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2002 AMC 12B Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2002 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

En △ABC,\triangle ABC, tenemos AB=1AB=1 y AC=2.AC=2. El lado BCBC y la mediana desde AA hacia BCBC tienen la misma longitud. ¿Cuánto vale BCBC?
In △ABC,\triangle ABC, we have AB=1AB=1 and AC=2.AC=2. Side BCBC and the median from AA to BCBC have the same length. What is BC?BC?
1+22\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}
1+32\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}
2\sqrt{2}
32\dfrac{3}{2}
3\sqrt{3}
Respuesta: C
Conceptos:mediana (geometría)ley de los cosenos
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Sea MM el punto medio de BC,BC, AM=2a,AM=2a, y θ=∠AMB\theta=\angle AMB.
Let MM be the midpoint of BC,BC, AM=2a,AM=2a, and θ=∠AMB\theta=\angle AMB
Pista grande:
Aplica la ley de los cosenos a △ABM\triangle ABM y △AMC\triangle AMC (ángulos θ\theta y 180∘−θ180^\circ-\theta) y suma.
Apply the Law of Cosines to △ABM\triangle ABM and △AMC\triangle AMC (angles θ\theta and 180∘−θ180^\circ-\theta) and add
Solución:
Sea MM el punto medio de BC,BC, pon AM=2a,AM=2a, y sea θ=∠AMB,\theta=\angle AMB, de modo que ∠AMC=180∘−θ.\angle AMC=180^\circ-\theta. Con BM=CM=a,BM=CM=a, de manera que BC=2a,BC=2a, la ley de los cosenos en △ABM\triangle ABM y △AMC\triangle AMC da a2+4a2−4a2cos⁡θ=1,a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1, a2+4a2+4a2cos⁡θ=4.a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.
Al sumar, 10a2=5,10a^2=5, así que a=22a=\dfrac{\sqrt2}{2} y BC=2a=2.BC=2a=\sqrt2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let MM be the midpoint of BC,BC, set AM=2a,AM=2a, and let θ=∠AMB,\theta=\angle AMB, so ∠AMC=180∘−θ.\angle AMC=180^\circ-\theta. With BM=CM=a,BM=CM=a, so that BC=2a,BC=2a, the Law of Cosines in △ABM\triangle ABM and △AMC\triangle AMC gives a2+4a2−4a2cos⁡θ=1,a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1, a2+4a2+4a2cos⁡θ=4.a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.
Adding, 10a2=5,10a^2=5, so a=22a=\dfrac{\sqrt2}{2} and BC=2a=2.BC=2a=\sqrt2.
Thus, the correct answer is C.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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