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2016 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2016 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Se eligen tres números en el intervalo [0,1][0,1] de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los números elegidos sean las longitudes de los lados de un triángulo de área positiva?
Three numbers in the interval [0,1][0,1] are chosen independently and at random. What is the probability that the chosen numbers are the side lengths of a triangle with positive area?
16\dfrac{1}{6}
13\dfrac{1}{3}
12\dfrac{1}{2}
23\dfrac{2}{3}
56\dfrac{5}{6}
Respuesta: C
Conceptos:probabilidad geométricadesigualdad triangularvolumen
Nivel de dificultad: 2160
Pista pequeña:
Las ternas (x,y,z)(x,y,z) llenan un cubo unitario; el fallo significa que un número es ≥\ge que la suma de los otros dos.
The triples (x,y,z)(x,y,z) fill a unit cube; failure means one number ≥\ge the sum of the other two
Pista grande:
Cada región como z≥x+yz\ge x+y es un tetraedro de volumen 16\frac16.
Each region such as z≥x+yz\ge x+y is a tetrahedron of volume 16\frac16
Solución:
Las ternas ordenadas (x,y,z)(x,y,z) llenan el cubo unitario de volumen 1.1. No forman un triángulo exactamente cuando un valor es al menos la suma de los otros dos.
La región z≥x+yz\ge x+y es un tetraedro con vértices (0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1) de volumen 16.\frac16. Las regiones análogas x≥y+zx\ge y+z y y≥x+zy\ge x+z también tienen volumen 16\frac16 y tienen interiores disjuntos. Así que la probabilidad de fallo es 3⋅16=12,3\cdot\frac16=\frac12, y la probabilidad de triángulo es 1−12=12.1-\frac12=\frac12.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The ordered triples (x,y,z)(x,y,z) fill the unit cube of volume 1.1. They fail to form a triangle exactly when one value is at least the sum of the other two.
The region z≥x+yz\ge x+y is a tetrahedron with vertices (0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1) of volume 16.\frac16. The analogous regions x≥y+zx\ge y+z and y≥x+zy\ge x+z also have volume 16\frac16 and have disjoint interiors. So the failure probability is 3⋅16=12,3\cdot\frac16=\frac12, and the triangle probability is 1−12=12.1-\frac12=\frac12.
Thus, the correct answer is C.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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