Question

En $\triangle ABC,$ tenemos $AB=1$ y $AC=2.$ El lado $BC$ y la mediana desde $A$ hacia $BC$ tienen la misma longitud. ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ we have $AB=1$ and $AC=2.$ Side $BC$ and the median from $A$ to $BC$ have the same length. What is $BC?$

$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{3}$

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Sea $M$ el punto medio de $BC,$ $AM=2a,$ y $\theta=\angle AMB$ .

Let $M$ be the midpoint of $BC,$ $AM=2a,$ and $\theta=\angle AMB$

Pista grande:

Aplica la ley de los cosenos a $\triangle ABM$ y $\triangle AMC$ (ángulos $\theta$ y $180^\circ-\theta$ ) y suma.

Apply the Law of Cosines to $\triangle ABM$ and $\triangle AMC$ (angles $\theta$ and $180^\circ-\theta$ ) and add

Solución:

Sea $M$ el punto medio de $BC,$ pon $AM=2a,$ y sea $\theta=\angle AMB,$ de modo que $\angle AMC=180^\circ-\theta.$ Con $BM=CM=a,$ de manera que $BC=2a,$ la ley de los cosenos en $\triangle ABM$ y $\triangle AMC$ da $a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1,$ $a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.$

Al sumar, $10a^2=5,$ así que $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ y $BC=2a=\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $M$ be the midpoint of $BC,$ set $AM=2a,$ and let $\theta=\angle AMB,$ so $\angle AMC=180^\circ-\theta.$ With $BM=CM=a,$ so that $BC=2a,$ the Law of Cosines in $\triangle ABM$ and $\triangle AMC$ gives $a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1,$ $a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.$

Adding, $10a^2=5,$ so $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ and $BC=2a=\sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12B Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años