Question

Jason lanza tres dados justos estándar de seis caras. Luego mira los resultados y elige un subconjunto de los dados (posiblemente vacío, posiblemente los tres dados) para relanzar. Después de relanzar, gana si y solo si la suma de los números que quedan hacia arriba en los tres dados es exactamente $7.$ Jason siempre juega para optimizar sus posibilidades de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que elija relanzar exactamente dos de los dados?

Jason rolls three fair standard six-sided dice. Then he looks at the rolls and chooses a subset of the dice (possibly empty, possibly all three dice) to reroll. After rerolling, he wins if and only if the sum of the numbers face up on the three dice is exactly $7.$ Jason always plays to optimize his chances of winning. What is the probability that he chooses to reroll exactly two of the dice?

$\dfrac{7}{36}$

$\dfrac{5}{24}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{17}{72}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución:

Al relanzar un dado, conservando dos dados que suman $s,$ se gana con probabilidad $\tfrac16$ cuando $s \le 6$ y $0$ en caso contrario. Al relanzar dos dados, conservando un dado de valor $v,$ se gana con probabilidad igual al número de maneras en que dos dados suman $7 - v,$ dividido entre $36;$ esto es máximo cuando $v$ es el más pequeño. Al relanzar los tres se gana con probabilidad $\tfrac{15}{216}.$

Relanzar exactamente dos dados es estrictamente lo mejor precisamente cuando los dos dados más pequeños suman al menos $7$ (así que relanzar uno no puede alcanzar $7$ ) mientras que el dado más pequeño es $1, 2,$ o $3$ (así que conservarlo supera al relanzar los tres).

Contando los resultados ordenados con esta propiedad se obtienen $42$ de $216,$ una probabilidad de $\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Rerolling one die, keeping two dice that sum to $s,$ wins with probability $\tfrac16$ when $s \le 6$ and $0$ otherwise. Rerolling two dice, keeping a die of value $v,$ wins with probability equal to the number of ways two dice sum to $7 - v,$ over $36;$ this is largest when $v$ is smallest. Rerolling all three wins with probability $\tfrac{15}{216}.$

Rerolling exactly two dice is strictly best precisely when the two smallest dice sum to at least $7$ (so rerolling one cannot reach $7$ ) while the smallest die is $1, 2,$ or $3$ (so keeping it beats rerolling all three).

Counting the ordered rolls with this property gives $42$ out of $216,$ a probability of $\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}.$

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años