2019 AMC 12A — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

El área de una pizza de radio $4$ pulgadas es $N$ por ciento mayor que el área de una pizza de radio $3$ pulgadas. ¿Cuál es el entero más cercano a $N$ ?

The area of a pizza with radius $4$ inches is $N$ percent larger than the area of a pizza with radius $3$ inches. What is the integer closest to $N?$

$25$

$33$

$44$

$66$

$78$

Respuesta: E

Conceptos:área del círculo porcentaje

Nivel de dificultad: 770

Solución:

Las áreas son proporcionales a los cuadrados de los radios, así que la razón del área mayor a la menor es $\dfrac{16}{9}.$

El aumento porcentual es $\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100 = \dfrac{700}{9} \approx 77.8.$ y el entero más cercano es $78.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The areas are proportional to the squares of the radii, so the ratio of the larger area to the smaller is $\dfrac{16}{9}.$

The percent increase is $\left(\dfrac{16}{9} - 1\right) \times 100 = \dfrac{700}{9} \approx 77.8.$ The closest integer is $78.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Supongamos que $a$ es el $150\%$ de $b.$ ¿Qué porcentaje de $a$ es $3b$ ?

Suppose $a$ is $150\%$ of $b.$ What percent of $a$ is $3b?$

$50$

$66\dfrac{2}{3}$

$150$

$200$

$450$

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 770

Solución:

Como $a = 1.5b,$ tenemos $\dfrac{3b}{a} = \dfrac{3b}{1.5b} = 2.$

Como porcentaje, $3b$ es el $200\%$ de $a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $a = 1.5b,$ we have $\dfrac{3b}{a} = \dfrac{3b}{1.5b} = 2.$

As a percentage, $3b$ is $200\%$ of $a.$

Thus, the correct answer is D.

3.

Una caja contiene $28$ bolas rojas, $20$ bolas verdes, $19$ bolas amarillas, $13$ bolas azules, $11$ bolas blancas y $9$ bolas negras. ¿Cuál es el número mínimo de bolas que se deben sacar de la caja sin reemplazo para garantizar que se saquen al menos $15$ bolas de un mismo color?

A box contains $28$ red balls, $20$ green balls, $19$ yellow balls, $13$ blue balls, $11$ white balls, and $9$ black balls. What is the minimum number of balls that must be drawn from the box without replacement to guarantee that at least $15$ balls of a single color will be drawn?

$75$

$76$

$79$

$84$

$91$

Respuesta: B

Conceptos:principio del palomar

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

En el peor caso, sacamos $14$ de rojas, verdes y amarillas, más todas las azules $(13),$ blancas $(11),$ y negras $(9),$ sin llegar a $15$ de ningún color.

Eso da $14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$ bolas.

La siguiente bola debe completar un conjunto de $15,$ así que se necesitan $76$ bolas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In the worst case, we draw $14$ each of red, green, and yellow, plus all of the blue $(13),$ white $(11),$ and black $(9),$ without reaching $15$ of any color.

That is $14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$ balls.

The next ball must complete a set of $15,$ so $76$ balls are needed.

Thus, the correct answer is B.

4.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros consecutivos cuya suma es $45$ ?

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is $45?$

$9$

$25$

$45$

$90$

$120$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética simetría

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Se permiten enteros negativos. Los enteros desde $-44$ hasta $44$ suman $0,$ así que los enteros desde $-44$ hasta $45$ suman $45.$

Esta sucesión tiene $45 - (-44) + 1 = 90$ enteros, y ninguna sucesión más larga puede funcionar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Negative integers are allowed. The integers from $-44$ to $44$ sum to $0,$ so the integers from $-44$ to $45$ sum to $45.$

This run has $45 - (-44) + 1 = 90$ integers, and no longer run can work.

Thus, the correct answer is D.

5.

Dos rectas de pendientes $\dfrac{1}{2}$ y $2$ se cortan en $(2, 2).$ ¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta $x + y = 10$ ?

Two lines with slopes $\dfrac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica área del triángulo fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Las dos rectas son $y = \tfrac{1}{2}x + 1$ y $y = 2x - 2.$ Al intersecar cada una con $x + y = 10$ se obtienen los puntos $(6, 4)$ y $(4, 6).$

El triángulo tiene vértices $(2, 2),$ $(6, 4),$ y $(4, 6).$ Por la fórmula del cordón,

$\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two lines are $y = \tfrac{1}{2}x + 1$ and $y = 2x - 2.$ Intersecting each with $x + y = 10$ gives the points $(6, 4)$ and $(4, 6).$

The triangle has vertices $(2, 2),$ $(6, 4),$ and $(4, 6).$ By the shoelace formula,

$\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

6.

La figura de abajo muestra la recta $\ell$ con un patrón regular, infinito y recurrente de cuadrados y segmentos.

¿Cuántos de los siguientes cuatro tipos de transformaciones de movimiento rígido del plano en el que está dibujada esta figura, distintas de la transformación identidad, llevan esta figura sobre sí misma?

• alguna rotación alrededor de un punto de la recta $\ell$

• alguna traslación en la dirección paralela a la recta $\ell$

• la reflexión respecto a la recta $\ell$

• alguna reflexión respecto a una recta perpendicular a la recta $\ell$

The figure below shows line $\ell$ with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line $\ell$

• some translation in the direction parallel to line $\ell$

• the reflection across line $\ell$

• some reflection across a line perpendicular to line $\ell$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Una traslación de un período completo lleva la figura sobre sí misma, así que la traslación funciona.

Una rotación de $180^\circ$ alrededor de un punto adecuado sobre $\ell$ envía cada cuadrado por encima de la recta al cuadrado por debajo de ella, y los segmentos diagonales coinciden, así que esta rotación funciona.

La reflexión respecto a $\ell$ envía las diagonales de arriba a la derecha a diagonales de arriba a la derecha por debajo de la recta, pero las diagonales reales por debajo de la recta apuntan hacia abajo a la izquierda, así que falla. Una reflexión respecto a una recta perpendicular falla por la misma razón. Solo $2$ de las cuatro transformaciones funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A translation by one full period maps the figure to itself, so translation works.

A $180^\circ$ rotation about a suitable point on $\ell$ sends each square above the line to the square below it, with the diagonal segments matching, so this rotation works.

Reflection across $\ell$ sends the top-right diagonals to top-right diagonals below the line, but the actual below-line diagonals point to the bottom-left, so it fails. A reflection across a perpendicular line fails for the same reason. Only $2$ of the four transformations work.

Thus, the correct answer is C.

7.

Melanie calcula la media $\mu,$ la mediana $M,$ y las modas de los $365$ valores que son las fechas de los meses de $2019.$ Así, sus datos consisten en $12$ números $1$ , $12$ números $2$ , $\ldots,$ $12$ números $28$ , $11$ números $29$ , $11$ números $30$ y $7$ números $31$ . Sea $d$ la mediana de las modas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Melanie computes the mean $\mu,$ the median $M,$ and the modes of the $365$ values that are the dates in the months of $2019.$ Thus her data consist of $12$ $1$ s, $12$ $2$ s, $\ldots,$ $12$ $28$ s, $11$ $29$ s, $11$ $30$ s, and $7$ $31$ s. Let $d$ be the median of the modes. Which of the following statements is true?

$\mu \lt d \lt M$

$M \lt d \lt \mu$

$d = M = \mu$

$d \lt M \lt \mu$

$d \lt \mu \lt M$

Respuesta: E

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1330

Solución:

Los valores $1$ hasta $28$ aparecen cada uno $12$ veces y son las modas, así que $d = \dfrac{14 + 15}{2} = 14.5.$

El $183$ -ésimo de los $365$ valores ordenados es la mediana. Los valores $1$ hasta $15$ ocupan las primeras $180$ posiciones, así que la posición $183$ es $16;$ por lo tanto $M = 16.$

El total de todos los valores es $12(1 + \cdots + 28)$ $+ 11(29 + 30)$ $+ 7 \cdot 31 = 5738,$ así que $\mu = \dfrac{5738}{365} \approx 15.7.$

Por lo tanto $d \lt \mu \lt M.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The values $1$ through $28$ each appear $12$ times and are the modes, so $d = \dfrac{14 + 15}{2} = 14.5.$

The $183$ rd of the $365$ ordered values is the median. Values $1$ through $15$ fill the first $180$ positions, so position $183$ is $16;$ thus $M = 16.$

The total of all values is $12(1 + \cdots + 28)$ $+ 11(29 + 30)$ $+ 7 \cdot 31 = 5738,$ so $\mu = \dfrac{5738}{365} \approx 15.7.$

Therefore $d \lt \mu \lt M.$

Thus, the correct answer is E.

8.

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente $N$ puntos distintos que están sobre dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $N$ ?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly $N$ distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of $N?$

$14$

$16$

$18$

$19$

$21$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de intersecciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

Con cuatro rectas, el número de puntos de intersección varía según las configuraciones alcanzables. Todas paralelas da $0;$ todas concurrentes da $1.$

Analizando los casos (clases de paralelismo y puntos de concurrencia), los valores alcanzables son $0, 1, 3, 4, 5, 6;$ el valor $2$ es imposible.

La suma es $0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

With four lines, the number of intersection points ranges over the achievable configurations. All parallel gives $0;$ all concurrent gives $1.$

Working through the cases (parallel classes and points of concurrency), the achievable values are $0, 1, 3, 4, 5, 6;$ the value $2$ is impossible.

The sum is $0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Una sucesión de números se define recursivamente por $a_1 = 1,$ $a_2 = \dfrac{3}{7},$ y

$a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$

para todo $n \ge 3.$ Entonces $a_{2019}$ puede escribirse como $\dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p + q$ ?

A sequence of numbers is defined recursively by $a_1 = 1,$ $a_2 = \dfrac{3}{7},$ and

$a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$

for all $n \ge 3.$ Then $a_{2019}$ can be written as $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p + q?$

$2020$

$4039$

$6057$

$6061$

$8078$

Respuesta: E

Conceptos:recursión sustitución sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Tomando recíprocos, $\begin{aligned} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}} \\ &= \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}. \end{aligned}$

Sea $b_n = \dfrac{1}{a_n}.$ Entonces $b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},$ así que $b_n$ es aritmética con $b_1 = 1,$ $b_2 = \dfrac{7}{3},$ y diferencia común $\dfrac{4}{3}.$

Por lo tanto $b_{2019} = 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8075}{3},$ así que $a_{2019} = \dfrac{3}{8075}.$ Como son primos entre sí, $p + q = 8078.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking reciprocals, $\begin{aligned} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}} \\ &= \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}. \end{aligned}$

Let $b_n = \dfrac{1}{a_n}.$ Then $b_n = 2b_{n-1} - b_{n-2},$ so $b_n$ is arithmetic with $b_1 = 1,$ $b_2 = \dfrac{7}{3},$ and common difference $\dfrac{4}{3}.$

Thus $b_{2019} = 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8075}{3},$ so $a_{2019} = \dfrac{3}{8075}.$ Since these are relatively prime, $p + q = 8078.$

Thus, the correct answer is E.

10.

La figura de abajo muestra $13$ círculos de radio $1$ dentro de un círculo más grande. Todas las intersecciones ocurren en puntos de tangencia. ¿Cuál es el área de la región, sombreada en la figura, dentro del círculo más grande pero fuera de todos los círculos de radio $1$ ?

The figure below shows $13$ circles of radius $1$ within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius $1?$

$4\pi\sqrt{3}$

$7\pi$

$\pi(3\sqrt{3} + 2)$

$10\pi(\sqrt{3} - 1)$

$\pi(\sqrt{3} + 6)$

Respuesta: A

Conceptos:área del círculo circunferencias tangentes descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Coloca un círculo unitario en el centro, seis a su alrededor con centros a distancia $2$ (un hexágono), y seis más con centros a distancia $2\sqrt{3}$ en los huecos exteriores. Eso da $1 + 6 + 6 = 13$ círculos.

Los círculos más externos son tangentes al círculo grande, cuyo radio es por lo tanto $2\sqrt{3} + 1.$ Su área es $\pi(2\sqrt{3} + 1)^2 = \pi(13 + 4\sqrt{3}).$

Restando los $13$ círculos unitarios queda $\pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place a unit circle at the center, six around it with centers at distance $2$ (a hexagon), and six more with centers at distance $2\sqrt{3}$ in the outer gaps. That is $1 + 6 + 6 = 13$ circles.

The outermost circles are tangent to the big circle, whose radius is therefore $2\sqrt{3} + 1.$ Its area is $\pi(2\sqrt{3} + 1)^2 = \pi(13 + 4\sqrt{3}).$

Subtracting the $13$ unit circles leaves $\pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Para cierto entero positivo $k,$ la representación periódica en base $k$ de la fracción (en base diez) $\dfrac{7}{51}$ es $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

For some positive integer $k,$ the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\dfrac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.$ What is $k?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: D

Conceptos:base numérica decimal periódico cuadrática

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

El bloque periódico da $0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.$

Multiplicando en cruz, $51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),$ así que $7k^2 - 102k - 160 = 0.$

La fórmula cuadrática da $\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The repeating block gives $0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.$

Cross-multiplying, $51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),$ so $7k^2 - 102k - 160 = 0.$

The quadratic formula gives $\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

12.

Los números reales positivos $x \ne 1$ y $y \ne 1$ satisfacen $\log_2 x = \log_y 16$ y $xy = 64.$ ¿Cuánto vale $\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2$ ?

Positive real numbers $x \ne 1$ and $y \ne 1$ satisfy $\log_2 x = \log_y 16$ and $xy = 64.$ What is $\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2?$

$\dfrac{25}{2}$

$20$

$\dfrac{45}{2}$

$25$

$32$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

Sea $a = \log_2 x$ y $b = \log_2 y.$ Entonces $\log_y 16 = \dfrac{4}{b},$ así que $a = \dfrac{4}{b},$ lo que da $ab = 4.$

Como $xy = 64,$ tenemos $a + b = 6.$

Por lo tanto $\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a = \log_2 x$ and $b = \log_2 y.$ Then $\log_y 16 = \dfrac{4}{b},$ so $a = \dfrac{4}{b},$ giving $ab = 4.$

Since $xy = 64,$ we have $a + b = 6.$

Therefore $\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

13.

¿De cuántas maneras se puede pintar cada uno de los enteros $2, 3, \ldots, 9$ de rojo, verde o azul de modo que cada número tenga un color distinto al de cada uno de sus divisores propios?

How many ways are there to paint each of the integers $2, 3, \ldots, 9$ either red, green, or blue so that each number has a different color from each of its proper divisors?

$144$

$216$

$256$

$384$

$432$

Respuesta: E

Conceptos:teoría de grafos divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Los primos $5$ y $7$ no tienen divisores propios aquí, dando $3$ opciones cada uno.

A lo largo de la cadena $2 \to 4 \to 8,$ hay $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ coloraciones. El número $9$ debe diferir de $3,$ dando $2$ opciones una vez fijado $3$ .

El número $6$ debe diferir tanto de $2$ como de $3.$ Sumando sobre los colores de $2$ y $3$ (iguales en $3$ pares, distintos en $6$ pares), el factor combinado para $4, 8, 9, 6$ suma $2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.$

Multiplicando por las $9$ maneras para $5$ y $7$ se obtiene $48 \cdot 9 = 432.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The primes $5$ and $7$ have no proper divisors here, giving $3$ choices each.

Along the chain $2 \to 4 \to 8,$ there are $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ colorings. Number $9$ must differ from $3,$ giving $2$ choices once $3$ is set.

Number $6$ must differ from both $2$ and $3.$ Summing over the colors of $2$ and $3$ (equal in $3$ pairs, unequal in $6$ pairs), the combined factor for $4, 8, 9, 6$ totals $2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.$

Multiplying by the $9$ ways for $5$ and $7$ gives $48 \cdot 9 = 432.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Para cierto número complejo $c,$ el polinomio

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}$

tiene exactamente $4$ raíces distintas. ¿Cuánto vale $|c|$ ?

For a certain complex number $c,$ the polynomial

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}$

has exactly $4$ distinct roots. What is $|c|?$

$2$

$\sqrt{6}$

$2\sqrt{2}$

$3$

$\sqrt{10}$

Respuesta: E

Conceptos:número complejo polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Los factores $x^2 - 2x + 2$ y $x^2 - 4x + 8$ tienen raíces $1 \pm i$ y $2 \pm 2i,$ que son $4$ valores distintos.

Para que $P$ tenga exactamente $4$ raíces distintas, las raíces de $x^2 - cx + 4$ deben estar entre estas. Su producto debe ser igual a $4,$ y el único par así es una raíz de cada factor, por ejemplo $(1 + i)(2 - 2i) = 4.$

Entonces $c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,$ así que $|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factors $x^2 - 2x + 2$ and $x^2 - 4x + 8$ have roots $1 \pm i$ and $2 \pm 2i,$ which are $4$ distinct values.

For $P$ to have exactly $4$ distinct roots, the roots of $x^2 - cx + 4$ must lie among these. Their product must equal $4,$ and the only such pair is one root from each factor, for example $(1 + i)(2 - 2i) = 4.$

Then $c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,$ so $|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is E.

15.

Los números reales positivos $a$ y $b$ tienen la propiedad de que

$\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}$

y los cuatro términos de la izquierda son enteros positivos, donde $\log$ denota el logaritmo en base $10$ . ¿Cuánto vale $ab$ ?

Positive real numbers $a$ and $b$ have the property that

$\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}$

and all four terms on the left are positive integers, where $\log$ denotes the base $10$ logarithm. What is $ab?$

$10^{52}$

$10^{100}$

$10^{144}$

$10^{164}$

$10^{200}$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo Ecuación diofántica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Sea $\sqrt{\log a} = p$ y $\sqrt{\log b} = q,$ así que $\log a = p^2$ y $\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.$ Para que esto sea un entero, $p$ es par; igualmente $q.$

Escribiendo $p = 2m,$ $q = 2n,$ la ecuación $p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100$ se convierte en $m(m+1) + n(n+1) = 50.$

La única solución es $\{m, n\} = \{4, 5\},$ dando $\log(ab) = p^2 + q^2$ $= 4(16 + 25) = 164.$

Por lo tanto $ab = 10^{164}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\sqrt{\log a} = p$ and $\sqrt{\log b} = q,$ so $\log a = p^2$ and $\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.$ For this to be an integer, $p$ is even; likewise $q.$

Writing $p = 2m,$ $q = 2n,$ the equation $p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100$ becomes $m(m+1) + n(n+1) = 50.$

The only solution is $\{m, n\} = \{4, 5\},$ giving $\log(ab) = p^2 + q^2$ $= 4(16 + 25) = 164.$

Therefore $ab = 10^{164}.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Los números $1, 2, \ldots, 9$ se colocan al azar en las $9$ casillas de una cuadrícula $3 \times 3$ . Cada casilla recibe un número, y cada número se usa una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en cada fila y en cada columna sea impar?

The numbers $1, 2, \ldots, 9$ are randomly placed into the $9$ squares of a $3 \times 3$ grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{5}{63}$

$\dfrac{2}{21}$

$\dfrac{1}{7}$

Respuesta: B

Conceptos:paridad probabilidad básica permutaciones

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Hay $5$ números impares y $4$ pares. Cada fila y columna debe contener un número impar de entradas impares.

La única forma de colocar $5$ entradas impares con cada fila y columna impar es llenar una fila completa y una columna completa (una cruz de $3 + 3 - 1 = 5$ casillas). Hay $3 \cdot 3 = 9$ de tales patrones.

Cada patrón admite $5!$ colocaciones de los números impares y $4!$ de los pares, así que la probabilidad es $\dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $5$ odd and $4$ even numbers. Each row and column must contain an odd number of odd entries.

The only way to place $5$ odd entries with every row and column odd is to fill one complete row and one complete column (a plus shape of $3 + 3 - 1 = 5$ cells). There are $3 \cdot 3 = 9$ such patterns.

Each pattern admits $5!$ placements of the odd numbers and $4!$ of the even numbers, so the probability is $\dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Sea $s_k$ la suma de las $k$ -ésimas potencias de las raíces del polinomio $x^3 - 5x^2 + 8x - 13.$ En particular, $s_0 = 3,$ $s_1 = 5,$ y $s_2 = 9.$ Sean $a, b,$ y $c$ números reales tales que $s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}$ para $k = 2, 3, \ldots.$ ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Let $s_k$ denote the sum of the $k$ th powers of the roots of the polynomial $x^3 - 5x^2 + 8x - 13.$ In particular, $s_0 = 3,$ $s_1 = 5,$ and $s_2 = 9.$ Let $a, b,$ and $c$ be real numbers such that $s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}$ for $k = 2, 3, \ldots.$ What is $a + b + c?$

$-6$

$0$

$6$

$10$

$26$

Respuesta: D

Conceptos:Sumas de Newton polinomio recursión

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

Cada raíz $r$ satisface $r^3 = 5r^2 - 8r + 13,$ así que $r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.$

Sumando sobre las tres raíces se obtiene $s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},$ así que $a = 5,$ $b = -8,$ $c = 13.$

Por lo tanto $a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every root $r$ satisfies $r^3 = 5r^2 - 8r + 13,$ so $r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.$

Summing over the three roots gives $s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},$ so $a = 5,$ $b = -8,$ $c = 13.$

Therefore $a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Una esfera con centro $O$ tiene radio $6.$ Un triángulo con lados de longitud $15, 15,$ y $24$ está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre $O$ y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15, 15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:esfera circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

La esfera interseca el plano del triángulo en un círculo de radio $\sqrt{36 - d^2},$ donde $d$ es la distancia de $O$ al plano. Como cada lado es tangente a la esfera, este círculo es el incírculo del triángulo.

El triángulo tiene área $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ y semiperímetro $27,$ así que su inradio es $\dfrac{108}{27} = 4.$

Así $\sqrt{36 - d^2} = 4,$ lo que da $d^2 = 20$ y $d = 2\sqrt{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sphere intersects the triangle's plane in a circle of radius $\sqrt{36 - d^2},$ where $d$ is the distance from $O$ to the plane. Since each side is tangent to the sphere, this circle is the triangle's incircle.

The triangle has area $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ and semiperimeter $27,$ so its inradius is $\dfrac{108}{27} = 4.$

Thus $\sqrt{36 - d^2} = 4,$ giving $d^2 = 20$ and $d = 2\sqrt{5}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

En $\triangle ABC$ con longitudes de lados enteras,

$\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$

¿Cuál es el menor perímetro posible para $\triangle ABC$ ?

In $\triangle ABC$ with integer side lengths,

$\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$

What is the least possible perimeter for $\triangle ABC?$

$9$

$12$

$23$

$27$

$44$

Respuesta: A

Conceptos:ley de los senos razón y proporción desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2000

Solución:

Cada seno es $\sqrt{1 - \cos^2}:$ $\sin A = \dfrac{3\sqrt{15}}{16},$ $\sin B = \dfrac{2\sqrt{15}}{16},$ $\sin C = \dfrac{4\sqrt{15}}{16}.$

Por la ley de los senos, los lados están en razón $3 : 2 : 4.$ Los menores lados enteros son $3, 2, 4,$ que satisfacen la desigualdad triangular.

El menor perímetro es $3 + 2 + 4 = 9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each sine is $\sqrt{1 - \cos^2}:$ $\sin A = \dfrac{3\sqrt{15}}{16},$ $\sin B = \dfrac{2\sqrt{15}}{16},$ $\sin C = \dfrac{4\sqrt{15}}{16}.$

By the Law of Sines the sides are in ratio $3 : 2 : 4.$ The smallest integer sides are $3, 2, 4,$ which satisfy the triangle inequality.

The least perimeter is $3 + 2 + 4 = 9.$

Thus, the correct answer is A.

20.

Se eligen números reales entre $0$ y $1,$ inclusive, de la siguiente manera. Se lanza una moneda justa. Si sale cara, se lanza de nuevo y el número elegido es $0$ si el segundo lanzamiento es cara y $1$ si el segundo lanzamiento es cruz. Por otro lado, si el primer lanzamiento es cruz, entonces el número se elige uniformemente al azar del intervalo cerrado $[0, 1].$ Dos números aleatorios $x$ y $y$ se eligen independientemente de esta manera. ¿Cuál es la probabilidad de que $|x - y| \gt \dfrac{1}{2}$ ?

Real numbers between $0$ and $1,$ inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is $0$ if the second flip is heads and $1$ if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval $[0, 1].$ Two random numbers $x$ and $y$ are chosen independently in this manner. What is the probability that $|x - y| \gt \dfrac{1}{2}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{2}{3}$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Cada variable es igual a $0$ con probabilidad $\tfrac14,$ es igual a $1$ con probabilidad $\tfrac14,$ y es uniforme en $[0, 1]$ con probabilidad $\tfrac12.$

Considerando las nueve combinaciones de tipos: los pares $(0, 1)$ y $(1, 0)$ contribuyen cada uno $\tfrac{1}{16}.$ Cada uno de los cuatro casos de punto contra uniforme contribuye $\tfrac{1}{16}.$ El caso de uniforme contra uniforme contribuye $\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.$

El total es $\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each variable equals $0$ with probability $\tfrac14,$ equals $1$ with probability $\tfrac14,$ and is uniform on $[0, 1]$ with probability $\tfrac12.$

Considering the nine combinations of types: the pairs $(0, 1)$ and $(1, 0)$ each contribute $\tfrac{1}{16}.$ Each of the four point-versus-uniform cases contributes $\tfrac{1}{16}.$ The uniform-versus-uniform case contributes $\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.$

The total is $\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Sea $z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.$ ¿Cuánto vale

$\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}$

Let $z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.$ What is

$\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}$

$18$

$72 - 36\sqrt{2}$

$36$

$72$

$72 + 36\sqrt{2}$

Respuesta: C

Conceptos:raíces de la unidad número complejo aritmética modular

Nivel de dificultad: 2160

Solución:

Como $z = e^{i\pi/4},$ tenemos $z^{k^2} = e^{i\pi k^2/4},$ que depende solo de $k^2 \bmod 8.$

Para $k = 1$ hasta $12,$ el residuo $k^2 \bmod 8$ es $1$ (dando $z$ ) seis veces, $4$ (dando $-1$ ) tres veces, y $0$ (dando $1$ ) tres veces. Así que la primera suma es $6z - 3 + 3 = 6z.$

La segunda suma es análogamente $\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.$ Su producto es $6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $z = e^{i\pi/4},$ we have $z^{k^2} = e^{i\pi k^2/4},$ depending only on $k^2 \bmod 8.$

For $k = 1$ to $12,$ the residue $k^2 \bmod 8$ is $1$ (giving $z$ ) six times, $4$ (giving $-1$ ) three times, and $0$ (giving $1$ ) three times. So the first sum is $6z - 3 + 3 = 6z.$

The second sum is likewise $\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.$ Their product is $6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Los círculos $\omega$ y $\gamma,$ ambos con centro en $O,$ tienen radios $20$ y $17,$ respectivamente. El triángulo equilátero $ABC,$ cuyo interior está dentro de $\omega$ pero fuera de $\gamma,$ tiene el vértice $A$ sobre $\omega,$ y la recta que contiene el lado $BC$ es tangente a $\gamma.$ Los segmentos $AO$ y $BC$ se cortan en $P,$ y $\dfrac{BP}{CP} = 3.$ Entonces $AB$ puede escribirse en la forma $\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}$ para enteros positivos $m, n, p, q$ con $\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.$ ¿Cuánto vale $m + n + p + q$ ?

Circles $\omega$ and $\gamma,$ both centered at $O,$ have radii $20$ and $17,$ respectively. Equilateral triangle $ABC,$ whose interior lies in the interior of $\omega$ but in the exterior of $\gamma,$ has vertex $A$ on $\omega,$ and the line containing side $BC$ is tangent to $\gamma.$ Segments $AO$ and $BC$ intersect at $P,$ and $\dfrac{BP}{CP} = 3.$ Then $AB$ can be written in the form $\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}$ for positive integers $m, n, p, q$ with $\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.$ What is $m + n + p + q?$

$42$

$86$

$92$

$114$

$130$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero recta tangente

Nivel de dificultad: 2310

Solución:

Sea $s = AB.$ Como $\dfrac{BP}{CP} = 3,$ tenemos $BP = \dfrac{3s}{4}$ y $CP = \dfrac{s}{4}.$ Pon $P$ en el origen con $BC$ sobre el eje $x$ , $B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),$ $C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),$ y el ápice $A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).$

Los puntos $P, O, A$ son colineales, así que $O = t \cdot A$ para algún escalar $t.$ Dos condiciones lo determinan: $O$ está a distancia $17$ de la recta $BC,$ lo que da $|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,$ y $A$ está sobre $\omega,$ lo que da $|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20$ ya que $|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.$

Resolviendo, $|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$ y $|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.$ La configuración válida da $AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.$

Entonces $m + n + p + q = 80 + 13$ $+ 34 + 3 = 130.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $s = AB.$ Since $\dfrac{BP}{CP} = 3,$ we have $BP = \dfrac{3s}{4}$ and $CP = \dfrac{s}{4}.$ Put $P$ at the origin with $BC$ on the $x$ -axis, $B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),$ $C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),$ and apex $A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).$

Points $P, O, A$ are collinear, so $O = t \cdot A$ for some scalar $t.$ Two conditions pin it down: $O$ is at distance $17$ from line $BC,$ giving $|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,$ and $A$ is on $\omega,$ giving $|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20$ since $|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.$

Solving, $|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$ and $|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.$ The valid configuration gives $AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.$

Then $m + n + p + q = 80 + 13$ $+ 34 + 3 = 130.$

Thus, the correct answer is E.

23.

Define las operaciones binarias $\diamondsuit$ y $\heartsuit$ por

$a \diamondsuit b = a^{\log_7(b)}$ y $a \heartsuit b = a^{\frac{1}{\log_7(b)}}$

para todos los números reales $a$ y $b$ para los que estas expresiones están definidas. La sucesión $(a_n)$ se define recursivamente por $a_3 = 3 \heartsuit 2$ y $a_n = (n \heartsuit (n - 1)) \diamondsuit a_{n-1}$ para todos los enteros $n \ge 4.$ Al entero más cercano, ¿cuánto vale $\log_7(a_{2019})$ ?

Define binary operations $\diamondsuit$ and $\heartsuit$ by

$a \diamondsuit b = a^{\log_7(b)}$ and $a \heartsuit b = a^{\frac{1}{\log_7(b)}}$

for all real numbers $a$ and $b$ for which these expressions are defined. The sequence $(a_n)$ is defined recursively by $a_3 = 3 \heartsuit 2$ and $a_n = (n \heartsuit (n - 1)) \diamondsuit a_{n-1}$ for all integers $n \ge 4.$ To the nearest integer, what is $\log_7(a_{2019})?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 2240

Solución:

Sea $L(x) = \log_7 x.$ Entonces $L(a \diamondsuit b) = L(a)L(b)$ y $L(a \heartsuit b) = \dfrac{L(a)}{L(b)}.$

Así $L(a_3) = \dfrac{L(3)}{L(2)},$ y $L(a_n) = \dfrac{L(n)}{L(n-1)} \cdot L(a_{n-1}).$ El producto se telescopa: $\begin{aligned} L(a_N) &= \dfrac{L(3)}{L(2)} \cdot \dfrac{L(N)}{L(3)} \\ &= \dfrac{L(N)}{L(2)}. \end{aligned}$

Por lo tanto $L(a_{2019}) = \dfrac{\log_7 2019}{\log_7 2}$ $= \log_2 2019 \approx 10.98,$ que se redondea a $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $L(x) = \log_7 x.$ Then $L(a \diamondsuit b) = L(a)L(b)$ and $L(a \heartsuit b) = \dfrac{L(a)}{L(b)}.$

So $L(a_3) = \dfrac{L(3)}{L(2)},$ and $L(a_n) = \dfrac{L(n)}{L(n-1)} \cdot L(a_{n-1}).$ The product telescopes: $\begin{aligned} L(a_N) &= \dfrac{L(3)}{L(2)} \cdot \dfrac{L(N)}{L(3)} \\ &= \dfrac{L(N)}{L(2)}. \end{aligned}$

Hence $L(a_{2019}) = \dfrac{\log_7 2019}{\log_7 2}$ $= \log_2 2019 \approx 10.98,$ which rounds to $11.$

Thus, the correct answer is D.

24.

¿Para cuántos enteros $n$ entre $1$ y $50,$ inclusive, es $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n}$ un entero? (Recuerda que $0! = 1.$ )

For how many integers $n$ between $1$ and $50,$ inclusive, is $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n}$ an integer? (Recall that $0! = 1.$ )

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Respuesta: D

Conceptos:Fórmula de Legendre primo dígitos

Nivel de dificultad: 2420

Solución:

Para un primo $p,$ la condición de ser un entero se reduce (mediante la fórmula de Legendre) a $n \cdot s_p(n) \ge s_p(n^2 - 1) + 1,$ donde $s_p$ es la suma de dígitos en base $p$ . Esto solo puede fallar cuando $s_p(n) = 1,$ es decir, cuando $n = p^a$ es una potencia de primo.

Para $n = p^a,$ el requisito se convierte en $p^a - 1 \ge 2a(p - 1).$ Revisando las potencias de primo hasta $50,$ esto falla exactamente para cada primo $n$ y para $n = 4.$

Hay $15$ primos como máximo $50,$ más $n = 4,$ dando $16$ fracasos. Por lo tanto $50 - 16 = 34$ valores de $n$ funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a prime $p,$ the condition to be an integer reduces (via Legendre's formula) to $n \cdot s_p(n) \ge s_p(n^2 - 1) + 1,$ where $s_p$ is the base- $p$ digit sum. This can fail only when $s_p(n) = 1,$ i.e. $n = p^a$ is a prime power.

For $n = p^a,$ the requirement becomes $p^a - 1 \ge 2a(p - 1).$ Checking prime powers up to $50,$ this fails exactly for every prime $n$ and for $n = 4.$

There are $15$ primes at most $50,$ plus $n = 4,$ giving $16$ failures. Hence $50 - 16 = 34$ values of $n$ work.

Thus, the correct answer is D.

25.

Sea $\triangle A_0 B_0 C_0$ un triángulo cuyas medidas angulares son exactamente $59.999^\circ,$ $60^\circ,$ y $60.001^\circ.$ Para cada entero positivo $n$ define $A_n$ como el pie de la altura desde $A_{n-1}$ a la recta $B_{n-1}C_{n-1}.$ Del mismo modo, define $B_n$ como el pie de la altura desde $B_{n-1}$ a la recta $A_{n-1}C_{n-1},$ y $C_n$ como el pie de la altura desde $C_{n-1}$ a la recta $A_{n-1}B_{n-1}.$ ¿Cuál es el menor entero positivo $n$ para el cual $\triangle A_n B_n C_n$ es obtuso?

Let $\triangle A_0 B_0 C_0$ be a triangle whose angle measures are exactly $59.999^\circ,$ $60^\circ,$ and $60.001^\circ.$ For each positive integer $n$ define $A_n$ to be the foot of the altitude from $A_{n-1}$ to line $B_{n-1}C_{n-1}.$ Likewise, define $B_n$ to be the foot of the altitude from $B_{n-1}$ to line $A_{n-1}C_{n-1},$ and $C_n$ to be the foot of the altitude from $C_{n-1}$ to line $A_{n-1}B_{n-1}.$ What is the least positive integer $n$ for which $\triangle A_n B_n C_n$ is obtuse?

$10$

$11$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: E

Conceptos:altura recursión persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Para un triángulo acutángulo, el triángulo órtico (pies de las alturas) tiene ángulos $180^\circ - 2\alpha$ para cada ángulo original $\alpha.$

Escribiendo un ángulo como $60^\circ + x,$ el nuevo ángulo es $60^\circ - 2x,$ así que cada desviación respecto a $60^\circ$ se multiplica por $-2.$ Las desviaciones iniciales son $\pm 0.001^\circ.$

Después de $n$ pasos, una desviación tiene magnitud $0.001 \cdot 2^n$ grados. El triángulo se vuelve obtuso por primera vez cuando esto supera $30^\circ,$ es decir $2^n \gt 30000.$ Como $2^{14} = 16384$ y $2^{15} = 32768,$ el menor tal $n$ es $15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For an acute triangle, the orthic triangle (feet of the altitudes) has angles $180^\circ - 2\alpha$ for each original angle $\alpha.$

Writing an angle as $60^\circ + x,$ the new angle is $60^\circ - 2x,$ so each deviation from $60^\circ$ is multiplied by $-2.$ The initial deviations are $\pm 0.001^\circ.$

After $n$ steps a deviation has magnitude $0.001 \cdot 2^n$ degrees. The triangle first becomes obtuse when this exceeds $30^\circ,$ i.e. $2^n \gt 30000.$ Since $2^{14} = 16384$ and $2^{15} = 32768,$ the least such $n$ is $15.$

Thus, the correct answer is E.

Problemas del 2019 AMC 12A

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución: