Question

En el triángulo $ABC,$ el lado $\overline{AC}$ y la mediatriz de $\overline{BC}$ se cortan en el punto $D,$ y $\overline{BD}$ biseca $\angle ABC.$ Si $AD = 9$ y $DC = 7,$ ¿cuál es el área del triángulo $ABD$ ?

In triangle $ABC,$ side $\overline{AC}$ and the perpendicular bisector of $\overline{BC}$ meet in point $D,$ and $\overline{BD}$ bisects $\angle ABC.$ If $AD = 9$ and $DC = 7,$ what is the area of triangle $ABD?$

$14$

$21$

$28$

$14\sqrt{5}$

$28\sqrt{5}$

Solución:

Como $D$ está en la mediatriz de $\overline{BC},$ $DB = DC = 7.$ La bisectriz del ángulo $\overline{BD}$ da $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7},$ así que escribimos $AB = 9x$ y $BC = 7x.$

Sea $\theta = \angle ABD = \angle DBC.$ En el triángulo isósceles $\triangle BDC,$ el pie de la perpendicular es el punto medio $M$ de $\overline{BC},$ así que $\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{7x/2}{7} = \dfrac{x}{2}.$

Aplicando la Ley de los Cosenos en $\triangle ABD:$ $9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2},$ que se simplifica a $81 = 18x^2 + 49,$ así que $x = \dfrac43$ y $AB = 12.$

Ahora $\triangle ABD$ tiene lados $9, 7, 12.$ Por la fórmula de Herón con $s = 14,$ el área es $\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $D$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{BC},$ $DB = DC = 7.$ The angle bisector $\overline{BD}$ gives $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7},$ so write $AB = 9x$ and $BC = 7x.$

Let $\theta = \angle ABD = \angle DBC.$ In isosceles $\triangle BDC,$ the foot of the perpendicular is the midpoint $M$ of $\overline{BC},$ so $\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{7x/2}{7} = \dfrac{x}{2}.$

Applying the Law of Cosines in $\triangle ABD:$ $9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2},$ which simplifies to $81 = 18x^2 + 49,$ so $x = \dfrac43$ and $AB = 12.$

Now $\triangle ABD$ has sides $9, 7, 12.$ By Heron's formula with $s = 14,$ the area is $\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años