Question

Sea $S$ el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ del plano coordenado tales que $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ y $0 \le y \le \dfrac{\pi}{2}$ . ¿Cuál es el área del subconjunto de $S$ para el cual $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y \le \frac{3}{4}$ ?

Let $S$ be the set of all points $(x, y)$ in the coordinate plane such that $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ and $0 \le y \le \dfrac{\pi}{2}.$ What is the area of the subset of $S$ for which $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y \le \frac{3}{4}?$

$\dfrac{\pi^2}{9}$

$\dfrac{\pi^2}{8}$

$\dfrac{\pi^2}{6}$

$\dfrac{3\pi^2}{16}$

$\dfrac{2\pi^2}{9}$

Solución:

Fijando $y$ , trata $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y = \dfrac34$ como una ecuación cuadrática en $\sin x$ : $\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2}\sin y \\ &\quad {}\pm \frac{\sqrt3}{2}\cos y \\ &\quad = \sin\!\left(y \pm \frac{\pi}{3}\right). \end{aligned}$

Dentro de $S$ , $\sin x = \sin\!\left(y - \tfrac{\pi}{3}\right)$ da la recta $x = y - \tfrac{\pi}{3}$ ; mientras que $\sin x = \sin\!\left(y + \tfrac{\pi}{3}\right)$ da $x = y + \tfrac{\pi}{3}$ para $y \le \tfrac{\pi}{6}$ y $x = -y + \tfrac{2\pi}{3}$ para $y \ge \tfrac{\pi}{6}$ .

Estas rectas dividen $S$ en varias regiones; al probar las esquinas se ve que la desigualdad solo se cumple en la banda central. Su área es $\begin{aligned} &\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &\quad = \frac{\pi^2}{6}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Fixing $y,$ solve $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y = \dfrac34$ as a quadratic in $\sin x:$ $\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2}\sin y \\ &\quad {}\pm \frac{\sqrt3}{2}\cos y \\ &\quad = \sin\!\left(y \pm \frac{\pi}{3}\right). \end{aligned}$

Within $S,$ $\sin x = \sin\!\left(y - \tfrac{\pi}{3}\right)$ gives the line $x = y - \tfrac{\pi}{3},$ while $\sin x = \sin\!\left(y + \tfrac{\pi}{3}\right)$ gives $x = y + \tfrac{\pi}{3}$ for $y \le \tfrac{\pi}{6}$ and $x = -y + \tfrac{2\pi}{3}$ for $y \ge \tfrac{\pi}{6}.$

These lines split $S$ into regions; testing the corners shows the inequality holds only in the middle band. Its area is $\begin{aligned} &\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &\quad = \frac{\pi^2}{6}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años