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2019 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2019 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Define las operaciones binarias ♢\diamondsuit y ♡\heartsuit por
a♢b=alog⁡7(b) a \diamondsuit b = a^{\log_7(b)} y a♡b=a1log⁡7(b) a \heartsuit b = a^{\frac{1}{\log_7(b)}}
para todos los números reales aa y bb para los que estas expresiones están definidas. La sucesión (an)(a_n) se define recursivamente por a3=3♡2a_3 = 3 \heartsuit 2 y an=(n♡(n−1))♢an−1 a_n = (n \heartsuit (n - 1)) \diamondsuit a_{n-1} para todos los enteros n≥4.n \ge 4. Al entero más cercano, ¿cuánto vale log⁡7(a2019)\log_7(a_{2019})?
Define binary operations ♢\diamondsuit and ♡\heartsuit by
a♢b=alog⁡7(b) a \diamondsuit b = a^{\log_7(b)} and a♡b=a1log⁡7(b) a \heartsuit b = a^{\frac{1}{\log_7(b)}}
for all real numbers aa and bb for which these expressions are defined. The sequence (an)(a_n) is defined recursively by a3=3♡2a_3 = 3 \heartsuit 2 and an=(n♡(n−1))♢an−1 a_n = (n \heartsuit (n - 1)) \diamondsuit a_{n-1} for all integers n≥4.n \ge 4. To the nearest integer, what is log⁡7(a2019)?\log_7(a_{2019})?
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Respuesta: D
Conceptos:operación personalizadalogaritmotelescópica
Nivel de dificultad: 2240
Pista pequeña:
Aplica log⁡7:\log_7: entonces log⁡7(a♢b)=log⁡7a⋅log⁡7b\log_7(a \diamondsuit b) = \log_7 a \cdot \log_7 b
Apply log⁡7:\log_7: then log⁡7(a♢b)=log⁡7a⋅log⁡7b\log_7(a \diamondsuit b) = \log_7 a \cdot \log_7 b
Pista grande:
Escribiendo L(x)=log⁡7x,L(x) = \log_7 x, la recurrencia se convierte en L(an)=L(an−1)⋅L(n)L(n−1)L(a_n) = L(a_{n-1}) \cdot \dfrac{L(n)}{L(n-1)}
Writing L(x)=log⁡7x,L(x) = \log_7 x, the recurrence becomes L(an)=L(an−1)⋅L(n)L(n−1)L(a_n) = L(a_{n-1}) \cdot \dfrac{L(n)}{L(n-1)}
Solución:
Sea L(x)=log⁡7x.L(x) = \log_7 x. Entonces L(a♢b)=L(a)L(b)L(a \diamondsuit b) = L(a)L(b) y L(a♡b)=L(a)L(b).L(a \heartsuit b) = \dfrac{L(a)}{L(b)}.
Así L(a3)=L(3)L(2),L(a_3) = \dfrac{L(3)}{L(2)}, y L(an)=L(n)L(n−1)⋅L(an−1).L(a_n) = \dfrac{L(n)}{L(n-1)} \cdot L(a_{n-1}). El producto se telescopa: L(aN)=L(3)L(2)⋅L(N)L(3)=L(N)L(2). \begin{aligned} L(a_N) &= \dfrac{L(3)}{L(2)} \cdot \dfrac{L(N)}{L(3)} \\ &= \dfrac{L(N)}{L(2)}. \end{aligned}
Por lo tanto L(a2019)=log⁡72019log⁡72L(a_{2019}) = \dfrac{\log_7 2019}{\log_7 2} =log⁡22019≈10.98,= \log_2 2019 \approx 10.98, que se redondea a 11.11.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let L(x)=log⁡7x.L(x) = \log_7 x. Then L(a♢b)=L(a)L(b)L(a \diamondsuit b) = L(a)L(b) and L(a♡b)=L(a)L(b).L(a \heartsuit b) = \dfrac{L(a)}{L(b)}.
So L(a3)=L(3)L(2),L(a_3) = \dfrac{L(3)}{L(2)}, and L(an)=L(n)L(n−1)⋅L(an−1).L(a_n) = \dfrac{L(n)}{L(n-1)} \cdot L(a_{n-1}). The product telescopes: L(aN)=L(3)L(2)⋅L(N)L(3)=L(N)L(2). \begin{aligned} L(a_N) &= \dfrac{L(3)}{L(2)} \cdot \dfrac{L(N)}{L(3)} \\ &= \dfrac{L(N)}{L(2)}. \end{aligned}
Hence L(a2019)=log⁡72019log⁡72L(a_{2019}) = \dfrac{\log_7 2019}{\log_7 2} =log⁡22019≈10.98,= \log_2 2019 \approx 10.98, which rounds to 11.11.
Thus, the correct answer is D.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

El Problema 23 en otros años

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