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2021 AMC 12A Fall Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2021 AMC 12A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

El cuadrilátero convexo ABCDABCD tiene AB=18,AB = 18, ∠A=60∘,\angle A = 60^\circ, y AB‾∥CD‾.\overline{AB} \parallel \overline{CD}. En algún orden, las longitudes de los cuatro lados forman una progresión aritmética, y el lado ABAB es un lado de longitud máxima. La longitud de otro lado es a.a. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de aa?

Convex quadrilateral ABCDABCD has AB=18,AB = 18, ∠A=60∘,\angle A = 60^\circ, and AB‾∥CD‾.\overline{AB} \parallel \overline{CD}. In some order, the lengths of the four sides form an arithmetic progression, and side ABAB is a side of maximum length. The length of another side is a.a. What is the sum of all possible values of a?a?

2424

4242

6060

6666

8484

Respuesta: E
Conceptos:trapeciosucesión aritméticaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:

Como AB=18AB = 18 es el máximo, los cuatro lados son 18,18−d,18−2d,18−3d;18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d; coloca A=(0,0),A = (0,0), B=(18,0),B = (18,0), y DD en el ángulo 60∘60^\circ

With AB=18AB = 18 the maximum, the four sides are 18,18−d,18−2d,18−3d;18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d; place A=(0,0),A = (0,0), B=(18,0),B = (18,0), and DD at angle 60∘60^\circ

Pista grande:

Para cada asignación de las tres longitudes menores a BC,CD,DA,BC, CD, DA, impón que CD‾\overline{CD} sea horizontal y despeja d;d; incluye también el rombo degenerado d=0d = 0

For each assignment of the three smaller lengths to BC,CD,DA,BC, CD, DA, impose that CD‾\overline{CD} is horizontal and solve for d;d; also include common difference d=0d = 0

Solución:

Como AB=18AB = 18 es el mayor, los cuatro lados son 18,18−d,18−2d,18−3d.18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d. Tomemos A=(0,0),A = (0,0), B=(18,0),B = (18,0), y D=(m2,m32)D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right) con m=DA,m=DA, y sean n=CDn=CD y ℓ=BC.\ell=BC. Entonces C=(m2+n,m32),C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}), así que ℓ2=m2+(18−n)2−m(18−n). \begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}

Escribamos uj=18−jdu_j=18-jd para j=1,2,3.j=1,2,3. Al sustituir las permutaciones 123,132,213,231,312,321123,132,213,231,312,321 de (u1,u2,u3)(u_1,u_2,u_3) por (m,n,ℓ)(m,n,\ell), se obtienen los candidatos no nulos d=18,2,9,5,6,6,d=18,2,9,5,6,6, respectivamente. La positividad de u3u_3 exige d<6,d<6, dejando solo d=2d=2 y d=5.d=5. El caso d=0d=0 también da un rombo válido.

Así, los conjuntos de lados son {18,16,14,12},\{18,16,14,12\}, {18,13,8,3},\{18,13,8,3\}, y {18,18,18,18}.\{18,18,18,18\}.

Los posibles valores de un lado distinto de ABAB son {3,8,12,13,14,16,18},\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\}, cuya suma es 84.84.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since AB=18AB = 18 is the largest, the four sides are 18,18−d,18−2d,18−3d.18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d. Placing A=(0,0),A = (0,0), B=(18,0),B = (18,0), and D=(m2,m32)D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right) with m=DA,m=DA, let n=CDn=CD and ℓ=BC.\ell=BC. Then C=(m2+n,m32),C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}), so ℓ2=m2+(18−n)2−m(18−n). \begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}

Write uj=18−jdu_j=18-jd for j=1,2,3.j=1,2,3. Substituting the permutations 123,132,213,231,312,321123,132,213,231,312,321 of (u1,u2,u3)(u_1,u_2,u_3) for (m,n,ℓ)(m,n,\ell) gives the nonzero candidates d=18,2,9,5,6,6,d=18,2,9,5,6,6, respectively. Positivity of u3u_3 requires d<6,d<6, leaving only d=2d=2 and d=5.d=5. The case d=0d=0 also gives a valid rhombus.

Thus the side sets are {18,16,14,12},\{18,16,14,12\}, {18,13,8,3},\{18,13,8,3\}, and {18,18,18,18}.\{18,18,18,18\}.

The possible values of a non-ABAB side length are {3,8,12,13,14,16,18},\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\}, whose sum is 84.84.

Thus, the correct answer is E.

Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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