Soluciones del 2002 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Calcule la suma de todas las raíces de $\begin{aligned} &(2x+3)(x-4) \\ &\quad {}+(2x+3)(x-6)=0. \end{aligned}$

Compute the sum of all the roots of $\begin{aligned} &(2x+3)(x-4) \\ &\quad {}+(2x+3)(x-6)=0. \end{aligned}$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$5$

$7$

$13$

Conceptos:factorización Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Al factorizar $2x+3$ se obtiene $(2x+3)\big[(x-4)+(x-6)\big]$ $= (2x+3)(2x-10)$ $= 0.$

Las raíces son $-\dfrac{3}{2}$ y $5,$ cuya suma es $-\dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{7}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factoring out $2x+3$ gives $(2x+3)\big[(x-4)+(x-6)\big]$ $= (2x+3)(2x-10)$ $= 0.$

The roots are $-\dfrac{3}{2}$ and $5,$ whose sum is $-\dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

2.

La maestra le pidió a Cindy que restara $3$ de cierto número y luego dividiera el resultado entre $9.$ En cambio, ella restó $9$ y luego dividió el resultado entre $3,$ obteniendo como respuesta $43.$ ¿Cuál habría sido su respuesta si hubiera resuelto el problema correctamente?

Cindy was asked by her teacher to subtract $3$ from a certain number and then divide the result by $9.$ Instead, she subtracted $9$ and then divided the result by $3,$ giving an answer of $43.$ What would her answer have been had she worked the problem correctly?

$15$

$34$

$43$

$51$

$138$

Conceptos:trabajar hacia atrás ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Sea $x$ el número. Cindy calculó $\dfrac{x-9}{3} = 43,$ así que $x - 9 = 129$ y $x = 138.$

El cálculo correcto da $\dfrac{138-3}{9} = \dfrac{135}{9} = 15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $x$ be the number. Cindy computed $\dfrac{x-9}{3} = 43,$ so $x - 9 = 129$ and $x = 138.$

The correct computation gives $\dfrac{138-3}{9} = \dfrac{135}{9} = 15.$

Thus, the correct answer is A.

3.

De acuerdo con la convención estándar para la exponenciación, $2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{16} = 65{,}536.$ Si se cambia el orden en que se realizan las exponenciaciones, ¿cuántos otros valores son posibles?

According to the standard convention for exponentiation, $2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{16} = 65{,}536.$ If the order in which the exponentiations are performed is changed, how many other values are possible?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:orden de las operaciones exponente análisis por casos

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Las cinco formas de agrupar $2^{2^{2^2}}$ con paréntesis dan $\begin{aligned} &\left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^8, \\ &\left(2^{2^2}\right)^2 = 2^8, \\ &\left(2^2\right)^{2^2} = 2^8, \end{aligned}$ $2^{\left(2^2\right)^2} = 2^{16},\quad 2^{2^{2^2}} = 2^{16}.$

Así que los únicos valores son $2^{16} = 65{,}536$ y $2^8 = 256.$ Además del valor estándar hay exactamente $1$ otro.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The five parenthesizations of $2^{2^{2^2}}$ give $\begin{aligned} &\left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^8, \\ &\left(2^{2^2}\right)^2 = 2^8, \\ &\left(2^2\right)^{2^2} = 2^8, \end{aligned}$ $2^{\left(2^2\right)^2} = 2^{16},\quad 2^{2^{2^2}} = 2^{16}.$

So the only values are $2^{16} = 65{,}536$ and $2^8 = 256.$ Besides the standard value there is exactly $1$ other.

Thus, the correct answer is B.

4.

Halle la medida en grados de un ángulo cuyo complemento es el $25\%$ de su suplemento.

Find the degree measure of an angle whose complement is $25\%$ of its supplement.

$48$

$60$

$75$

$120$

$150$

Conceptos:suma de ángulos ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Sea $x$ el ángulo. Entonces $90 - x = \dfrac14(180 - x),$ de modo que $360 - 4x = 180 - x.$

Esto da $3x = 180,$ así que $x = 60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the angle be $x.$ Then $90 - x = \dfrac14(180 - x),$ so $360 - 4x = 180 - x.$

This gives $3x = 180,$ so $x = 60.$

Thus, the correct answer is B.

5.

Cada uno de los círculos pequeños de la figura tiene radio uno. El círculo más interior es tangente a los seis círculos que lo rodean, y cada uno de esos círculos es tangente al círculo grande y a sus círculos pequeños vecinos. Halle el área de la región sombreada.

Each of the small circles in the figure has radius one. The innermost circle is tangent to the six circles that surround it, and each of those circles is tangent to the large circle and to its small-circle neighbors. Find the area of the shaded region.

$\pi$

$1.5\pi$

$2\pi$

$3\pi$

$3.5\pi$

Conceptos:área del círculo circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Cada uno de los seis círculos unitarios exteriores es tangente al círculo unitario central, así que su centro está a $2$ unidades del centro. Sumando un radio más, el círculo grande tiene radio $3$ y área $9\pi.$

Los siete círculos unitarios tienen área total $7\pi,$ así que la región sombreada tiene área $9\pi - 7\pi = 2\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each of the six outer unit circles is tangent to the central unit circle, so its center is $2$ units from the center. Adding one more radius, the large circle has radius $3$ and area $9\pi.$

The seven unit circles have total area $7\pi,$ so the shaded region has area $9\pi - 7\pi = 2\pi.$

Thus, the correct answer is C.

6.

¿Para cuántos enteros positivos $m$ existe al menos un entero positivo $n$ tal que $m \cdot n \le m + n$ ?

For how many positive integers $m$ does there exist at least one positive integer $n$ such that $m \cdot n \le m + n?$

$4$

$6$

$9$

$12$

infinitos

infinitely many

Conceptos:desigualdad casos pequeños

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Tomando $n = 1,$ la desigualdad se convierte en $m \le m + 1,$ que se cumple para todo entero positivo $m.$

Así que todo entero positivo $m$ funciona, y hay infinitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking $n = 1,$ the inequality becomes $m \le m + 1,$ which holds for every positive integer $m.$

So every positive integer $m$ works, and there are infinitely many.

Thus, the correct answer is E.

7.

Si un arco de $45^\circ$ en el círculo $A$ tiene la misma longitud que un arco de $30^\circ$ en el círculo $B,$ entonces la razón entre el área del círculo $A$ y el área del círculo $B$ es

If an arc of $45^\circ$ on circle $A$ has the same length as an arc of $30^\circ$ on circle $B,$ then the ratio of the area of circle $A$ to the area of circle $B$ is

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{9}{4}$

Conceptos:arco área del círculo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Longitudes de arco iguales dan $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B,$ así que $\dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}.$

La razón de áreas es $\left(\dfrac{R_A}{R_B}\right)^2 = \dfrac{4}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Equal arc lengths give $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B,$ so $\dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}.$

The ratio of areas is $\left(\dfrac{R_A}{R_B}\right)^2 = \dfrac{4}{9}.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Betsy diseñó una bandera usando triángulos azules, pequeños cuadrados blancos y un cuadrado rojo central, como se muestra. Sea $B$ el área total de los triángulos azules, $W$ el área total de los cuadrados blancos y $R$ el área del cuadrado rojo. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

Betsy designed a flag using blue triangles, small white squares, and a red center square, as shown. Let $B$ be the total area of the blue triangles, $W$ the total area of the white squares, and $R$ the area of the red square. Which of the following is correct?

$B = W$

$W = R$

$B = R$

$3B = 2R$

$2R = W$

Conceptos:descomposición de áreas congruencia (geometría)

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

Trazando las diagonales mostradas, toda la bandera queda cubierta por triángulos congruentes. Contando, hay $24$ triángulos en la región azul, $24$ en la región blanca y $16$ en el cuadrado rojo.

Como las regiones azul y blanca contienen el mismo número de triángulos, $B = W.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Drawing the diagonals shown, the entire flag is tiled by congruent triangles. Counting, there are $24$ triangles in the blue region, $24$ in the white region, and $16$ in the red square.

Since the blue and white regions contain the same number of triangles, $B = W.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Jamal quiere almacenar $30$ archivos de computadora en disquetes, cada uno con una capacidad de $1.44$ megabytes (mb). Tres de sus archivos requieren $0.8$ mb de memoria cada uno, otros $12$ requieren $0.7$ mb cada uno, y los $15$ restantes requieren $0.4$ mb cada uno. Ningún archivo puede dividirse entre disquetes. ¿Cuál es el número mínimo de disquetes que contendrá todos los archivos?

Jamal wants to store $30$ computer files on floppy disks, each of which has a capacity of $1.44$ megabytes (mb). Three of his files require $0.8$ mb of memory each, $12$ more require $0.7$ mb each, and the remaining $15$ require $0.4$ mb each. No file can be split between floppy disks. What is the minimal number of floppy disks that will hold all the files?

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Conceptos:optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1570

Solución:

Los archivos necesitan $3(0.8)+12(0.7)$ $+15(0.4) = 16.8$ mb, así que al menos $\dfrac{16.8}{1.44} = 11\tfrac{2}{3}$ discos solo por volumen.

Un disco que contiene un archivo de $0.8$ -mb tiene espacio para solo un archivo más de $0.4$ -mb, dejando al menos $0.24$ mb sin usar. Entre los tres archivos de $0.8$ -mb esto desperdicia al menos $3(0.24) = 0.72$ mb, más de medio disco, lo que obliga a al menos $13$ discos.

Trece bastan: seis discos contienen cada uno dos archivos de $0.7$ -mb, tres discos contienen cada uno un archivo de $0.8$ -mb más un archivo de $0.4$ -mb, y cuatro discos contienen cada uno tres archivos de $0.4$ -mb.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The files need $3(0.8)+12(0.7)$ $+15(0.4) = 16.8$ mb, so at least $\dfrac{16.8}{1.44} = 11\tfrac{2}{3}$ disks by volume alone.

A disk containing a $0.8$ -mb file has room for only one more $0.4$ -mb file, leaving at least $0.24$ mb unused. Across the three $0.8$ -mb files this wastes at least $3(0.24) = 0.72$ mb, over half a disk, forcing at least $13$ disks.

Thirteen suffice: six disks each hold two $0.7$ -mb files, three disks each hold one $0.8$ -mb file plus one $0.4$ -mb file, and four disks each hold three $0.4$ -mb files.

Thus, the correct answer is B.

10.

Sarah vierte cuatro onzas de café en una taza de ocho onzas y cuatro onzas de crema en una segunda taza del mismo tamaño. Luego transfiere la mitad del café de la primera taza a la segunda y, después de revolver bien, transfiere la mitad del líquido de la segunda taza de vuelta a la primera. ¿Qué fracción del líquido de la primera taza es ahora crema?

Sarah pours four ounces of coffee into an eight-ounce cup and four ounces of cream into a second cup of the same size. She then transfers half the coffee from the first cup to the second and, after stirring thoroughly, transfers half the liquid in the second cup back to the first. What fraction of the liquid in the first cup is now cream?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:mezcla fracción

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Después de transferir la mitad del café, la taza $1$ tiene $2$ oz de café y la taza $2$ tiene $2$ oz de café y $4$ oz de crema, un total de $6$ oz.

Transferir de vuelta la mitad de la taza $2$ mueve $1$ oz de café y $2$ oz de crema. La taza $1$ entonces contiene $2 + 1 = 3$ oz de café y $2$ oz de crema.

La fracción que es crema es $\dfrac{2}{2+3} = \dfrac{2}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After transferring half the coffee, cup $1$ has $2$ oz coffee and cup $2$ has $2$ oz coffee and $4$ oz cream, a total of $6$ oz.

Transferring half of cup $2$ back moves $1$ oz coffee and $2$ oz cream. Cup $1$ then holds $2 + 1 = 3$ oz coffee and $2$ oz cream.

The fraction that is cream is $\dfrac{2}{2+3} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

11.

El Sr. Earl E. Bird sale de su casa hacia el trabajo exactamente a las 8:00 A.M. cada mañana. Cuando promedia $40$ millas por hora, llega a su trabajo tres minutos tarde. Cuando promedia $60$ millas por hora, llega tres minutos temprano. ¿A qué velocidad promedio, en millas por hora, debe conducir el Sr. Bird para llegar a su trabajo justo a tiempo?

Mr. Earl E. Bird leaves his house for work at exactly 8:00 A.M. every morning. When he averages $40$ miles per hour, he arrives at his workplace three minutes late. When he averages $60$ miles per hour, he arrives three minutes early. At what average speed, in miles per hour, should Mr. Bird drive to arrive at his workplace precisely on time?

$45$

$48$

$50$

$55$

$58$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

Sea $t$ el tiempo en horas para llegar a tiempo. Como tres minutos son $0.05$ horas, $40(t+0.05) = 60(t-0.05).$

Esto da $40t + 2 = 60t - 3,$ así que $t = 0.25.$ La distancia es $40(0.25+0.05) = 12$ millas, y la velocidad requerida es $\dfrac{12}{0.25} = 48$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $t$ be the time in hours to arrive on time. Since three minutes is $0.05$ hours, $40(t+0.05) = 60(t-0.05).$

This gives $40t + 2 = 60t - 3,$ so $t = 0.25.$ The distance is $40(0.25+0.05) = 12$ miles, and the required speed is $\dfrac{12}{0.25} = 48$ miles per hour.

Thus, the correct answer is B.

12.

Ambas raíces de la ecuación cuadrática $x^2 - 63x + k = 0$ son números primos. El número de valores posibles de $k$ es

Both roots of the quadratic equation $x^2 - 63x + k = 0$ are prime numbers. The number of possible values of $k$ is

$0$

$1$

$2$

$4$

más de cuatro

more than four

Conceptos:Fórmulas de Vieta primo paridad

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Si las raíces son los primos $p$ y $q,$ entonces por las fórmulas de Vieta $p + q = 63$ y $pq = k.$

Como $63$ es impar, uno de los primos debe ser par, es decir $2,$ y el otro es $61.$ Ambos son primos, así que $k = 2\cdot 61 = 122$ es el único valor posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the roots are primes $p$ and $q,$ then by Vieta's formulas $p + q = 63$ and $pq = k.$

Since $63$ is odd, one prime must be even, namely $2,$ and the other is $61.$ Both are prime, so $k = 2\cdot 61 = 122$ is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.

13.

Dos números positivos distintos $a$ y $b$ difieren cada uno de su recíproco en $1.$ ¿Cuánto vale $a + b$ ?

Two different positive numbers $a$ and $b$ each differ from their reciprocals by $1.$ What is $a + b?$

$1$

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$3$

Conceptos:ecuación racional cuadrática

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Un número positivo $x$ difiere de su recíproco en $1$ cuando $x - \dfrac1x = 1$ o $x - \dfrac1x = -1,$ es decir $x^2 - x - 1 = 0$ o $x^2 + x - 1 = 0.$

Las raíces positivas son $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ y $\dfrac{-1+\sqrt5}{2},$ que son recíprocas entre sí. Su suma es $a + b = \sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A positive number $x$ differs from its reciprocal by $1$ when $x - \dfrac1x = 1$ or $x - \dfrac1x = -1,$ i.e. $x^2 - x - 1 = 0$ or $x^2 + x - 1 = 0.$

The positive roots are $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ and $\dfrac{-1+\sqrt5}{2},$ which are reciprocals of each other. Their sum is $a + b = \sqrt5.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Para todos los enteros positivos $n,$ sea $f(n) = \log_{2002} n^2.$ Sea $N = f(11) + f(13) + f(14).$ ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

For all positive integers $n,$ let $f(n) = \log_{2002} n^2.$ Let $N = f(11) + f(13) + f(14).$ Which of the following relations is true?

$N \gt 1$

$N = 1$

$1 \lt N \lt 2$

$N = 2$

$N \gt 2$

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Usando $\log a^2 = 2\log a$ y sumando logaritmos, $\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2. \end{aligned}$

Como $11\cdot 13\cdot 14 = 2002,$ esto es $\log_{2002} 2002^2 = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $\log a^2 = 2\log a$ and adding logs, $\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2. \end{aligned}$

Since $11\cdot 13\cdot 14 = 2002,$ this is $\log_{2002} 2002^2 = 2.$

Thus, the correct answer is D.

15.

La media, la mediana, la moda única y el rango de una colección de ocho enteros son todos iguales a $8.$ El mayor entero que puede ser un elemento de esta colección es

The mean, median, unique mode, and range of a collection of eight integers are all equal to $8.$ The largest integer that can be an element of this collection is

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:media rango argumento extremal

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

La colección $6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14$ tiene media, mediana, moda única y rango todos iguales a $8,$ así que $14$ es alcanzable.

Suponga que el mayor fuera $15.$ El rango $8$ obliga a que el menor sea $7,$ y la mediana $8$ fija los dos valores centrales en $8, 8.$ Entonces $7 + 8 + 8 + 15 = 38,$ así que los cuatro valores restantes suman $64 - 38 = 26,$ con promedio $6.5.$ Al menos uno estaría por debajo de $7,$ contradiciendo el mínimo. Así que $15$ es imposible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The collection $6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14$ has mean, median, unique mode, and range all equal to $8,$ so $14$ is attainable.

Suppose the largest were $15.$ The range $8$ forces the smallest to be $7,$ and the median $8$ fixes the two middle values as $8, 8.$ Then $7 + 8 + 8 + 15 = 38,$ so the remaining four values sum to $64 - 38 = 26,$ averaging $6.5.$ At least one would be below $7,$ contradicting the minimum. So $15$ is impossible.

Thus, the correct answer is D.

16.

Tina selecciona al azar dos números distintos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ y Sergio selecciona al azar un número del conjunto $\{1, 2, \ldots, 10\}.$ La probabilidad de que el número de Sergio sea mayor que la suma de los dos números elegidos por Tina es

Tina randomly selects two distinct numbers from the set $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ and Sergio randomly selects a number from the set $\{1, 2, \ldots, 10\}.$ The probability that Sergio's number is larger than the sum of the two numbers chosen by Tina is

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{9}{20}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{20}$

$\dfrac{24}{25}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Los diez pares de Tina tienen sumas $3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9.$ Para una suma $s,$ el número de Sergio la supera con probabilidad $\dfrac{10 - s}{10}.$

Los valores correspondientes de $10 - s$ son $7, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 1,$ que suman $40.$ La probabilidad total es $\dfrac{40}{10\cdot 10} = \dfrac{2}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Tina's ten pairs have sums $3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9.$ For a sum $s,$ Sergio's number exceeds it with probability $\dfrac{10 - s}{10}.$

The corresponding values of $10 - s$ are $7, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 1,$ totaling $40.$ The overall probability is $\dfrac{40}{10\cdot 10} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is A.

17.

Varios conjuntos de números primos, como $\{7, 83, 421, 659\},$ usan cada uno de los nueve dígitos no nulos exactamente una vez. ¿Cuál es la menor suma posible que podría tener tal conjunto de primos?

Several sets of prime numbers, such as $\{7, 83, 421, 659\},$ use each of the nine nonzero digits exactly once. What is the smallest possible sum such a set of primes could have?

$193$

$207$

$225$

$252$

$477$

Conceptos:primo dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Los dígitos pares $4, 6, 8$ no pueden ser el dígito de las unidades de un primo de varios dígitos, así que cada uno debe aparecer en las decenas o más, aportando al menos $40 + 60 + 80 = 180.$ Los otros seis dígitos aportan al menos $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27,$ así que la suma es al menos $207.$

Esta cota se alcanza, por ejemplo con $\{2, 3, 5, 41, 67, 89\},$ cuya suma es $207.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The even digits $4, 6, 8$ cannot be the units digit of a multi-digit prime, so each must appear in a tens place or higher, contributing at least $40 + 60 + 80 = 180.$ The other six digits contribute at least $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27,$ so the sum is at least $207.$

This bound is achieved, for example by $\{2, 3, 5, 41, 67, 89\},$ whose sum is $207.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Sean $C_1$ y $C_2$ los círculos definidos por $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ y $(x + 15)^2 + y^2 = 81,$ respectivamente. ¿Cuál es la longitud del segmento de recta más corto $\overline{PQ}$ que es tangente a $C_1$ en $P$ y a $C_2$ en $Q$ ?

Let $C_1$ and $C_2$ be circles defined by $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ and $(x + 15)^2 + y^2 = 81,$ respectively. What is the length of the shortest line segment $\overline{PQ}$ that is tangent to $C_1$ at $P$ and to $C_2$ at $Q?$

$15$

$18$

$20$

$21$

$24$

Conceptos:recta tangente semejanza Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Los centros son $A = (10, 0)$ y $B = (-15, 0),$ con radios $6$ y $9,$ así que $AB = 25.$ La tangente más corta es la interior, que corta $\overline{AB}$ en un punto $D$ que lo divide en la razón $6 : 9,$ dando $D = (0, 0).$

Los triángulos rectángulos $APD$ y $BQD$ son semejantes con razón $2 : 3.$ Entonces $PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ y $QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,$ así que $PQ = 8 + 12 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The centers are $A = (10, 0)$ and $B = (-15, 0),$ with radii $6$ and $9,$ so $AB = 25.$ The shortest tangent is the internal one, meeting $\overline{AB}$ at a point $D$ that splits it in the ratio $6 : 9,$ giving $D = (0, 0).$

The right triangles $APD$ and $BQD$ are similar with ratio $2 : 3.$ Then $PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ and $QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,$ so $PQ = 8 + 12 = 20.$

Thus, the correct answer is C.

19.

La gráfica de la función $f$ se muestra a continuación. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $f(f(x)) = 6$ ?

The graph of the function $f$ is shown below. How many solutions does the equation $f(f(x)) = 6$ have?

$2$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:función interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

La gráfica alcanza $6$ en $x = -2$ y $x = 1,$ así que $f(f(x)) = 6$ requiere $f(x) = -2$ o $f(x) = 1.$

La recta horizontal $y = -2$ corta la gráfica dos veces, y $y = 1$ la corta cuatro veces, dando $2 + 4 = 6$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The graph reaches $6$ at $x = -2$ and $x = 1,$ so $f(f(x)) = 6$ requires $f(x) = -2$ or $f(x) = 1.$

The horizontal line $y = -2$ meets the graph twice, and $y = 1$ meets it four times, giving $2 + 4 = 6$ solutions.

Thus, the correct answer is D.

20.

Suponga que $a$ y $b$ son dígitos, no ambos nueve y no ambos cero, y el decimal periódico $0.\overline{ab}$ se expresa como una fracción en su mínima expresión. ¿Cuántos denominadores diferentes son posibles?

Suppose that $a$ and $b$ are digits, not both nine and not both zero, and the repeating decimal $0.\overline{ab}$ is expressed as a fraction in lowest terms. How many different denominators are possible?

$3$

$4$

$5$

$8$

$9$

Conceptos:decimal periódico factor

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Como $0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99},$ el denominador reducido divide $99 = 3^2\cdot 11.$ Los divisores son $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

El denominador $1$ requeriría $\overline{ab} = 99,$ es decir $a = b = 9,$ que está excluido. Cada uno de $3, 9, 11, 33, 99$ es alcanzable, dando $5$ denominadores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99},$ the reduced denominator divides $99 = 3^2\cdot 11.$ The divisors are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

The denominator $1$ would require $\overline{ab} = 99,$ i.e. $a = b = 9,$ which is excluded. Each of $3, 9, 11, 33, 99$ is achievable, giving $5$ possible denominators.

Thus, the correct answer is C.

21.

Considere la sucesión de números $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, \ldots$ Para $n \gt 2,$ el $n$ -ésimo término de la sucesión es el dígito de las unidades de la suma de los dos términos anteriores. Sea $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos de esta sucesión. El menor valor de $n$ para el cual $S_n \gt 10{,}000$ es

Consider the sequence of numbers $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, \ldots$ For $n \gt 2,$ the $n$ th term of the sequence is the units digit of the sum of the two previous terms. Let $S_n$ denote the sum of the first $n$ terms of this sequence. The smallest value of $n$ for which $S_n \gt 10{,}000$ is

$1992$

$1999$

$2001$

$2002$

$2004$

Conceptos:dígito de las unidades sumatoria reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Continuando la sucesión se obtiene $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6,$ $3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots,$ que se repite con período $12.$ Cada bloque de $12$ términos suma $60.$

El mayor $k$ con $60k \le 10{,}000$ es $k = 166,$ dando $S_{12\cdot 166} = 9960.$ Sumando los siguientes términos $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ se aportan $42,$ llevando el total más allá de $10{,}000.$ Así que $n = 12\cdot 166 + 7 = 1999.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Continuing the sequence gives $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6,$ $3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots,$ which repeats with period $12.$ Each block of $12$ terms sums to $60.$

The largest $k$ with $60k \le 10{,}000$ is $k = 166,$ giving $S_{12\cdot 166} = 9960.$ Adding the next terms $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ contributes $42,$ pushing the total past $10{,}000.$ So $n = 12\cdot 166 + 7 = 1999.$

Thus, the correct answer is B.

22.

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo con $\angle ACB$ como su ángulo recto, $m\angle ABC = 60^\circ,$ y $AB = 10.$ Sea $P$ elegido al azar dentro de $\triangle ABC,$ y extienda $\overline{BP}$ hasta cortar $\overline{AC}$ en $D.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $BD \gt 5\sqrt{2}$ ?

Triangle $ABC$ is a right triangle with $\angle ACB$ as its right angle, $m\angle ABC = 60^\circ,$ and $AB = 10.$ Let $P$ be randomly chosen inside $\triangle ABC,$ and extend $\overline{BP}$ to meet $\overline{AC}$ at $D.$ What is the probability that $BD \gt 5\sqrt{2}?$

$\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5}$

Conceptos:probabilidad geométrica razón de áreas triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Como $AB = 10$ y $\angle ABC = 60^\circ,$ el triángulo $30$ - $60$ - $90$ tiene $BC = 5$ y $AC = 5\sqrt3.$

Ubique $E$ en $\overline{AC}$ con $CE = 5;$ entonces $BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.$ A medida que $D$ se mueve a lo largo de $\overline{AC},$ $BD = \sqrt{25 + CD^2}$ supera $5\sqrt2$ exactamente cuando $CD \gt 5,$ es decir cuando $D$ queda más allá de $E,$ lo que ocurre si y solo si $P$ está dentro de $\triangle ABE.$

La probabilidad es $\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB = 10$ and $\angle ABC = 60^\circ,$ the $30$ - $60$ - $90$ triangle has $BC = 5$ and $AC = 5\sqrt3.$

Place $E$ on $\overline{AC}$ with $CE = 5;$ then $BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.$ As $D$ moves along $\overline{AC},$ $BD = \sqrt{25 + CD^2}$ exceeds $5\sqrt2$ exactly when $CD \gt 5,$ i.e. when $D$ lies beyond $E,$ which happens iff $P$ is inside $\triangle ABE.$

The probability is $\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

23.

En el triángulo $ABC,$ el lado $\overline{AC}$ y la mediatriz de $\overline{BC}$ se cortan en el punto $D,$ y $\overline{BD}$ biseca $\angle ABC.$ Si $AD = 9$ y $DC = 7,$ ¿cuál es el área del triángulo $ABD$ ?

In triangle $ABC,$ side $\overline{AC}$ and the perpendicular bisector of $\overline{BC}$ meet in point $D,$ and $\overline{BD}$ bisects $\angle ABC.$ If $AD = 9$ and $DC = 7,$ what is the area of triangle $ABD?$

$14$

$21$

$28$

$14\sqrt{5}$

$28\sqrt{5}$

Conceptos:teorema de la bisectriz mediatriz ley de los cosenos Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Como $D$ está en la mediatriz de $\overline{BC},$ $DB = DC = 7.$ La bisectriz del ángulo $\overline{BD}$ da $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7},$ así que escribimos $AB = 9x$ y $BC = 7x.$

Sea $\theta = \angle ABD = \angle DBC.$ En el triángulo isósceles $\triangle BDC,$ el pie de la perpendicular es el punto medio $M$ de $\overline{BC},$ así que $\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{7x/2}{7} = \dfrac{x}{2}.$

Aplicando la Ley de los Cosenos en $\triangle ABD:$ $9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2},$ que se simplifica a $81 = 18x^2 + 49,$ así que $x = \dfrac43$ y $AB = 12.$

Ahora $\triangle ABD$ tiene lados $9, 7, 12.$ Por la fórmula de Herón con $s = 14,$ el área es $\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $D$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{BC},$ $DB = DC = 7.$ The angle bisector $\overline{BD}$ gives $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7},$ so write $AB = 9x$ and $BC = 7x.$

Let $\theta = \angle ABD = \angle DBC.$ In isosceles $\triangle BDC,$ the foot of the perpendicular is the midpoint $M$ of $\overline{BC},$ so $\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{7x/2}{7} = \dfrac{x}{2}.$

Applying the Law of Cosines in $\triangle ABD:$ $9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2},$ which simplifies to $81 = 18x^2 + 49,$ so $x = \dfrac43$ and $AB = 12.$

Now $\triangle ABD$ has sides $9, 7, 12.$ By Heron's formula with $s = 14,$ the area is $\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.$

Thus, the correct answer is D.

24.

Halle el número de pares ordenados de números reales $(a, b)$ tales que $(a + bi)^{2002} = a - bi.$

Find the number of ordered pairs of real numbers $(a, b)$ such that $(a + bi)^{2002} = a - bi.$

$1001$

$1002$

$2001$

$2002$

$2004$

Conceptos:número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Sea $z = a + bi.$ La ecuación es $z^{2002} = \overline{z}.$ Tomando módulos, $|z|^{2002} = |z|,$ así que $|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0,$ dando $|z| = 0$ o $|z| = 1.$

Si $|z| = 0,$ entonces $(a, b) = (0, 0),$ una solución. Si $|z| = 1,$ entonces $\overline{z} = \dfrac1z,$ así que $z^{2002} = \dfrac1z,$ es decir $z^{2003} = 1,$ que tiene $2003$ raíces distintas.

En total hay $1 + 2003 = 2004$ pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $z = a + bi.$ The equation is $z^{2002} = \overline{z}.$ Taking magnitudes, $|z|^{2002} = |z|,$ so $|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0,$ giving $|z| = 0$ or $|z| = 1.$

If $|z| = 0,$ then $(a, b) = (0, 0),$ one solution. If $|z| = 1,$ then $\overline{z} = \dfrac1z,$ so $z^{2002} = \dfrac1z,$ i.e. $z^{2003} = 1,$ which has $2003$ distinct roots.

Altogether there are $1 + 2003 = 2004$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.

25.

Todos los coeficientes no nulos de un polinomio $P$ con coeficientes reales se reemplazan por su media para formar un polinomio $Q.$ ¿Cuál de las siguientes podría ser una gráfica de $y = P(x)$ y $y = Q(x)$ en el intervalo $-4 \le x \le 4$ ?

The nonzero coefficients of a polynomial $P$ with real coefficients are all replaced by their mean to form a polynomial $Q.$ Which of the following could be a graph of $y = P(x)$ and $y = Q(x)$ over the interval $-4 \le x \le 4?$

Conceptos:polinomio interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Reemplazar los coeficientes no nulos por su media mantiene sin cambios el total de los coeficientes, así que $P$ y $Q$ tienen la misma suma de coeficientes. Como $P(1)$ y $Q(1)$ son iguales cada uno a esa suma, $P(1) = Q(1).$

Por lo tanto las gráficas de $y = P(x)$ y $y = Q(x)$ deben cruzarse en $x = 1.$ La única opción que muestra una intersección en $x = 1$ es la gráfica B. (Allí, $P(x) = 2x^4 - 3x^2 - 3x - 4$ y $Q(x) = -2x^4 - 2x^2 - 2x - 2.$ )

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Replacing the nonzero coefficients by their mean keeps the total of the coefficients unchanged, so $P$ and $Q$ have the same coefficient sum. Since $P(1)$ and $Q(1)$ each equal that sum, $P(1) = Q(1).$

Therefore the graphs of $y = P(x)$ and $y = Q(x)$ must cross at $x = 1.$ The only choice showing an intersection at $x = 1$ is graph B. (There, $P(x) = 2x^4 - 3x^2 - 3x - 4$ and $Q(x) = -2x^4 - 2x^2 - 2x - 2.$ )

Thus, the correct answer is B.