Question

¿Cuántos triángulos rectángulos no congruentes con longitudes de catetos enteras positivas tienen áreas numéricamente iguales a $3$ veces sus perímetros?

How many non-congruent right triangles with positive integer leg lengths have areas that are numerically equal to $3$ times their perimeters?

$6$

$7$

$8$

$10$

$12$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo Ecuación diofántica Truco de factorización favorito de Simon

Nivel de dificultad: 2140

Pista pequeña:

Con catetos $a\le b,$ escribe $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)$ y despeja el radical.

With legs $a\le b,$ write $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)$ and isolate the radical

Pista grande:

Elevar al cuadrado y simplificar da $(a-12)(b-12)=72;$ cuenta los pares de factores y descarta los degenerados.

Squaring and simplifying yields $(a-12)(b-12)=72;$ check the factor-pair candidates in the original equation to remove extraneous ones

Solución:

Sean los catetos $a\le b.$ La condición es $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right),$ así que $ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.$

Elevar al cuadrado y simplificar da $ab(ab-12a-12b+72)=0,$ por lo tanto $(a-12)(b-12)=72.$ Las soluciones enteras positivas son $(a,b)=(3,4),$ $(13,84),$ $(14,48),$ $(15,36),$ $(16,30),$ $(18,24),$ $(20,21).$

El par $(3,4)$ es espurio: su área es $6,$ mientras que su perímetro es $12$ y el triple de eso es $36.$ Así que funcionan exactamente $6$ triángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the legs be $a\le b.$ The condition is $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right),$ so $ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.$

Squaring and simplifying gives $ab(ab-12a-12b+72)=0,$ hence $(a-12)(b-12)=72.$ The positive integer solutions are $(a,b)=(3,4),$ $(13,84),$ $(14,48),$ $(15,36),$ $(16,30),$ $(18,24),$ $(20,21).$

The pair $(3,4)$ is extraneous: its area is $6,$ while its perimeter is $12$ and three times that is $36.$ So exactly $6$ triangles work.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años