Question

Halle el número de pares ordenados de números reales $(a, b)$ tales que $(a + bi)^{2002} = a - bi.$

Find the number of ordered pairs of real numbers $(a, b)$ such that $(a + bi)^{2002} = a - bi.$

$1001$

$1002$

$2001$

$2002$

$2004$

Solución:

Sea $z = a + bi.$ La ecuación es $z^{2002} = \overline{z}.$ Tomando módulos, $|z|^{2002} = |z|,$ así que $|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0,$ dando $|z| = 0$ o $|z| = 1.$

Si $|z| = 0,$ entonces $(a, b) = (0, 0),$ una solución. Si $|z| = 1,$ entonces $\overline{z} = \dfrac1z,$ así que $z^{2002} = \dfrac1z,$ es decir $z^{2003} = 1,$ que tiene $2003$ raíces distintas.

En total hay $1 + 2003 = 2004$ pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $z = a + bi.$ The equation is $z^{2002} = \overline{z}.$ Taking magnitudes, $|z|^{2002} = |z|,$ so $|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0,$ giving $|z| = 0$ or $|z| = 1.$

If $|z| = 0,$ then $(a, b) = (0, 0),$ one solution. If $|z| = 1,$ then $\overline{z} = \dfrac1z,$ so $z^{2002} = \dfrac1z,$ i.e. $z^{2003} = 1,$ which has $2003$ distinct roots.

Altogether there are $1 + 2003 = 2004$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años