Soluciones del 2021 AMC 12A Spring

1.

¿Cuál es el valor de $2^{1+2+3} - \left(2^1 + 2^2 + 2^3\right)?$

What is the value of $2^{1+2+3} - \left(2^1 + 2^2 + 2^3\right)?$

$0$

$50$

$52$

$54$

$57$

Conceptos:exponente orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Primero suma los exponentes: $1+2+3$ .

First add the exponents: $1+2+3$

Pista grande:

Evalúa $2^6$ y $2^1+2^2+2^3$ por separado, luego resta.

Evaluate $2^6$ and $2^1+2^2+2^3$ separately, then subtract

Solución:

El exponente del primer término es $1+2+3 = 6,$ así que el primer término es $2^6 = 64.$ La suma entre paréntesis es $2 + 4 + 8 = 14.$ Por lo tanto, el valor es $64 - 14 = 50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The exponent in the first term is $1+2+3 = 6,$ so the first term is $2^6 = 64.$ The parenthesized sum is $2 + 4 + 8 = 14.$ Therefore the value is $64 - 14 = 50.$

Thus, the correct answer is B.

2.

¿Bajo qué condiciones es cierto que $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ , donde $a$ y $b$ son números reales?

Under what conditions is $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ true, where $a$ and $b$ are real numbers?

Nunca es cierto.

It is never true.

Es cierto si y solo si $ab = 0.$

It is true if and only if $ab = 0.$

Es cierto si y solo si $a + b \ge 0.$

It is true if and only if $a + b \ge 0.$

Es cierto si y solo si $ab = 0$ y $a + b \ge 0.$

It is true if and only if $ab = 0$ and $a + b \ge 0.$

Siempre es cierto.

It is always true.

Conceptos:radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

El lado izquierdo es una raíz cuadrada, así que nunca puede ser negativo; esto obliga a que $a + b \ge 0$ .

The left side is a square root, so it can never be negative; this forces $a + b \ge 0$

Pista grande:

Al elevar al cuadrado se obtiene $a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2,$ así que $2ab = 0$ .

Squaring gives $a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2,$ so $2ab = 0$

Solución:

Como $\sqrt{a^2+b^2}$ nunca es negativo, la igualdad exige $a + b \ge 0.$ Al elevar ambos lados al cuadrado se obtiene $a^2 + b^2 = (a+b)^2$ $= a^2 + 2ab + b^2,$ lo que se simplifica a $2ab = 0,$ es decir, $ab = 0.$

Recíprocamente, si $ab = 0$ , entonces $a^2 + b^2 = (a+b)^2,$ y si además $a + b \ge 0$ , entonces $\sqrt{a^2+b^2} = |a+b| = a+b.$ Por tanto, las dos condiciones juntas son exactamente las necesarias.

Así, la respuesta correcta es D.

Because $\sqrt{a^2+b^2}$ is never negative, equality requires $a + b \ge 0.$ Squaring both sides gives $a^2 + b^2 = (a+b)^2$ $= a^2 + 2ab + b^2,$ which simplifies to $2ab = 0,$ i.e. $ab = 0.$

Conversely, if $ab = 0$ then $a^2 + b^2 = (a+b)^2,$ and if additionally $a + b \ge 0$ then $\sqrt{a^2+b^2} = |a+b| = a+b.$ So both conditions together are exactly what is needed.

Thus, the correct answer is D.

3.

La suma de dos números naturales es $17{,}402.$ Uno de los dos números es divisible entre $10.$ Si se borra el dígito de las unidades de ese número, se obtiene el otro número. ¿Cuál es la diferencia de estos dos números?

The sum of two natural numbers is $17{,}402.$ One of the two numbers is divisible by $10.$ If the units digit of that number is erased, the other number is obtained. What is the difference of these two numbers?

$10{,}272$

$11{,}700$

$13{,}362$

$14{,}238$

$15{,}426$

Conceptos:valor posicional ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Borrar el dígito de las unidades $0$ de un múltiplo de $10$ equivale a dividirlo entre $10$ .

Erasing the units digit $0$ of a multiple of $10$ divides it by $10$

Pista grande:

Si el número menor es $x,$ el mayor es $10x,$ así que $11x = 17{,}402$ .

If the smaller number is $x,$ the larger is $10x,$ so $11x = 17{,}402$

Solución:

El número mayor termina en $0,$ y borrar ese dígito lo divide entre $10$ para dar el número menor. Así que el número mayor es $10$ veces el menor. Escribiendo el número menor como $x,$ la suma es $x + 10x = 11x = 17{,}402,$ lo que da $x = 1{,}582.$

Los dos números son $1{,}582$ y $15{,}820,$ cuya diferencia es $15{,}820 - 1{,}582 = 14{,}238.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The larger number ends in $0,$ and erasing that digit divides it by $10$ to give the smaller number. So the larger number is $10$ times the smaller. Writing the smaller number as $x,$ the sum is $x + 10x = 11x = 17{,}402,$ giving $x = 1{,}582.$

The two numbers are $1{,}582$ and $15{,}820,$ whose difference is $15{,}820 - 1{,}582 = 14{,}238.$

Thus, the correct answer is D.

4.

Tom tiene una colección de $13$ serpientes, de las cuales $4$ son moradas y $5$ son felices. Él observa que

• todas sus serpientes felices saben sumar,

• ninguna de sus serpientes moradas sabe restar, y

• todas sus serpientes que no saben restar tampoco saben sumar.

¿Cuál de estas conclusiones se puede sacar sobre las serpientes de Tom?

Tom has a collection of $13$ snakes, $4$ of which are purple and $5$ of which are happy. He observes that

• all of his happy snakes can add,

• none of his purple snakes can subtract, and

• all of his snakes that can’t subtract also can’t add.

Which of these conclusions can be drawn about Tom’s snakes?

Las serpientes moradas saben sumar.

Purple snakes can add.

Las serpientes moradas son felices.

Purple snakes are happy.

Las serpientes que saben sumar son moradas.

Snakes that can add are purple.

Las serpientes felices no son moradas.

Happy snakes are not purple.

Las serpientes felices no saben restar.

Happy snakes can’t subtract.

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Encadena las implicaciones: morada $\Rightarrow$ no sabe restar $\Rightarrow$ no sabe sumar.

Chain the implications: purple $\Rightarrow$ can’t subtract $\Rightarrow$ can’t add

Pista grande:

Las serpientes felices saben sumar, pero las serpientes moradas no saben sumar; compara estos dos hechos.

Happy snakes can add, but purple snakes cannot add; compare these two facts

Solución:

Una serpiente morada no sabe restar, y cualquier serpiente que no sabe restar tampoco sabe sumar. Así que ninguna serpiente morada sabe sumar.

Toda serpiente feliz sabe sumar. Como las serpientes moradas no saben sumar, ninguna serpiente feliz puede ser morada; es decir, las serpientes felices no son moradas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A purple snake cannot subtract, and any snake that cannot subtract also cannot add. So every purple snake cannot add.

Every happy snake can add. Since purple snakes cannot add, no happy snake can be purple; that is, happy snakes are not purple.

Thus, the correct answer is D.

5.

Cuando un estudiante multiplicó el número $66$ por el decimal periódico $1.\overline{ab} = 1.ababab\ldots,$ donde $a$ y $b$ son dígitos, no notó la notación y simplemente multiplicó $66$ por el decimal finito $1.ab$ . Más tarde descubrió que su respuesta era $0.5$ menor que la respuesta correcta.

¿Cuál es el entero de dos dígitos $\overline{ab}$ ?

When a student multiplied the number $66$ by the repeating decimal $1.\overline{ab} = 1.ababab\ldots,$ where $a$ and $b$ are digits, he did not notice the notation and just multiplied $66$ by the terminating decimal $1.ab.$ Later he found that his answer was $0.5$ less than the correct answer.

What is the two-digit integer $\overline{ab}?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

Conceptos:decimal periódico ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Escribe $n = \overline{ab}.$ Entonces $1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}$ y $1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}$ .

Write $n = \overline{ab}.$ Then $1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}$ and $1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}$

Pista grande:

La diferencia de los dos productos es $66\left(\dfrac{n}{99} - \dfrac{n}{100}\right) = 0.5$ .

The difference of the two products is $66\left(\dfrac{n}{99} - \dfrac{n}{100}\right) = 0.5$

Solución:

Sea $n = \overline{ab}$ el entero de dos dígitos. Entonces $1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}$ , mientras que el valor finito es $1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}.$ El producto correcto menos el producto del estudiante es $\begin{aligned} &66\left(\frac{n}{99} - \frac{n}{100}\right) \\ &= 66 \cdot \frac{n}{9900} = \frac{n}{150}. \end{aligned}$

Al hacer $\dfrac{n}{150} = 0.5$ se obtiene $n = 75.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $n = \overline{ab}$ be the two-digit integer. Then $1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}$ while the terminating value is $1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}.$ The correct product minus the student’s product is $\begin{aligned} &66\left(\frac{n}{99} - \frac{n}{100}\right) \\ &= 66 \cdot \frac{n}{9900} = \frac{n}{150}. \end{aligned}$

Setting $\dfrac{n}{150} = 0.5$ gives $n = 75.$

Thus, the correct answer is E.

6.

Una baraja de cartas tiene solo cartas rojas y cartas negras. La probabilidad de que una carta elegida al azar sea roja es $\dfrac13.$ Cuando se añaden $4$ cartas negras a la baraja, la probabilidad de elegir una roja se vuelve $\dfrac14.$ ¿Cuántas cartas había originalmente en la baraja?

A deck of cards has only red cards and black cards. The probability of a randomly chosen card being red is $\dfrac13.$ When $4$ black cards are added to the deck, the probability of choosing red becomes $\dfrac14.$ How many cards were in the deck originally?

$6$

$9$

$12$

$15$

$18$

Conceptos:probabilidad básica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Sea $r$ el número de cartas rojas; la baraja original tiene $3r$ cartas.

Let $r$ be the number of red cards; the original deck has $3r$ cards

Pista grande:

Al añadir $4$ cartas negras se mantienen $r$ rojas de un total de $3r + 4,$ y esto es igual a $\dfrac14$ .

Adding $4$ black cards keeps $r$ red out of $3r + 4,$ and this equals $\dfrac14$

Solución:

Sea $r$ el número de cartas rojas y $t$ el total. De $\dfrac{r}{t} = \dfrac13$ obtenemos $t = 3r.$ Después de añadir $4$ cartas negras, $\dfrac{r}{t+4} = \dfrac14,$ así que $t + 4 = 4r.$

Sustituyendo $t = 3r$ se obtiene $3r + 4 = 4r,$ así que $r = 4$ y $t = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $r$ be the number of red cards and $t$ the total. From $\dfrac{r}{t} = \dfrac13$ we get $t = 3r.$ After adding $4$ black cards, $\dfrac{r}{t+4} = \dfrac14,$ so $t + 4 = 4r.$

Substituting $t = 3r$ gives $3r + 4 = 4r,$ so $r = 4$ and $t = 12.$

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuál es el menor valor posible de $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ para números reales $x$ y $y$ ?

What is the least possible value of $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ for real numbers $x$ and $y?$

$0$

$\dfrac14$

$\dfrac12$

$1$

$2$

Conceptos:manipulación algebraica factorización optimización

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Desarrolla completamente; los términos cruzados $-2xy$ y $+2xy$ se cancelan.

Expand fully; the cross terms $-2xy$ and $+2xy$ cancel

Pista grande:

La expresión es igual a $(x^2 + 1)(y^2 + 1),$ un producto de dos factores, cada uno al menos $1$ .

The expression equals $(x^2 + 1)(y^2 + 1),$ a product of two factors each at least $1$

Solución:

Desarrollando, $\begin{aligned} &(xy-1)^2 + (x+y)^2 \\ &= x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 \\ &\quad {}+ 2xy + y^2 \\ &= x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{aligned}$ Esto se factoriza como $(x^2 + 1)(y^2 + 1)$ .

Cada factor es al menos $1$ , así que el producto es al menos $1$ , con igualdad cuando $x = y = 0$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expanding, $\begin{aligned} &(xy-1)^2 + (x+y)^2 \\ &= x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 \\ &\quad {}+ 2xy + y^2 \\ &= x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{aligned}$ This factors as $(x^2 + 1)(y^2 + 1).$

Each factor is at least $1,$ so the product is at least $1,$ with equality when $x = y = 0.$

Thus, the correct answer is D.

8.

Una sucesión de números se define por $D_0 = 0,$ $D_1 = 0,$ $D_2 = 1,$ y $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$ para $n \ge 3.$ ¿Cuáles son las paridades (par o impar) de la terna de números $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023}),$ donde $E$ denota par y $O$ denota impar?

A sequence of numbers is defined by $D_0 = 0,$ $D_1 = 0,$ $D_2 = 1,$ and $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$ for $n \ge 3.$ What are the parities (evenness or oddness) of the triple of numbers $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023}),$ where $E$ denotes even and $O$ denotes odd?

$(O, E, O)$

$(E, E, O)$

$(E, O, E)$

$(O, O, E)$

$(O, O, O)$

Conceptos:paridad recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Solo importan las paridades, así que calcula la sucesión con cada término como $E$ u $O$ usando $O+O=E$ .

Only parities matter, so compute the sequence with each term as $E$ or $O$ using $O+O=E$

Pista grande:

La sucesión de paridades se repite con período $7;$ reduce $2021, 2022, 2023$ módulo $7$ .

The parity sequence repeats with period $7;$ reduce $2021, 2022, 2023$ modulo $7$

Solución:

Trabajando módulo $2,$ los términos $D_0, D_1, D_2, \ldots$ tienen paridades $E,$ $E,$ $O,$ $O,$ $O,$ $E,$ $O,$ $E,$ $E,$ $O,$ $O,$ $O,$ $E,$ $O, \ldots$ que se repiten con período $7$ comenzando desde $D_0$ (en efecto, $D_7, D_8, D_9$ tienen las mismas paridades $E, E, O$ que $D_0, D_1, D_2$ ).

Como $2021 \equiv 5,$ $2022 \equiv 6,$ y $2023 \equiv 0 \pmod 7,$ las paridades coinciden con las de $D_5, D_6, D_0,$ es decir, $E, O, E.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Working modulo $2,$ the terms $D_0, D_1, D_2, \ldots$ have parities $E,$ $E,$ $O,$ $O,$ $O,$ $E,$ $O,$ $E,$ $E,$ $O,$ $O,$ $O,$ $E,$ $O, \ldots$ which repeat with period $7$ starting from $D_0$ (indeed $D_7, D_8, D_9$ have the same parities $E, E, O$ as $D_0, D_1, D_2$ ).

Since $2021 \equiv 5,$ $2022 \equiv 6,$ and $2023 \equiv 0 \pmod 7,$ the parities match those of $D_5, D_6, D_0,$ namely $E, O, E.$

Thus, the correct answer is C.

9.

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $\begin{aligned} &(2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4) \\ &\quad {}\cdot (2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16}) \\ &\quad {}\cdot (2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})? \end{aligned}$

Which of the following is equivalent to $\begin{aligned} &(2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4) \\ &\quad {}\cdot (2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16}) \\ &\quad {}\cdot (2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})? \end{aligned}$

$3^{127} + 2^{127}$

$3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63} + 3 \cdot 2^{63}$

$3^{128} - 2^{128}$

$3^{128} + 2^{128}$

$5^{127}$

Conceptos:diferencia de cuadrados telescópica

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Multiplica todo el producto por $3 - 2 = 1$ para iniciar una cascada telescópica.

Multiply the whole product by $3 - 2 = 1$ to start a telescoping cascade

Pista grande:

Aplica repetidamente $(3^k - 2^k)(3^k + 2^k) = 3^{2k} - 2^{2k}$ .

Repeatedly apply $(3^k - 2^k)(3^k + 2^k) = 3^{2k} - 2^{2k}$

Solución:

Como $3 - 2 = 1$ , multiplicar el producto por $3 - 2$ no lo cambia. Entonces $(3-2)(3+2) = 3^2 - 2^2,$ y multiplicar por el siguiente factor $(3^2 + 2^2)$ da $3^4 - 2^4$ , y así sucesivamente. Cada paso duplica el exponente.

Después de usar los siete factores, el producto se telescopa a $3^{128} - 2^{128}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $3 - 2 = 1,$ multiplying the product by $3 - 2$ does not change it. Then $(3-2)(3+2) = 3^2 - 2^2,$ and multiplying by the next factor $(3^2 + 2^2)$ gives $3^4 - 2^4,$ and so on. Each step doubles the exponent.

After using all seven factors, the product telescopes to $3^{128} - 2^{128}.$

Thus, the correct answer is C.

10.

Dos conos circulares rectos con los vértices hacia abajo, como se muestra en la figura de abajo, contienen la misma cantidad de líquido. Los radios de las superficies superiores del líquido son $3$ cm y $6$ cm. En cada cono se deja caer una canica esférica de radio $1$ cm, que se hunde hasta el fondo y queda completamente sumergida sin derramar líquido. ¿Cuál es la razón entre el ascenso del nivel del líquido en el cono estrecho y el ascenso del nivel del líquido en el cono ancho?

Two right circular cones with vertices facing down as shown in the figure below contain the same amount of liquid. The radii of the tops of the liquid surfaces are $3$ cm and $6$ cm. Into each cone is dropped a spherical marble of radius $1$ cm, which sinks to the bottom and is completely submerged without spilling any liquid. What is the ratio of the rise of the liquid level in the narrow cone to the rise of the liquid level in the wide cone?

$1 : 1$

$47 : 43$

$2 : 1$

$40 : 13$

$4 : 1$

Conceptos:cono semejanza escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

El líquido en cada cono es a su vez un cono; con volúmenes iniciales iguales, el cono estrecho (radio $3$ ) es cuatro veces más alto que el cono ancho (radio $6$ ).

The liquid in each cone is itself a cone; with equal starting volumes, the narrow cone (radius $3$ ) is four times as tall as the wide cone (radius $6$ )

Pista grande:

Añadir el mismo volumen de canica escala la altura por el mismo factor $\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}}$ en ambos conos, así que los ascensos están en la razón de las alturas originales.

Adding the same marble volume scales the height by the same factor $\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}}$ in both cones, so the rises are in the ratio of the original heights

Solución:

El líquido en cada cono forma un cono más pequeño semejante al recipiente. Sea el cono de líquido estrecho de radio $3$ y altura $h_1,$ y el ancho de radio $6$ y altura $h_2.$ Volúmenes iguales dan $\tfrac13\pi\cdot 9\cdot h_1 = \tfrac13\pi\cdot 36\cdot h_2,$ así que $h_1 = 4h_2.$

Dejar caer la canica aumenta el volumen en la misma cantidad $\Delta V = \tfrac43\pi$ en cada cono, y ambos comienzan con el mismo volumen $V.$ Como el volumen de un cono escala como el cubo de su altura, la nueva altura es $h\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}},$ así que cada ascenso es igual a $h\left(\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}} - 1\right).$ Este factor es idéntico para los dos conos, así que los ascensos están en la razón $h_1 : h_2 = 4 : 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The liquid in each cone forms a smaller cone similar to the container. Let the narrow liquid cone have radius $3$ and height $h_1,$ and the wide one radius $6$ and height $h_2.$ Equal volumes give $\tfrac13\pi\cdot 9\cdot h_1 = \tfrac13\pi\cdot 36\cdot h_2,$ so $h_1 = 4h_2.$

Dropping the marble raises the volume by the same amount $\Delta V = \tfrac43\pi$ in each cone, and both start with the same volume $V.$ Because a cone’s volume scales as the cube of its height, the new height is $h\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}},$ so each rise equals $h\left(\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}} - 1\right).$ This factor is identical for the two cones, so the rises are in the ratio $h_1 : h_2 = 4 : 1.$

Thus, the correct answer is E.

11.

Un láser se coloca en el punto $(3, 5).$ El rayo láser viaja en línea recta. Larry quiere que el rayo golpee y rebote en el eje $y$ , luego golpee y rebote en el eje $x$ , y luego golpee el punto $(7, 5).$ ¿Cuál es la distancia total que recorrerá el rayo a lo largo de esta trayectoria?

A laser is placed at the point $(3, 5).$ The laser beam travels in a straight line. Larry wants the beam to hit and bounce off the $y$ -axis, then hit and bounce off the $x$ -axis, then hit the point $(7, 5).$ What is the total distance the beam will travel along this path?

$2\sqrt{10}$

$5\sqrt{2}$

$10\sqrt{2}$

$15\sqrt{2}$

$10\sqrt{5}$

Conceptos:reflexión (geometría)fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Un rebote en una recta significa que reflejar un extremo a través de esa recta endereza la trayectoria.

A bounce off a line means reflecting one endpoint across that line straightens the path

Pista grande:

Refleja el inicio a través del eje $y$ y el final a través del eje $x$ , luego toma la distancia en línea recta entre las imágenes.

Reflect the start across the $y$ -axis and the end across the $x$ -axis, then take the straight-line distance between the images

Solución:

Reflejar la trayectoria en cada rebote la convierte en un único segmento recto. Refleja el inicio $(3, 5)$ a través del eje $y$ a $(-3, 5),$ y refleja el objetivo $(7, 5)$ a través del eje $x$ a $(7, -5).$ La distancia total recorrida es igual a la distancia en línea recta entre estas dos imágenes: $\begin{aligned} &\sqrt{(-3 - 7)^2 + (5 - (-5))^2} \\ &= \sqrt{100 + 100} = 10\sqrt{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Reflecting the path at each bounce turns it into a single straight segment. Reflect the start $(3, 5)$ across the $y$ -axis to $(-3, 5),$ and reflect the target $(7, 5)$ across the $x$ -axis to $(7, -5).$ The total travel distance equals the straight-line distance between these two images: $\begin{aligned} &\sqrt{(-3 - 7)^2 + (5 - (-5))^2} \\ &= \sqrt{100 + 100} = 10\sqrt{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

12.

Todas las raíces del polinomio $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de $B$ ?

All the roots of the polynomial $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ are positive integers, possibly repeated. What is the value of $B?$

$-88$

$-80$

$-64$

$-41$

$-40$

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Las seis raíces enteras positivas suman $10$ y multiplican $16;$ encuentra el multiconjunto.

The six positive integer roots sum to $10$ and multiply to $16;$ find the multiset

Pista grande:

Las raíces son $2, 2, 2, 2, 1, 1;$ $B$ es igual a $-1$ por la suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres.

The roots are $2, 2, 2, 2, 1, 1;$ $B$ equals $-1$ times the sum of products of the roots taken three at a time

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, las seis raíces suman $10$ (el opuesto del coeficiente de $z^5$ ) y su producto es $16.$ Por tanto, cada raíz es una potencia $2^{e_i},$ con $\sum e_i=4.$ Como $2^{e_i}\ge 1+e_i,$ la suma de las raíces es al menos $6+4=10.$ La igualdad ocurre solo cuando cada $e_i$ es $0$ o $1,$ así que las raíces deben ser $2,2,2,2,1,1.$

El polinomio es entonces $(z - 1)^2 (z - 2)^4.$ Al desarrollar, $\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}$ El coeficiente de $z^3$ es $B = -88.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta’s formulas the six roots sum to $10$ (the negative of the $z^5$ coefficient) and multiply to $16.$ Thus every root is a power $2^{e_i},$ with $\sum e_i=4.$ Since $2^{e_i}\ge 1+e_i,$ the roots have sum at least $6+4=10.$ Equality holds only when every $e_i$ is $0$ or $1,$ so the roots must be $2,2,2,2,1,1.$

So the polynomial is $(z - 1)^2 (z - 2)^4.$ Expanding, $\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}$ The coefficient of $z^3$ is $B = -88.$

Thus, the correct answer is A.

13.

De los siguientes números complejos $z,$ ¿cuál tiene la propiedad de que $z^5$ tiene la mayor parte real?

Of the following complex numbers $z,$ which one has the property that $z^5$ has the greatest real part?

$-2$

$-\sqrt3 + i$

$-\sqrt2 + \sqrt2\, i$

$-1 + \sqrt3\, i$

$2i$

Conceptos:Teorema de De Moivre número complejo

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Cada opción tiene módulo $2,$ así que $z^5$ tiene módulo $32;$ solo importa el ángulo.

Every choice has modulus $2,$ so $z^5$ has modulus $32;$ only the angle matters

Pista grande:

Para un ángulo $\theta,$ la parte real de $z^5$ es $32\cos(5\theta);$ encuentra cuál $5\theta$ está más cerca de un múltiplo de $360^\circ$ .

For angle $\theta,$ the real part of $z^5$ is $32\cos(5\theta);$ find which $5\theta$ is closest to a multiple of $360^\circ$

Solución:

Cada número listado tiene módulo $2,$ así que $z^5$ tiene módulo $32,$ y su parte real es $32\cos(5\theta),$ donde $\theta$ es el argumento de $z.$ Los argumentos son $180^\circ,$ $150^\circ,$ $135^\circ,$ $120^\circ,$ y $90^\circ.$

Multiplicar por $5$ da $900^\circ \equiv 180^\circ,$ $750^\circ \equiv 30^\circ,$ $675^\circ \equiv 315^\circ,$ $600^\circ \equiv 240^\circ,$ y $450^\circ \equiv 90^\circ.$ El coseno más grande es $\cos 30^\circ,$ de $z = -\sqrt3 + i,$ lo que da parte real $16\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each listed number has modulus $2,$ so $z^5$ has modulus $32,$ and its real part is $32\cos(5\theta),$ where $\theta$ is the argument of $z.$ The arguments are $180^\circ,$ $150^\circ,$ $135^\circ,$ $120^\circ,$ and $90^\circ.$

Multiplying by $5$ gives $900^\circ \equiv 180^\circ,$ $750^\circ \equiv 30^\circ,$ $675^\circ \equiv 315^\circ,$ $600^\circ \equiv 240^\circ,$ and $450^\circ \equiv 90^\circ.$ The largest cosine is $\cos 30^\circ,$ from $z = -\sqrt3 + i,$ giving real part $16\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.

14.

¿Cuál es el valor de $\begin{aligned} &\left(\sum_{k=1}^{20} \log_{5^k} 3^{k^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k=1}^{100} \log_{9^k} 25^k\right)? \end{aligned}$

What is the value of $\begin{aligned} &\left(\sum_{k=1}^{20} \log_{5^k} 3^{k^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k=1}^{100} \log_{9^k} 25^k\right)? \end{aligned}$

$21$

$100\log_5 3$

$200\log_3 5$

$2{,}200$

$21{,}000$

Conceptos:logaritmo sumatoria

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Usa $\log_{a^k} b^m = \dfrac{m}{k}\log_a b$ para simplificar cada término.

Use $\log_{a^k} b^m = \dfrac{m}{k}\log_a b$ to simplify each term

Pista grande:

La primera suma es $\left(\sum k\right)\log_5 3$ y la segunda es $100\log_3 5;$ sus logaritmos son recíprocos.

The first sum is $\left(\sum k\right)\log_5 3$ and the second is $100\log_3 5;$ their logs are reciprocals

Solución:

Para la primera suma, $\log_{5^k} 3^{k^2} = \dfrac{k^2}{k}\log_5 3 = k\log_5 3,$ así que $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{20} k\log_5 3 = \frac{20\cdot 21}{2}\log_5 3 \\ &= 210\log_5 3. \end{aligned}$

Para la segunda suma, $\log_{9^k} 25^k = \log_9 25 = \log_3 5,$ independiente de $k,$ así que la suma es $100\log_3 5.$

Como $\log_5 3 \cdot \log_3 5 = 1,$ el producto es $210 \cdot 100 = 21{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For the first sum, $\log_{5^k} 3^{k^2} = \dfrac{k^2}{k}\log_5 3 = k\log_5 3,$ so $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{20} k\log_5 3 = \frac{20\cdot 21}{2}\log_5 3 \\ &= 210\log_5 3. \end{aligned}$

For the second sum, $\log_{9^k} 25^k = \log_9 25 = \log_3 5,$ independent of $k,$ so the sum is $100\log_3 5.$

Since $\log_5 3 \cdot \log_3 5 = 1,$ the product is $210 \cdot 100 = 21{,}000.$

Thus, the correct answer is E.

15.

Un director de coro debe seleccionar un grupo de cantantes de entre sus $6$ tenores y $8$ bajos. Los únicos requisitos son que la diferencia entre el número de tenores y bajos debe ser un múltiplo de $4,$ y que el grupo debe tener al menos un cantante. Sea $N$ el número de grupos que se pueden seleccionar. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $100$ ?

A choir director must select a group of singers from among his $6$ tenors and $8$ basses. The only requirements are that the difference between the number of tenors and basses must be a multiple of $4,$ and the group must have at least one singer. Let $N$ be the number of groups that can be selected. What is the remainder when $N$ is divided by $100?$

$47$

$48$

$83$

$95$

$96$

Conceptos:raíces de la unidad combinaciones teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Cuenta los pares $(t, b)$ con $t - b \equiv 0 \pmod 4$ usando un filtro de raíces de la unidad con $\omega = i$ .

Count pairs $(t, b)$ with $t - b \equiv 0 \pmod 4$ using a roots of unity filter with $\omega = i$

Pista grande:

El conteo es $\dfrac14\sum_{j=0}^{3}(1 + i^j)^6(1 + i^{-j})^8;$ luego resta $1$ por el grupo vacío.

The count is $\dfrac14\sum_{j=0}^{3}(1 + i^j)^6(1 + i^{-j})^8;$ then subtract $1$ for the empty group

Solución:

Elegir $t$ tenores y $b$ bajos tiene peso $\binom{6}{t}\binom{8}{b}.$ Para conservar solo $t - b \equiv 0 \pmod 4,$ aplica un filtro de raíces de la unidad con $\omega = i:$ $\begin{aligned} &N + 1 \\ &= \frac14\sum_{j=0}^{3}(1 + i^{j})^6\,(1 + i^{-j})^8. \end{aligned}$

El término $j = 0$ es $2^6\cdot 2^8 = 16384.$ El término $j = 2$ tiene el factor $(1 + i^2)^6 = 0.$ Los términos $j = 1$ y $j = 3$ son $-128i$ y $128i,$ que se cancelan. Así que la suma es $16384,$ y $\dfrac{16384}{4} = 4096.$

Este conteo incluye el grupo vacío, así que $N = 4096 - 1 = 4095,$ y $N \equiv 95 \pmod{100}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Choosing $t$ tenors and $b$ basses is weighted by $\binom{6}{t}\binom{8}{b}.$ To keep only $t - b \equiv 0 \pmod 4,$ apply a roots of unity filter with $\omega = i:$ $\begin{aligned} &N + 1 \\ &= \frac14\sum_{j=0}^{3}(1 + i^{j})^6\,(1 + i^{-j})^8. \end{aligned}$

The $j = 0$ term is $2^6\cdot 2^8 = 16384.$ The $j = 2$ term has factor $(1 + i^2)^6 = 0.$ The $j = 1$ and $j = 3$ terms are $-128i$ and $128i,$ which cancel. So the sum is $16384,$ and $\dfrac{16384}{4} = 4096.$

This count includes the empty group, so $N = 4096 - 1 = 4095,$ and $N \equiv 95 \pmod{100}.$

Thus, the correct answer is D.

16.

En la siguiente lista de números, el entero $n$ aparece $n$ veces en la lista para $1 \le n \le 200.$ $1,$ $2,$ $2,$ $3,$ $3,$ $3,$ $4,$ $4,$ $4,$ $4,$ $\ldots,$ $200,$ $200,$ $\ldots,$ $200$

¿Cuál es la mediana de los números de esta lista?

In the following list of numbers, the integer $n$ appears $n$ times in the list for $1 \le n \le 200.$ $1,$ $2,$ $2,$ $3,$ $3,$ $3,$ $4,$ $4,$ $4,$ $4,$ $\ldots,$ $200,$ $200,$ $\ldots,$ $200$

What is the median of the numbers in this list?

$100.5$

$134$

$142$

$150.5$

$167$

Conceptos:número triangular mediana (datos)

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

La lista tiene $1 + 2 + \cdots + 200 = 20100$ términos, así que la mediana promedia los términos $10050$ y $10051$ .

The list has $1 + 2 + \cdots + 200 = 20100$ terms, so the median averages the $10050$ th and $10051$ st

Pista grande:

Los números hasta $n$ llenan las posiciones hasta $\dfrac{n(n+1)}{2};$ encuentra el $n$ que contiene la posición $10050$ .

The numbers through $n$ fill positions up to $\dfrac{n(n+1)}{2};$ find the $n$ containing position $10050$

Solución:

La lista tiene $1 + 2 + \cdots + 200$ $= \dfrac{200\cdot 201}{2}$ $= 20100$ términos, así que la mediana es el promedio de los términos $10050$ y $10051$ .

El valor $n$ ocupa las posiciones hasta $\dfrac{n(n+1)}{2}.$ Como $\dfrac{141\cdot 142}{2} = 10011$ y $\dfrac{142\cdot 143}{2} = 10153,$ las posiciones $10012$ hasta $10153$ son todas iguales a $142.$ Ambas posiciones centrales caen en este bloque, así que la mediana es $142.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The list has $1 + 2 + \cdots + 200$ $= \dfrac{200\cdot 201}{2}$ $= 20100$ terms, so the median is the average of the $10050$ th and $10051$ st terms.

The value $n$ occupies positions up to $\dfrac{n(n+1)}{2}.$ Since $\dfrac{141\cdot 142}{2} = 10011$ and $\dfrac{142\cdot 143}{2} = 10153,$ positions $10012$ through $10153$ all equal $142.$ Both middle positions fall in this block, so the median is $142.$

Thus, the correct answer is C.

17.

El trapecio $ABCD$ cumple $AB \parallel CD,$ $BC = CD = 43,$ y $AD \perp BD.$ Sea $O$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD,$ y sea $P$ el punto medio de $BD.$ Dado que $OP = 11,$ la longitud $AD$ se puede escribir en la forma $m\sqrt n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Trapezoid $ABCD$ has $AB \parallel CD,$ $BC = CD = 43,$ and $AD \perp BD.$ Let $O$ be the intersection of the diagonals $AC$ and $BD,$ and let $P$ be the midpoint of $BD.$ Given that $OP = 11,$ the length $AD$ can be written in the form $m\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n?$

$65$

$132$

$157$

$194$

$215$

Conceptos:geometría analítica trapecio semejanza

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Coloca $D$ en el origen con $BD$ sobre un eje y $AD$ sobre el otro, ya que $AD \perp BD$ .

Place $D$ at the origin with $BD$ along one axis and $AD$ along the other, since $AD \perp BD$

Pista grande:

Usar $BC = CD$ obliga a que $C$ sea el punto de tipo punto medio con parámetro $\tfrac12;$ entonces $O$ divide $BD$ de modo que $OP = \tfrac{BD}{6}$ .

Using $BC = CD$ forces $C$ to be the midpoint-type point with parameter $\tfrac12;$ then $O$ divides $BD$ so that $OP = \tfrac{BD}{6}$

Solución:

Coloca $D = (0,0)$ con $B = (b, 0)$ sobre un eje y $A = (0, a)$ sobre el otro, de modo que $AD \perp BD.$ Como $CD \parallel AB,$ escribe $C = t(b, -a)$ para algún $t.$ Entonces $CD = t\sqrt{a^2+b^2}$ y $BC^2 = b^2(1-t)^2 + t^2a^2.$ Igualar $BC = CD$ da $t^2 = (1-t)^2,$ así que $t = \tfrac12.$

Así $C = \left(\tfrac{b}{2}, -\tfrac{a}{2}\right),$ y $CD = 43$ da $a^2 + b^2 = 4\cdot 43^2 = 7396.$ La diagonal $AC$ corta a $BD$ (el eje $x$ ) en $O = \left(\tfrac{b}{3}, 0\right),$ mientras que $P = \left(\tfrac{b}{2}, 0\right).$ Por lo tanto $OP = \tfrac{b}{6} = 11,$ así que $b = 66.$

Entonces $a^2 = 7396 - 66^2 = 3040,$ así que $AD = a = \sqrt{3040} = 4\sqrt{190}.$ Con $m = 4$ y $n = 190,$ obtenemos $m + n = 194.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place $D = (0,0)$ with $B = (b, 0)$ on one axis and $A = (0, a)$ on the other, so that $AD \perp BD.$ Since $CD \parallel AB,$ write $C = t(b, -a)$ for some $t.$ Then $CD = t\sqrt{a^2+b^2}$ and $BC^2 = b^2(1-t)^2 + t^2a^2.$ Setting $BC = CD$ gives $t^2 = (1-t)^2,$ so $t = \tfrac12.$

Thus $C = \left(\tfrac{b}{2}, -\tfrac{a}{2}\right),$ and $CD = 43$ gives $a^2 + b^2 = 4\cdot 43^2 = 7396.$ The diagonal $AC$ meets $BD$ (the $x$ -axis) at $O = \left(\tfrac{b}{3}, 0\right),$ while $P = \left(\tfrac{b}{2}, 0\right).$ Hence $OP = \tfrac{b}{6} = 11,$ so $b = 66.$

Then $a^2 = 7396 - 66^2 = 3040,$ so $AD = a = \sqrt{3040} = 4\sqrt{190}.$ With $m = 4$ and $n = 190,$ we get $m + n = 194.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Sea $f$ una función definida en el conjunto de los números racionales positivos con la propiedad de que $f(a\cdot b) = f(a) + f(b)$ para todos los números racionales positivos $a$ y $b.$ Supón que $f$ también tiene la propiedad de que $f(p) = p$ para todo número primo $p.$ ¿Para cuál de los siguientes números $x$ se cumple $f(x) \lt 0$ ?

Let $f$ be a function defined on the set of positive rational numbers with the property that $f(a\cdot b) = f(a) + f(b)$ for all positive rational numbers $a$ and $b.$ Suppose that $f$ also has the property that $f(p) = p$ for every prime number $p.$ For which of the following numbers $x$ is $f(x) \lt 0?$

$\dfrac{17}{32}$

$\dfrac{11}{16}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{25}{11}$

Conceptos:ecuación funcional factorización en primos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

La regla hace que $f$ sea aditiva sobre los factores primos, y $f(\frac{1}{p}) = -f(p) = -p$ .

The rule makes $f$ additive over prime factors, and $f(\frac{1}{p}) = -f(p) = -p$

Pista grande:

Para $x = \prod p^{e_p},$ calcula $f(x) = \sum e_p\, p$ (con exponentes negativos para los denominadores).

For $x = \prod p^{e_p},$ compute $f(x) = \sum e_p\, p$ (with negative exponents for denominators)

Solución:

La ecuación funcional hace que $f$ sea completamente aditiva: para $x = \prod p^{e_p},$ tenemos $f(x) = \sum e_p\, f(p) = \sum e_p\, p,$ donde un primo en el denominador contribuye con un exponente negativo (ya que $f(\frac{1}{p}) = -p$ ).

Evaluando: $f\!\left(\tfrac{17}{32}\right) = 17 - 5\cdot 2 = 7,$ $f\!\left(\tfrac{11}{16}\right) = 11 - 4\cdot 2 = 3,$ $f\!\left(\tfrac{7}{9}\right) = 7 - 2\cdot 3 = 1,$ $f\!\left(\tfrac{7}{6}\right) = 7 - 2 - 3 = 2,$ y $f\!\left(\tfrac{25}{11}\right) = 2\cdot 5 - 11 = -1.$ Solo el último es negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The functional equation makes $f$ completely additive: for $x = \prod p^{e_p},$ we have $f(x) = \sum e_p\, f(p) = \sum e_p\, p,$ where a prime in the denominator contributes a negative exponent (since $f(\frac{1}{p}) = -p$ ).

Evaluating: $f\!\left(\tfrac{17}{32}\right) = 17 - 5\cdot 2 = 7,$ $f\!\left(\tfrac{11}{16}\right) = 11 - 4\cdot 2 = 3,$ $f\!\left(\tfrac{7}{9}\right) = 7 - 2\cdot 3 = 1,$ $f\!\left(\tfrac{7}{6}\right) = 7 - 2 - 3 = 2,$ and $f\!\left(\tfrac{25}{11}\right) = 2\cdot 5 - 11 = -1.$ Only the last is negative.

Thus, the correct answer is E.

19.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\sin x\right)$ en el intervalo cerrado $[0, \pi]$ ?

How many solutions does the equation $\sin\left(\frac{\pi}{2}\cos x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\sin x\right)$ have in the closed interval $[0, \pi]?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:identidad trigonométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Reescribe el lado derecho usando $\cos\theta = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right)$ .

Rewrite the right side using $\cos\theta = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right)$

Pista grande:

Senos iguales dan $\cos x + \sin x = 1$ o $\cos x - \sin x = 1;$ cada uno tiene rango $[-\sqrt2, \sqrt2]$ .

Equal sines give $\cos x + \sin x = 1$ or $\cos x - \sin x = 1;$ each has range $[-\sqrt2, \sqrt2]$

Solución:

Escribe el lado derecho como $\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\sin x\right) = \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}\sin x\right)$ . Senos iguales requieren o bien $\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\cos x \\ &= \frac{\pi}{2}(1 - \sin x) + 2\pi k \end{aligned}$ o bien $\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\cos x \\ &= \pi - \frac{\pi}{2}(1 - \sin x) + 2\pi k. \end{aligned}$

La primera se reduce a $\cos x + \sin x = 1 + 4k$ ; como $\cos x + \sin x \in [-\sqrt2, \sqrt2]$ , solo $k = 0$ funciona, dando $\cos x + \sin x = 1$ , con soluciones $x = 0$ y $x = \tfrac{\pi}{2}$ en $[0, \pi]$ . La segunda se reduce a $\cos x - \sin x = 1$ , cuya única solución en $[0, \pi]$ es $x = 0$ .

Las soluciones distintas son $x = 0$ y $x = \tfrac{\pi}{2}$ , para un total de $2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write the right side as $\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\sin x\right) = \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}\sin x\right).$ Equal sines require either $\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\cos x \\ &= \frac{\pi}{2}(1 - \sin x) + 2\pi k \end{aligned}$ or $\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\cos x \\ &= \pi - \frac{\pi}{2}(1 - \sin x) + 2\pi k. \end{aligned}$

The first reduces to $\cos x + \sin x = 1 + 4k;$ since $\cos x + \sin x \in [-\sqrt2, \sqrt2],$ only $k = 0$ works, giving $\cos x + \sin x = 1,$ with solutions $x = 0$ and $x = \tfrac{\pi}{2}$ in $[0, \pi].$ The second reduces to $\cos x - \sin x = 1,$ whose only solution in $[0, \pi]$ is $x = 0.$

The distinct solutions are $x = 0$ and $x = \tfrac{\pi}{2},$ for a total of $2.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Supón que en una parábola con vértice $V$ y un foco $F$ existe un punto $A$ tal que $AF = 20$ y $AV = 21.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de la longitud $FV$ ?

Suppose that on a parabola with vertex $V$ and a focus $F$ there exists a point $A$ such that $AF = 20$ and $AV = 21.$ What is the sum of all possible values of the length $FV?$

$13$

$\dfrac{40}{3}$

$\dfrac{41}{3}$

$14$

$\dfrac{43}{3}$

Conceptos:parábola fórmula de la distancia Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Coloca $V$ en el origen con distancia focal $f = FV;$ entonces $AF$ es igual a la distancia de $A$ a la directriz.

Put $V$ at the origin with focal distance $f = FV;$ then $AF$ equals the distance from $A$ to the directrix

Pista grande:

Con $A = (x, y),$ usa $y + f = 20$ y $x^2 + y^2 = 21^2,$ junto con $x^2 = 4fy,$ para obtener una cuadrática en $f$ .

With $A = (x, y),$ use $y + f = 20$ and $x^2 + y^2 = 21^2,$ with $x^2 = 4fy,$ to get a quadratic in $f$

Solución:

Sea $V = (0, 0)$ , foco $F = (0, f)$ , y directriz $y = -f$ , donde $f = FV$ . Un punto $A = (x, y)$ en la parábola satisface $x^2 = 4fy$ y $AF = y + f = 20$ , así que $y = 20 - f$ . Además $AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2$ $= 441$ .

Sustituyendo $y = 20 - f$ : $\begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned}$ Por las fórmulas de Vieta, la suma de los dos valores posibles de $f$ es $\dfrac{40}{3}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $V = (0, 0),$ focus $F = (0, f),$ and directrix $y = -f,$ where $f = FV.$ A point $A = (x, y)$ on the parabola satisfies $x^2 = 4fy$ and $AF = y + f = 20,$ so $y = 20 - f.$ Also $AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2$ $= 441.$

Substituting $y = 20 - f:$ $\begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned}$ By Vieta’s formulas, the sum of the two possible values of $f$ is $\dfrac{40}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Las cinco soluciones de la ecuación $\begin{aligned} &(z - 1)(z^2 + 2z + 4) \\ &\quad {}\cdot (z^2 + 4z + 6) = 0 \end{aligned}$ se pueden escribir en la forma $x_k + y_k i$ para $1 \le k \le 5$ , donde $x_k$ y $y_k$ son reales. Sea $E$ la única elipse que pasa por los puntos $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ , $(x_3, y_3)$ , $(x_4, y_4)$ , y $(x_5, y_5)$ . La excentricidad de $E$ se puede escribir en la forma $\sqrt{\tfrac{m}{n}}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

(Recuerda que la excentricidad de una elipse $E$ es la razón $\tfrac{c}{a}$ , donde $2a$ es la longitud del eje mayor de $E$ y $2c$ es la distancia entre sus dos focos.)

The five solutions to the equation $\begin{aligned} &(z - 1)(z^2 + 2z + 4) \\ &\quad {}\cdot (z^2 + 4z + 6) = 0 \end{aligned}$ may be written in the form $x_k + y_k i$ for $1 \le k \le 5,$ where $x_k$ and $y_k$ are real. Let $E$ be the unique ellipse that passes through the points $(x_1, y_1),$ $(x_2, y_2),$ $(x_3, y_3),$ $(x_4, y_4),$ and $(x_5, y_5).$ The eccentricity of $E$ can be written in the form $\sqrt{\tfrac{m}{n}},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

(Recall that the eccentricity of an ellipse $E$ is the ratio $\tfrac{c}{a},$ where $2a$ is the length of the major axis of $E$ and $2c$ is the distance between its two foci.)

$7$

$9$

$11$

$13$

$15$

Conceptos:elipse número complejo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Las cinco raíces son $(1, 0),$ $(-1, \pm\sqrt3),$ y $(-2, \pm\sqrt2);$ son simétricas respecto al eje $x$ .

The five roots are $(1, 0),$ $(-1, \pm\sqrt3),$ and $(-2, \pm\sqrt2);$ they are symmetric about the $x$ -axis

Pista grande:

Ajusta $Ax^2 + Cy^2 + Dx + F = 0$ a través de los puntos, luego lee $a^2$ y $b^2$ para hallar $e^2 = 1 - \tfrac{b^2}{a^2}$ .

Fit $Ax^2 + Cy^2 + Dx + F = 0$ through the points, then read off $a^2$ and $b^2$ to find $e^2 = 1 - \tfrac{b^2}{a^2}$

Solución:

Las raíces son $z = 1$ , $z = -1 \pm i\sqrt3$ , y $z = -2 \pm i\sqrt2$ , lo que da los puntos $(1, 0)$ , $(-1, \pm\sqrt3)$ , y $(-2, \pm\sqrt2)$ . Por simetría respecto al eje $x$ , la elipse tiene la forma $Ax^2 + Cy^2 + Dx + F = 0$ .

Sustituir los puntos da $5x^2 + 6y^2 + 9x - 14 = 0$ . Completar el cuadrado da $5\left(x + \tfrac{9}{10}\right)^2 + 6y^2 = \tfrac{361}{20},$ así que $a^2 = \tfrac{361}{100}$ (a lo largo de $x$ ) y $b^2 = \tfrac{361}{120}$ . Entonces $e^2 = 1 - \dfrac{b^2}{a^2} = 1 - \dfrac{100}{120} = \dfrac16$ , así que $e = \sqrt{\tfrac16}$ .

Con $m = 1$ y $n = 6$ , obtenemos $m + n = 7$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The roots are $z = 1,$ $z = -1 \pm i\sqrt3,$ and $z = -2 \pm i\sqrt2,$ giving the points $(1, 0),$ $(-1, \pm\sqrt3),$ and $(-2, \pm\sqrt2).$ By symmetry about the $x$ -axis, the ellipse has the form $Ax^2 + Cy^2 + Dx + F = 0.$

Substituting the points yields $5x^2 + 6y^2 + 9x - 14 = 0.$ Completing the square gives $5\left(x + \tfrac{9}{10}\right)^2 + 6y^2 = \tfrac{361}{20},$ so $a^2 = \tfrac{361}{100}$ (along $x$ ) and $b^2 = \tfrac{361}{120}.$ Then $e^2 = 1 - \dfrac{b^2}{a^2} = 1 - \dfrac{100}{120} = \dfrac16,$ so $e = \sqrt{\tfrac16}.$

With $m = 1$ and $n = 6,$ we get $m + n = 7.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Supón que las raíces del polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ son $\cos\tfrac{2\pi}{7},$ $\cos\tfrac{4\pi}{7},$ y $\cos\tfrac{6\pi}{7},$ donde los ángulos están en radianes. ¿Cuánto vale $abc$ ?

Suppose that the roots of the polynomial $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ are $\cos\tfrac{2\pi}{7},$ $\cos\tfrac{4\pi}{7},$ and $\cos\tfrac{6\pi}{7},$ where angles are in radians. What is $abc?$

$-\dfrac{3}{49}$

$-\dfrac{1}{28}$

$\dfrac{\sqrt[3]{7}}{64}$

$\dfrac{1}{32}$

$\dfrac{1}{28}$

Conceptos:raíces de la unidad polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Los tres cosenos son las raíces de $8x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 0$ .

The three cosines are the roots of $8x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 0$

Pista grande:

Divide entre $8$ para que coincida con $x^3 + ax^2 + bx + c,$ leyendo $a, b, c$ directamente.

Divide by $8$ to match $x^3 + ax^2 + bx + c,$ reading off $a, b, c$ directly

Solución:

Sean las tres raíces $r_1,r_2,r_3.$ Las séptimas raíces de la unidad dan $r_1+r_2+r_3=-\tfrac12.$ Duplicar los tres ángulos solo permuta sus cosenos, así que $\sum r_i^2=\tfrac32+\tfrac12\sum r_i=\tfrac54.$ Por tanto, $r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3$ es igual a $\tfrac12((\sum r_i)^2-\sum r_i^2)=-\tfrac12.$

La identidad de producto a suma da $4r_1r_2r_3=1+r_1+r_2+r_3=\tfrac12,$ así que $r_1r_2r_3=\tfrac18.$ Por consiguiente, su polinomio mónico es $x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.$

Al comparar coeficientes, $a = \tfrac12,$ $b = -\tfrac12,$ $c = -\tfrac18.$ Por lo tanto, $abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}.$

Así, la respuesta correcta es D.

Let the three roots be $r_1,r_2,r_3.$ The seventh roots of unity give $r_1+r_2+r_3=-\tfrac12.$ Doubling the three angles merely permutes their cosines, so $\sum r_i^2=\tfrac32+\tfrac12\sum r_i=\tfrac54.$ Hence $r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3$ equals $\tfrac12((\sum r_i)^2-\sum r_i^2)=-\tfrac12.$

The product-to-sum identity gives $4r_1r_2r_3=1+r_1+r_2+r_3=\tfrac12,$ so $r_1r_2r_3=\tfrac18.$ Therefore their monic polynomial is $x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.$

Matching coefficients, $a = \tfrac12,$ $b = -\tfrac12,$ $c = -\tfrac18.$ Therefore $abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

La rana Frieda comienza una secuencia de saltos en una cuadrícula de $3\times 3$ casillas, moviéndose una casilla en cada salto y eligiendo al azar la dirección de cada salto: arriba, abajo, izquierda o derecha. No salta en diagonal. Cuando la dirección de un salto llevaría a Frieda fuera de la cuadrícula, ella “da la vuelta” y salta al borde opuesto. Por ejemplo, si Frieda comienza en la casilla central y hace dos saltos “hacia arriba”, el primer salto la coloca en la casilla central de la fila superior, y el segundo salto hace que salte al borde opuesto, cayendo en la casilla central de la fila inferior. Supón que Frieda parte de la casilla central, hace como máximo cuatro saltos al azar, y deja de saltar si cae en una casilla de esquina. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a una casilla de esquina en uno de los cuatro saltos?

Frieda the frog begins a sequence of hops on a $3\times 3$ grid of squares, moving one square on each hop and choosing at random the direction of each hop: up, down, left, or right. She does not hop diagonally. When the direction of a hop would take Frieda off the grid, she “wraps around” and jumps to the opposite edge. For example, if Frieda begins in the center square and makes two hops “up,” the first hop places her in the top row middle square, and the second hop causes her to jump to the opposite edge, landing in the bottom row middle square. Suppose Frieda starts from the center square, makes at most four hops at random, and stops hopping if she lands on a corner square. What is the probability that she reaches a corner square on one of the four hops?

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{25}{32}$

$\dfrac{13}{16}$

Conceptos:probabilidad recursiva camino aleatorio

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Agrupa las casillas en tres estados: centro, borde-medio, y esquina (absorbente); halla las probabilidades de transición desde cada uno.

Group squares into three states: center, edge-middle, and corner (absorbing); find the transition probabilities from each

Pista grande:

Desde una casilla de borde, Frieda llega a una esquina con probabilidad $\tfrac12,$ regresa al centro con $\tfrac14,$ o se mueve a otro borde con $\tfrac14$ .

From an edge square, Frieda reaches a corner with probability $\tfrac12,$ returns to center with $\tfrac14,$ or moves to another edge with $\tfrac14$

Solución:

Clasifiquemos las casillas como centro $C,$ borde medio $E,$ o esquina absorbente. Desde $C,$ cada salto llega a una casilla $E$ . Desde una casilla $E$ , dos de los cuatro vecinos son esquinas, uno es el centro y uno es otra casilla $E$ , así que $P(\text{esquina}) = \tfrac12,$ $P(\text{centro}) = \tfrac14,$ $P(E) = \tfrac14.$

Sea $a_n$ la probabilidad de llegar a una esquina en no más de $n$ saltos partiendo de una casilla de borde, y sea $c_n$ la probabilidad correspondiente partiendo del centro. Definimos $a_0=c_0=0.$ Entonces $c_n=a_{n-1}$ y $a_n=\tfrac12+\tfrac14c_{n-1}+\tfrac14a_{n-1}.$ Por tanto, $a_1=\tfrac12,$ $a_2=\tfrac12+\tfrac14\cdot\tfrac12=\tfrac58,$ y $a_3 = \tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac58 = \tfrac{25}{32}.$

Partiendo del centro con cuatro saltos disponibles, la probabilidad es $a_3 = \tfrac{25}{32}$ (el primer salto llega a un borde y deja tres saltos).

Así, la respuesta correcta es D.

Classify squares as center $C,$ edge-middle $E,$ or corner (absorbing). From $C,$ every hop lands on an $E$ square. From an $E$ square, two of the four neighbors are corners, one is the center, and one is another $E$ square, so $P(\text{corner}) = \tfrac12,$ $P(\text{center}) = \tfrac14,$ $P(E) = \tfrac14.$

Let $a_n$ be the probability of reaching a corner within $n$ hops starting from an edge square, and let $c_n$ be the corresponding probability from the center. Set $a_0=c_0=0.$ Then $c_n=a_{n-1}$ and $a_n=\tfrac12+\tfrac14c_{n-1}+\tfrac14a_{n-1}.$ Thus $a_1=\tfrac12,$ $a_2=\tfrac12+\tfrac14\cdot\tfrac12=\tfrac58,$ and $a_3 = \tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac12 + \tfrac14\cdot\tfrac58 = \tfrac{25}{32}.$

Starting from the center with four hops available, the probability equals $a_3 = \tfrac{25}{32}$ (the first hop reaches an edge, leaving three hops).

Thus, the correct answer is D.

24.

El semicírculo $\Gamma$ tiene diámetro $AB$ de longitud $14.$ El círculo $\Omega$ es tangente a $AB$ en un punto $P$ e interseca a $\Gamma$ en los puntos $Q$ y $R.$ Si $QR = 3\sqrt3$ y $\angle QPR = 60^\circ,$ entonces el área de $\triangle PQR$ es $\dfrac{a\sqrt b}{c},$ donde $a$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí y $b$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Semicircle $\Gamma$ has diameter $AB$ of length $14.$ Circle $\Omega$ lies tangent to $AB$ at a point $P$ and intersects $\Gamma$ at points $Q$ and $R.$ If $QR = 3\sqrt3$ and $\angle QPR = 60^\circ,$ then the area of $\triangle PQR$ is $\dfrac{a\sqrt b}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers and $b$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$110$

$114$

$118$

$122$

$126$

Conceptos:ley de los senos eje radical geometría analítica

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

En el círculo $\Omega,$ $QR = 2r\sin\angle QPR,$ lo que da el radio $r = 3$ .

In circle $\Omega,$ $QR = 2r\sin\angle QPR,$ which gives the radius $r = 3$

Pista grande:

Fija $A = (-7,0),$ $B = (7,0),$ $P = (p, 0),$ centro $(p, 3);$ el eje radical de los dos círculos ubica $QR,$ y el área es $\tfrac12\, QR\cdot d(P, QR)$ .

Set $A = (-7,0),$ $B = (7,0),$ $P = (p, 0),$ center $(p, 3);$ the radical axis of the two circles locates $QR,$ and the area is $\tfrac12\, QR\cdot d(P, QR)$

Solución:

En el círculo $\Omega$ , la cuerda $QR$ subtiende el ángulo inscrito $\angle QPR = 60^\circ$ , así que $QR = 2r\sin 60^\circ$ , lo que da $3\sqrt3 = r\sqrt3$ , de donde $r = 3$ .

Coloca $A = (-7, 0)$ , $B = (7, 0)$ , con $\Gamma: x^2 + y^2 = 49$ (mitad superior). Como $\Omega$ es tangente a $AB$ en $P = (p, 0)$ , su centro es $(p, 3)$ . Restar las dos ecuaciones de los círculos da la recta $QR$ , y la distancia del centro $(p,3)$ a $QR$ debe ser igual a $r\cos 60^\circ = \tfrac32$ . Esto da $(p^2 - 31)^2 = 9p^2 + 81$ , así que $p^2 = 16$ (la raíz $p^2 = 55$ coloca a $P$ fuera de $AB$ ).

Con $p^2 = 16$ , la distancia de $P$ a la recta $QR$ es $\dfrac{49 - p^2}{\sqrt{4p^2 + 36}} = \dfrac{33}{10}$ . Así $\begin{aligned} [\triangle PQR] &= \tfrac12\cdot QR\cdot d \\ &= \tfrac12\cdot 3\sqrt3\cdot\tfrac{33}{10} \\ &= \frac{99\sqrt3}{20}. \end{aligned}$ Entonces $a = 99$ , $b = 3$ , $c = 20$ , y $a + b + c = 122$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In circle $\Omega,$ the chord $QR$ subtends the inscribed angle $\angle QPR = 60^\circ,$ so $QR = 2r\sin 60^\circ,$ giving $3\sqrt3 = r\sqrt3,$ hence $r = 3.$

Place $A = (-7, 0),$ $B = (7, 0),$ with $\Gamma: x^2 + y^2 = 49$ (upper half). Since $\Omega$ is tangent to $AB$ at $P = (p, 0),$ its center is $(p, 3).$ Subtracting the two circle equations gives the line $QR,$ and the distance from the center $(p,3)$ to $QR$ must equal $r\cos 60^\circ = \tfrac32.$ This yields $(p^2 - 31)^2 = 9p^2 + 81,$ so $p^2 = 16$ (the root $p^2 = 55$ places $P$ outside $AB$ ).

With $p^2 = 16,$ the distance from $P$ to line $QR$ is $\dfrac{49 - p^2}{\sqrt{4p^2 + 36}} = \dfrac{33}{10}.$ Thus $\begin{aligned} [\triangle PQR] &= \tfrac12\cdot QR\cdot d \\ &= \tfrac12\cdot 3\sqrt3\cdot\tfrac{33}{10} \\ &= \frac{99\sqrt3}{20}. \end{aligned}$ So $a = 99,$ $b = 3,$ $c = 20,$ and $a + b + c = 122.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Sea $d(n)$ el número de enteros positivos que dividen a $n,$ incluyendo $1$ y $n.$ Por ejemplo, $d(1) = 1,$ $d(2) = 2,$ y $d(12) = 6.$ (Esta función se conoce como la función divisor.) Sea $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

Existe un único entero positivo $N$ tal que $f(N) \gt f(n)$ para todos los enteros positivos $n \ne N.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Let $d(n)$ denote the number of positive integers that divide $n,$ including $1$ and $n.$ For example, $d(1) = 1,$ $d(2) = 2,$ and $d(12) = 6.$ (This function is known as the divisor function.) Let $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

There is a unique positive integer $N$ such that $f(N) \gt f(n)$ for all positive integers $n \ne N.$ What is the sum of the digits of $N?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:conteo de factores factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 2610

Pista pequeña:

$f$ es multiplicativa, así que maximiza $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ independientemente para cada primo $p$ .

$f$ is multiplicative, so maximize $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ independently for each prime $p$

Pista grande:

Para $p = 2$ el mejor exponente es $3;$ para $p = 3$ es $2;$ para $p = 5, 7$ es $1;$ y para $p \ge 11$ es $0$ .

For $p = 2$ the best exponent is $3;$ for $p = 3$ it is $2;$ for $p = 5, 7$ it is $1;$ and for $p \ge 11$ it is $0$

Solución:

Como $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{\frac{1}{3}}}$ es multiplicativa, su valor se factoriza sobre las potencias primas como un producto de términos $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ para cada potencia prima $p^e\ \|\ n.$ Maximizamos cada término por separado.

Si $g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{\frac{e}{3}}},$ entonces $\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-\frac{1}{3}}.$ Esta razón disminuye con $e,$ de modo que el máximo único se encuentra comprobando cuándo cae por primera vez por debajo de $1$ . Esto da $e=3$ para $p=2,$ $e=2$ para $p=3,$ $e=1$ para $p=5,7,$ y $e=0$ para todo primo $p\ge11.$

Por tanto, $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520,$ cuya suma de cifras es $2 + 5 + 2 + 0 = 9.$

Así, la respuesta correcta es E.

Since $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{\frac{1}{3}}}$ is multiplicative, its value factors over prime powers as a product of terms $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ for each prime power $p^e\ \|\ n.$ We maximize each term separately.

If $g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{\frac{e}{3}}},$ then $\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-\frac{1}{3}}.$ This ratio decreases with $e,$ so checking where it first falls below $1$ finds the unique maximum. It gives $e=3$ for $p=2,$ $e=2$ for $p=3,$ $e=1$ for $p=5,7,$ and $e=0$ for every prime $p\ge11.$

Hence $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520,$ whose digit sum is $2 + 5 + 2 + 0 = 9.$

Thus, the correct answer is E.