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2002 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2002 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

En el triángulo ABC,ABC, el lado AC‾\overline{AC} y la mediatriz de BC‾\overline{BC} se cortan en el punto D,D, y BD‾\overline{BD} biseca ∠ABC.\angle ABC. Si AD=9AD = 9 y DC=7,DC = 7, ¿cuál es el área del triángulo ABDABD?

In triangle ABC,ABC, side AC‾\overline{AC} and the perpendicular bisector of BC‾\overline{BC} meet in point D,D, and BD‾\overline{BD} bisects ∠ABC.\angle ABC. If AD=9AD = 9 and DC=7,DC = 7, what is the area of triangle ABD?ABD?

1414

2121

2828

14514\sqrt{5}

28528\sqrt{5}

Respuesta: D
Conceptos:teorema de la bisectrizmediatrizley de los cosenosFórmula de Herón
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:

DD está en la mediatriz de BC‾,\overline{BC}, así que DB=DC=7DB = DC = 7.

DD is on the perpendicular bisector of BC‾,\overline{BC}, so DB=DC=7DB = DC = 7

Pista grande:

La bisectriz del ángulo da ABBC=ADDC=97;\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}; aplique la Ley de los Cosenos con cos⁡θ\cos\theta leído de △BDC\triangle BDC.

The angle bisector gives ABBC=ADDC=97;\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}; apply the Law of Cosines with cos⁡θ\cos\theta read from △BDC\triangle BDC

Solución:

Como DD está en la mediatriz de BC‾,\overline{BC}, DB=DC=7.DB = DC = 7. La bisectriz del ángulo BD‾\overline{BD} da ABBC=ADDC=97,\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}, así que escribimos AB=9xAB = 9x y BC=7x.BC = 7x.

Sea θ=∠ABD=∠DBC.\theta = \angle ABD = \angle DBC. En el triángulo isósceles △BDC,\triangle BDC, el pie de la perpendicular es el punto medio MM de BC‾,\overline{BC}, así que cos⁡θ=BMBD=7x27=x2.\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{\frac{7x}{2}}{7} = \dfrac{x}{2}.

Aplicando la Ley de los Cosenos en △ABD:\triangle ABD: 92=(9x)2+72−2(9x)(7)⋅x2,9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2}, que se simplifica a 81=18x2+49,81 = 18x^2 + 49, así que x=43x = \dfrac43 y AB=12.AB = 12.

Ahora △ABD\triangle ABD tiene lados 9,7,12.9, 7, 12. Por la fórmula de Herón con s=14,s = 14, el área es 14⋅5⋅7⋅2=980=145.\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since DD lies on the perpendicular bisector of BC‾,\overline{BC}, DB=DC=7.DB = DC = 7. The angle bisector BD‾\overline{BD} gives ABBC=ADDC=97,\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}, so write AB=9xAB = 9x and BC=7x.BC = 7x.

Let θ=∠ABD=∠DBC.\theta = \angle ABD = \angle DBC. In isosceles △BDC,\triangle BDC, the foot of the perpendicular is the midpoint MM of BC‾,\overline{BC}, so cos⁡θ=BMBD=7x27=x2.\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{\frac{7x}{2}}{7} = \dfrac{x}{2}.

Applying the Law of Cosines in △ABD:\triangle ABD: 92=(9x)2+72−2(9x)(7)⋅x2,9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2}, which simplifies to 81=18x2+49,81 = 18x^2 + 49, so x=43x = \dfrac43 and AB=12.AB = 12.

Now △ABD\triangle ABD has sides 9,7,12.9, 7, 12. By Heron’s formula with s=14,s = 14, the area is 14⋅5⋅7⋅2=980=145.\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.

Thus, the correct answer is D.

Problema 22#22
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