Question

¿Cuántos triángulos rectángulos no congruentes con longitudes de catetos enteras positivas tienen áreas numéricamente iguales a $3$ veces sus perímetros?

How many non-congruent right triangles with positive integer leg lengths have areas that are numerically equal to $3$ times their perimeters?

$6$

$7$

$8$

$10$

$12$

Solución:

Sean los catetos $a\le b.$ La condición es $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right),$ así que $ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.$

Elevar al cuadrado y simplificar da $ab(ab-12a-12b+72)=0,$ por lo tanto $(a-12)(b-12)=72.$ Las soluciones enteras positivas son $(a,b)=(3,4),$ $(13,84),$ $(14,48),$ $(15,36),$ $(16,30),$ $(18,24),$ $(20,21).$

El par $(3,4)$ es extraño (su área $6$ no es igual a $3$ veces su perímetro $12$ ), así que exactamente $6$ triángulos funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the legs be $a\le b.$ The condition is $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right),$ so $ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.$

Squaring and simplifying gives $ab(ab-12a-12b+72)=0,$ hence $(a-12)(b-12)=72.$ The positive integer solutions are $(a,b)=(3,4),$ $(13,84),$ $(14,48),$ $(15,36),$ $(16,30),$ $(18,24),$ $(20,21).$

The pair $(3,4)$ is extraneous (its area $6$ does not equal $3$ times its perimeter $12$ ), so exactly $6$ triangles work.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años