Question

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $AB = 18,$ $\angle A = 60^\circ,$ y $\overline{AB} \parallel \overline{CD}.$ En algún orden, las longitudes de los cuatro lados forman una progresión aritmética, y el lado $AB$ es un lado de longitud máxima. La longitud de otro lado es $a.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $a$ ?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 18,$ $\angle A = 60^\circ,$ and $\overline{AB} \parallel \overline{CD}.$ In some order, the lengths of the four sides form an arithmetic progression, and side $AB$ is a side of maximum length. The length of another side is $a.$ What is the sum of all possible values of $a?$

$24$

$42$

$60$

$66$

$84$

Solución:

Como $AB = 18$ es el mayor, los cuatro lados son $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.$ Colocando $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ y $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ con $m = DA,$ la base $\overline{CD}$ es horizontal, dando $C$ y por tanto una condición de longitud sobre $BC.$

Resolviendo sobre las asignaciones se obtienen dos trapecios genuinos: lados $\{18, 16, 14, 12\}$ (con $d = 2$ ) y lados $\{18, 13, 8, 3\}$ (con $d = 5$ ). El caso degenerado $d = 0$ es el rombo con todos los lados $18.$

Los valores posibles de una longitud de lado distinto de $AB$ son $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},$ cuya suma es $84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $AB = 18$ is the largest, the four sides are $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.$ Placing $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ and $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ with $m = DA,$ the base $\overline{CD}$ is horizontal, giving $C$ and hence a length condition on $BC.$

Solving over the assignments yields two genuine trapezoids: sides $\{18, 16, 14, 12\}$ (with $d = 2$ ) and sides $\{18, 13, 8, 3\}$ (with $d = 5$ ). The degenerate $d = 0$ case is the rhombus with all sides $18.$

The possible values of a non- $AB$ side length are $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},$ whose sum is $84.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años