $|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.$

Solving, $|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$ and $|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.$ The valid configuration has $O$ and $A$ on opposite sides of $P,$ so $|t-1|s=|t|s+s.$ Therefore $AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.$

Then $m + n + p + q = 80 + 13$ $+ 34 + 3 = 130.$

Thus, the correct answer is E.

23.

Define las operaciones binarias $\diamondsuit$ y $\heartsuit$ por

$a \diamondsuit b = a^{\log_7(b)}$ y $a \heartsuit b = a^{\frac{1}{\log_7(b)}}$

para todos los números reales $a$ y $b$ para los que estas expresiones están definidas. La sucesión $(a_n)$ se define recursivamente por $a_3 = 3 \heartsuit 2$ y $a_n = (n \heartsuit (n - 1)) \diamondsuit a_{n-1}$ para todos los enteros $n \ge 4.$ Al entero más cercano, ¿cuánto vale $\log_7(a_{2019})$ ?

Define binary operations $\diamondsuit$ and $\heartsuit$ by

$a \diamondsuit b = a^{\log_7(b)}$ and $a \heartsuit b = a^{\frac{1}{\log_7(b)}}$

for all real numbers $a$ and $b$ for which these expressions are defined. The sequence $(a_n)$ is defined recursively by $a_3 = 3 \heartsuit 2$ and $a_n = (n \heartsuit (n - 1)) \diamondsuit a_{n-1}$ for all integers $n \ge 4.$ To the nearest integer, what is $\log_7(a_{2019})?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:operación personalizada logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Aplica $\log_7:$ entonces $\log_7(a \diamondsuit b) = \log_7 a \cdot \log_7 b$

Apply $\log_7:$ then $\log_7(a \diamondsuit b) = \log_7 a \cdot \log_7 b$

Pista grande:

Escribiendo $L(x) = \log_7 x,$ la recurrencia se convierte en $L(a_n) = L(a_{n-1}) \cdot \dfrac{L(n)}{L(n-1)}$

Writing $L(x) = \log_7 x,$ the recurrence becomes $L(a_n) = L(a_{n-1}) \cdot \dfrac{L(n)}{L(n-1)}$

Solución:

Sea $L(x) = \log_7 x.$ Entonces $L(a \diamondsuit b) = L(a)L(b)$ y $L(a \heartsuit b) = \dfrac{L(a)}{L(b)}.$

Así $L(a_3) = \dfrac{L(3)}{L(2)},$ y $L(a_n) = \dfrac{L(n)}{L(n-1)} \cdot L(a_{n-1}).$ El producto se telescopa: $\begin{aligned} L(a_N) &= \dfrac{L(3)}{L(2)} \cdot \dfrac{L(N)}{L(3)} \\ &= \dfrac{L(N)}{L(2)}. \end{aligned}$

Por lo tanto $L(a_{2019}) = \dfrac{\log_7 2019}{\log_7 2}$ $= \log_2 2019 \approx 10.98,$ que se redondea a $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $L(x) = \log_7 x.$ Then $L(a \diamondsuit b) = L(a)L(b)$ and $L(a \heartsuit b) = \dfrac{L(a)}{L(b)}.$

So $L(a_3) = \dfrac{L(3)}{L(2)},$ and $L(a_n) = \dfrac{L(n)}{L(n-1)} \cdot L(a_{n-1}).$ The product telescopes: $\begin{aligned} L(a_N) &= \dfrac{L(3)}{L(2)} \cdot \dfrac{L(N)}{L(3)} \\ &= \dfrac{L(N)}{L(2)}. \end{aligned}$

Hence $L(a_{2019}) = \dfrac{\log_7 2019}{\log_7 2}$ $= \log_2 2019 \approx 10.98,$ which rounds to $11.$

Thus, the correct answer is D.

24.

¿Para cuántos enteros $n$ entre $1$ y $50,$ inclusive, es $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n}$ un entero? (Recuerda que $0! = 1.$ )

For how many integers $n$ between $1$ and $50,$ inclusive, is $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n}$ an integer? (Recall that $0! = 1.$ )

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Conceptos:Fórmula de Legendre primo dígitos

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Compara el exponente de un primo $p$ en el numerador y el denominador usando $v_p(m!) = \dfrac{m - s_p(m)}{p - 1}$

Compare the exponent of a prime $p$ in numerator and denominator using $v_p(m!) = \dfrac{m - s_p(m)}{p - 1}$

Pista grande:

El fracaso requiere que $n$ sea una potencia de primo $p^a$ con $p^a - 1 \lt 2a(p - 1)$

Failure requires $n$ to be a prime power $p^a$ with $p^a - 1 \lt 2a(p - 1)$

Solución:

Fijemos un primo $p\le n.$ Por la fórmula de Legendre, la diferencia entre el exponente de $p$ en el numerador y en el denominador es $\begin{aligned} D_p &=\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n^2-1}{p^k}\right\rfloor\\ &\quad-n\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n}{p^k}\right\rfloor. \end{aligned}$ Si $r_k$ es el residuo de $n$ módulo $p^k,$ el $k$ -ésimo sumando es $\left\lfloor\dfrac{nr_k-1}{p^k}\right\rfloor.$

Sea $a=v_p(n).$ Los primeros $a$ sumandos son $-1.$ Si $n$ no es potencia de $p,$ escribamos $n=p^a m$ con $m\ge2.$ Cuando $a\ge1,$ el siguiente sumando es al menos $\dfrac{n}{p}-1\ge a,$ y todos los posteriores son no negativos; cuando $a=0,$ todos los sumandos ya son no negativos. Por tanto, $D_p\ge0$ salvo que $n$ sea potencia de $p.$

Para $n=p^a,$ la fórmula de Legendre reduce la condición a $p^a-1\ge2a(p-1).$ Entre las potencias de primo no mayores que $50,$ esto falla exactamente cuando $a=1$ (es decir, cuando $n$ es primo) y cuando $n=2^2=4.$ Hay $15$ primos no mayores que $50,$ más $n=4,$ para un total de $16$ fallos. Por tanto, funcionan $50 - 16 = 34$ valores de $n$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Fix a prime $p\le n.$ By Legendre’s formula, the difference between the exponent of $p$ in the numerator and its exponent in the denominator is $\begin{aligned} D_p &=\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n^2-1}{p^k}\right\rfloor\\ &\quad-n\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n}{p^k}\right\rfloor. \end{aligned}$ If $r_k$ is the remainder of $n$ modulo $p^k,$ the $k$ th summand is $\left\lfloor\dfrac{nr_k-1}{p^k}\right\rfloor.$

Let $a=v_p(n).$ The first $a$ summands are $-1.$ If $n$ is not a power of $p,$ write $n=p^a m$ with $m\ge2.$ When $a\ge1,$ the next summand is at least $\dfrac{n}{p}-1\ge a,$ and all later summands are nonnegative; when $a=0,$ every summand is already nonnegative. Thus $D_p\ge0$ unless $n$ is a power of $p.$

For $n=p^a,$ Legendre’s formula reduces the requirement to $p^a-1\ge2a(p-1).$ Among prime powers at most $50,$ this fails exactly when $a=1$ (so $n$ is prime) and when $n=2^2=4.$ There are $15$ primes at most $50,$ plus $n=4,$ giving $16$ failures. Hence $50 - 16 = 34$ values of $n$ work.

Thus, the correct answer is D.

25.

Sea $\triangle A_0 B_0 C_0$ un triángulo cuyas medidas angulares son exactamente $59.999^\circ,$ $60^\circ,$ y $60.001^\circ.$ Para cada entero positivo $n$ define $A_n$ como el pie de la altura desde $A_{n-1}$ a la recta $B_{n-1}C_{n-1}.$ Del mismo modo, define $B_n$ como el pie de la altura desde $B_{n-1}$ a la recta $A_{n-1}C_{n-1},$ y $C_n$ como el pie de la altura desde $C_{n-1}$ a la recta $A_{n-1}B_{n-1}.$ ¿Cuál es el menor entero positivo $n$ para el cual $\triangle A_n B_n C_n$ es obtuso?

Let $\triangle A_0 B_0 C_0$ be a triangle whose angle measures are exactly $59.999^\circ,$ $60^\circ,$ and $60.001^\circ.$ For each positive integer $n$ define $A_n$ to be the foot of the altitude from $A_{n-1}$ to line $B_{n-1}C_{n-1}.$ Likewise, define $B_n$ to be the foot of the altitude from $B_{n-1}$ to line $A_{n-1}C_{n-1},$ and $C_n$ to be the foot of the altitude from $C_{n-1}$ to line $A_{n-1}B_{n-1}.$ What is the least positive integer $n$ for which $\triangle A_n B_n C_n$ is obtuse?

$10$

$11$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:altura recursión persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Para un triángulo acutángulo, el triángulo órtico tiene ángulos $180^\circ - 2\alpha$ .

For an acute triangle, the orthic triangle has angles $180^\circ - 2\alpha$

Pista grande:

Rastrea la desviación respecto a $60^\circ:$ cada paso la multiplica por $-2,$ y el triángulo se vuelve obtuso cuando una desviación supera $30^\circ$

Track the deviation from $60^\circ:$ each step multiplies it by $-2,$ and the triangle turns obtuse when a deviation exceeds $30^\circ$

Solución:

Para un triángulo acutángulo, el triángulo órtico (pies de las alturas) tiene ángulos $180^\circ - 2\alpha$ para cada ángulo original $\alpha.$

Escribiendo un ángulo como $60^\circ + x,$ el nuevo ángulo es $60^\circ - 2x,$ así que cada desviación respecto a $60^\circ$ se multiplica por $-2.$ Las desviaciones iniciales son $\pm 0.001^\circ.$

Después de $n$ pasos, una desviación tiene magnitud $0.001 \cdot 2^n$ grados. El triángulo se vuelve obtuso por primera vez cuando esto supera $30^\circ,$ es decir $2^n \gt 30000.$ Como $2^{14} = 16384$ y $2^{15} = 32768,$ el menor tal $n$ es $15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For an acute triangle, the orthic triangle (feet of the altitudes) has angles $180^\circ - 2\alpha$ for each original angle $\alpha.$

Writing an angle as $60^\circ + x,$ the new angle is $60^\circ - 2x,$ so each deviation from $60^\circ$ is multiplied by $-2.$ The initial deviations are $\pm 0.001^\circ.$

After $n$ steps a deviation has magnitude $0.001 \cdot 2^n$ degrees. The triangle first becomes obtuse when this exceeds $30^\circ,$ i.e. $2^n \gt 30000.$ Since $2^{14} = 16384$ and $2^{15} = 32768,$ the least such $n$ is $15.$

Thus, the correct answer is E.