Question

La rana Frieda comienza una secuencia de saltos en una cuadrícula de $3\times 3$ casillas, moviéndose una casilla en cada salto y eligiendo al azar la dirección de cada salto: arriba, abajo, izquierda o derecha. No salta en diagonal. Cuando la dirección de un salto llevaría a Frieda fuera de la cuadrícula, ella "da la vuelta" y salta al borde opuesto. Por ejemplo, si Frieda comienza en la casilla central y hace dos saltos "hacia arriba", el primer salto la coloca en la casilla central de la fila superior, y el segundo salto hace que salte al borde opuesto, cayendo en la casilla central de la fila inferior. Supón que Frieda parte de la casilla central, hace como máximo cuatro saltos al azar, y deja de saltar si cae en una casilla de esquina. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a una casilla de esquina en uno de los cuatro saltos?

Frieda the frog begins a sequence of hops on a $3\times 3$ grid of squares, moving one square on each hop and choosing at random the direction of each hop: up, down, left, or right. She does not hop diagonally. When the direction of a hop would take Frieda off the grid, she "wraps around" and jumps to the opposite edge. For example, if Frieda begins in the center square and makes two hops "up," the first hop places her in the top row middle square, and the second hop causes her to jump to the opposite edge, landing in the bottom row middle square. Suppose Frieda starts from the center square, makes at most four hops at random, and stops hopping if she lands on a corner square. What is the probability that she reaches a corner square on one of the four hops?

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{25}{32}$

$\dfrac{13}{16}$

Solución:

Clasifica las casillas como centro $C$ , borde-medio $E$ , o esquina (absorbente). Desde $C$ , cada salto cae en una casilla $E$ . Desde una casilla $E$ , dos de los cuatro vecinos son esquinas, uno es el centro, y uno es otra casilla $E$ , así que $P(\text{corner}) = \tfrac12$ , $P(\text{center}) = \tfrac14$ , $P(E) = \tfrac14$ .

Sea $a_n$ la probabilidad de llegar a una esquina en $n$ saltos partiendo de una casilla de borde, y $c_n = a_{n-1}$ la probabilidad partiendo del centro (el primer salto siempre va a un borde). Entonces $a_1 = \tfrac12$ y $a_n = \tfrac12 + \tfrac14 c_{n-1} + \tfrac14 a_{n-1}$ . Calculando: $a_2 = \tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac12 = \tfrac58$ , y $a_3 = \tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac58 = \tfrac{25}{32}.$

Partiendo del centro con cuatro saltos disponibles, la probabilidad es igual a $a_3 = \tfrac{25}{32}$ (el primer salto llega a un borde, dejando tres saltos).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Classify squares as center $C,$ edge-middle $E,$ or corner (absorbing). From $C,$ every hop lands on an $E$ square. From an $E$ square, two of the four neighbors are corners, one is the center, and one is another $E$ square, so $P(\text{corner}) = \tfrac12,$ $P(\text{center}) = \tfrac14,$ $P(E) = \tfrac14.$

Let $a_n$ be the probability of reaching a corner within $n$ hops starting from an edge square, and $c_n = a_{n-1}$ the probability starting from the center (the first hop always goes to an edge). Then $a_1 = \tfrac12$ and $a_n = \tfrac12 + \tfrac14 c_{n-1} + \tfrac14 a_{n-1}.$ Computing: $a_2 = \tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac12 = \tfrac58,$ and $a_3 = \tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac58 = \tfrac{25}{32}.$

Starting from the center with four hops available, the probability equals $a_3 = \tfrac{25}{32}$ (the first hop reaches an edge, leaving three hops).

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años