Question

Se eligen tres números en el intervalo $[0,1]$ de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los números elegidos sean las longitudes de los lados de un triángulo de área positiva?

Three numbers in the interval $[0,1]$ are chosen independently and at random. What is the probability that the chosen numbers are the side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

Solución:

Las ternas ordenadas $(x,y,z)$ llenan el cubo unitario de volumen $1.$ No forman un triángulo exactamente cuando un valor es al menos la suma de los otros dos.

La región $z\ge x+y$ es un tetraedro con vértices $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)$ de volumen $\frac16.$ Las regiones análogas $x\ge y+z$ y $y\ge x+z$ también tienen volumen $\frac16$ y tienen interiores disjuntos. Así que la probabilidad de fallo es $3\cdot\frac16=\frac12,$ y la probabilidad de triángulo es $1-\frac12=\frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The ordered triples $(x,y,z)$ fill the unit cube of volume $1.$ They fail to form a triangle exactly when one value is at least the sum of the other two.

The region $z\ge x+y$ is a tetrahedron with vertices $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)$ of volume $\frac16.$ The analogous regions $x\ge y+z$ and $y\ge x+z$ also have volume $\frac16$ and have disjoint interiors. So the failure probability is $3\cdot\frac16=\frac12,$ and the triangle probability is $1-\frac12=\frac12.$

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años