Soluciones del 2006 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente suma? $(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}?$

What is $(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}?$

$-2006$

$-1$

$0$

$1$

$2006$

Conceptos:exponente emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

$(-1)^k$ es igual a $1$ cuando $k$ es par, y a $-1$ cuando $k$ es impar.

$(-1)^k$ equals $1$ when $k$ is even and $-1$ when $k$ is odd

Pista grande:

Agrupa los $2006$ términos en parejas consecutivas $(-1)+1$ .

Group the $2006$ terms into consecutive pairs $(-1)+1$

Solución:

Como $(-1)^k = -1$ cuando $k$ es impar y $(-1)^k = 1$ cuando $k$ es par, los términos se alternan $-1, 1, -1, 1, \ldots$ .

Hay $2006$ términos, que forman $1003$ parejas, cada una igual a $(-1) + 1 = 0.$ La suma total es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $(-1)^k = -1$ for odd $k$ and $(-1)^k = 1$ for even $k,$ the terms alternate $-1, 1, -1, 1, \ldots$

There are $2006$ terms, forming $1003$ pairs, each equal to $(-1) + 1 = 0.$ The total is $0.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Para los números reales $x$ y $y$ , se define $x \spadesuit y = (x + y)(x - y).$ ¿Cuánto vale $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)$ ?

For real numbers $x$ and $y,$ define $x \spadesuit y = (x + y)(x - y).$ What is $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)?$

$-72$

$-27$

$-24$

$24$

$72$

Conceptos:operación personalizada diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Observa que $x \spadesuit y = x^2 - y^2$ .

Note that $x \spadesuit y = x^2 - y^2$

Pista grande:

Evalúa primero el interior $4 \spadesuit 5$ , y luego aplica la operación de nuevo.

Evaluate the inner $4 \spadesuit 5$ first, then apply the operation again

Solución:

Como $x \spadesuit y = x^2 - y^2,$ el valor interior es $4 \spadesuit 5 = 16 - 25 = -9.$

Entonces $3 \spadesuit (-9) = 3^2 - (-9)^2$ $= 9 - 81 = -72.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $x \spadesuit y = x^2 - y^2,$ the inner value is $4 \spadesuit 5 = 16 - 25 = -9.$

Then $3 \spadesuit (-9) = 3^2 - (-9)^2$ $= 9 - 81 = -72.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Se jugó un partido de fútbol americano entre dos equipos, los Cougars y los Panthers. Los dos equipos anotaron un total de $34$ puntos, y los Cougars ganaron por un margen de $14$ puntos. ¿Cuántos puntos anotaron los Panthers?

A football game was played between two teams, the Cougars and the Panthers. The two teams scored a total of $34$ points, and the Cougars won by a margin of $14$ points. How many points did the Panthers score?

$10$

$14$

$17$

$20$

$24$

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Sean $c$ y $p$ las dos puntuaciones, con $c + p = 34$ y $c - p = 14$ .

Let $c$ and $p$ be the two scores, with $c + p = 34$ and $c - p = 14$

Pista grande:

Restar las dos ecuaciones despeja $2p$ .

Subtracting the two equations isolates $2p$

Solución:

Sean $c$ y $p$ las puntuaciones de los Cougars y los Panthers. Entonces $c + p = 34$ y $c - p = 14.$

Al restar se obtiene $2p = 20,$ así que $p = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $c$ and $p$ be the Cougars’ and Panthers’ scores. Then $c + p = 34$ and $c - p = 14.$

Subtracting gives $2p = 20,$ so $p = 10.$

Thus, the correct answer is A.

4.

Mary está a punto de pagar cinco artículos en la tienda de comestibles. Los precios de los artículos son $\$7.99,$ $\$4.99,$ $\$2.99,$ $\$1.99,$ y $\$0.99.$ Mary pagará con un billete de veinte dólares. ¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al porcentaje de los $\$20.00$ que recibirá de cambio?

Mary is about to pay for five items at the grocery store. The prices of the items are $\$7.99,$ $\$4.99,$ $\$2.99,$ $\$1.99,$ and $\$0.99.$ Mary will pay with a twenty-dollar bill. Which of the following is closest to the percentage of the $\$20.00$ that she will receive in change?

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

Conceptos:estimación porcentaje

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Redondea cada precio al dólar más cercano para estimar el total rápidamente.

Round each price to the nearest dollar to estimate the total quickly

Pista grande:

El cambio es $\$20$ menos el total; compáralo con $\$20$ como una fracción.

The change is $\$20$ minus the total; compare it to $\$20$ as a fraction

Solución:

Los precios suman $\$18.95,$ así que el cambio es $\$1.05.$ Como porcentaje de $\$20.00,$ esto es $\frac{1.05}{20}\cdot100\% = 5.25\%.$ El porcentaje más cercano de la lista es $5\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The prices total $\$18.95,$ so the change is $\$1.05.$ As a percentage of $\$20.00,$ this is $\frac{1.05}{20}\cdot100\% = 5.25\%.$ The closest listed percentage is $5\%.$

Thus, the correct answer is A.

5.

John camina hacia el este a una velocidad de $3$ millas por hora, mientras que Bob también camina hacia el este, pero a una velocidad de $5$ millas por hora. Si Bob está ahora $1$ milla al oeste de John, ¿cuántos minutos tardará Bob en alcanzar a John?

John is walking east at a speed of $3$ miles per hour, while Bob is also walking east, but at a speed of $5$ miles per hour. If Bob is now $1$ mile west of John, how many minutes will it take for Bob to catch up to John?

$30$

$50$

$60$

$90$

$120$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Bob acorta la distancia a la diferencia de las dos velocidades.

Bob gains ground at the difference of the two speeds

Pista grande:

Debe cerrar una brecha de $1$ milla a $5 - 3$ millas por hora.

He must close a $1$ -mile gap at $5 - 3$ miles per hour

Solución:

Bob acorta la distancia a una velocidad relativa de $5 - 3 = 2$ millas por hora. Cubrir la brecha de $1$ milla toma $\frac{1}{2}$ hora, es decir, $30$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Bob closes the gap at a relative speed of $5 - 3 = 2$ miles per hour. To cover the $1$ -mile gap takes $\frac{1}{2}$ hour, or $30$ minutes.

Thus, the correct answer is A.

6.

Francesca usa $100$ gramos de jugo de limón, $100$ gramos de azúcar y $400$ gramos de agua para hacer limonada. Hay $25$ calorías en $100$ gramos de jugo de limón y $386$ calorías en $100$ gramos de azúcar. El agua no contiene calorías. ¿Cuántas calorías hay en $200$ gramos de su limonada?

Francesca uses $100$ grams of lemon juice, $100$ grams of sugar, and $400$ grams of water to make lemonade. There are $25$ calories in $100$ grams of lemon juice and $386$ calories in $100$ grams of sugar. Water contains no calories. How many calories are in $200$ grams of her lemonade?

$129$

$137$

$174$

$223$

$411$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Primero halla las calorías totales y los gramos totales de todo el lote.

Find the total calories and total grams of the whole batch first

Pista grande:

$200$ gramos es un tercio del lote completo de $600$ gramos.

$200$ grams is one third of the full $600$ -gram batch

Solución:

Todo el lote pesa $100 + 100 + 400 = 600$ gramos y contiene $25 + 386 = 411$ calorías.

Como $200$ gramos es un tercio del lote, contiene $\frac{411}{3} = 137$ calorías.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The full batch weighs $100 + 100 + 400 = 600$ grams and contains $25 + 386 = 411$ calories.

Since $200$ grams is one third of the batch, it has $\frac{411}{3} = 137$ calories.

Thus, the correct answer is B.

7.

El señor y la señora Lopez tienen dos hijos. Cuando suben a su coche familiar, dos personas se sientan adelante y las otras dos se sientan atrás. El señor Lopez o la señora Lopez debe sentarse en el asiento del conductor. ¿Cuántas disposiciones de asientos son posibles?

Mr. and Mrs. Lopez have two children. When they get into their family car, two people sit in the front, and the other two sit in the back. Either Mr. Lopez or Mrs. Lopez must sit in the driver’s seat. How many seating arrangements are possible?

$4$

$12$

$16$

$24$

$48$

Conceptos:principio de multiplicación arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Ocupa los asientos en orden: conductor, luego el pasajero delantero, y después los dos asientos traseros.

Fill the seats in order: driver, then front passenger, then the two back seats

Pista grande:

Hay $2$ opciones para el conductor y $3$ para el pasajero delantero, y luego $2$ órdenes en la parte de atrás.

There are $2$ choices for the driver and $3$ for the front passenger, then $2$ orders in back

Solución:

El conductor es uno de los dos padres: $2$ opciones.

Cualquiera de las $3$ personas restantes puede sentarse en el asiento del pasajero delantero, y las últimas $2$ personas ocupan la parte de atrás en $2$ órdenes.

El total es $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The driver is one of the two parents: $2$ choices.

Any of the remaining $3$ people can sit in the front passenger seat, and the last $2$ people fill the back in $2$ orders.

The total is $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12.$

Thus, the correct answer is B.

8.

Las rectas $x = \tfrac14 y + a, \qquad y = \tfrac14 x + b$ se cortan en el punto $(1, 2)$ . ¿Cuánto vale $a + b$ ?

The lines $x = \tfrac14 y + a, \qquad y = \tfrac14 x + b$ intersect at the point $(1, 2).$ What is $a + b?$

$0$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$2$

$\dfrac{9}{4}$

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Sustituye $x = 1$ y $y = 2$ en ambas ecuaciones.

Substitute $x = 1$ and $y = 2$ into both equations

Pista grande:

Despeja $a$ y $b$ por separado, y luego súmalos.

Solve each equation for $a$ and $b$ separately, then add

Solución:

Al sustituir $(1, 2)$ se obtiene $1 = \frac{2}{4} + a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1}{2},$ y $2 = \frac{1}{4} + b \quad\Rightarrow\quad b = \frac{7}{4}.$

Por lo tanto, $a + b = \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting $(1, 2)$ gives $1 = \frac{2}{4} + a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1}{2},$ and $2 = \frac{1}{4} + b \quad\Rightarrow\quad b = \frac{7}{4}.$

Therefore $a + b = \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}.$

Thus, the correct answer is E.

9.

¿Cuántos enteros pares de tres dígitos tienen la propiedad de que sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, están en orden estrictamente creciente?

How many even three-digit integers have the property that their digits, read left to right, are in strictly increasing order?

$21$

$34$

$51$

$72$

$150$

Conceptos:dígitos combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

El dígito de las unidades es par; los dos dígitos más pequeños deben ser ambos menores que él.

The units digit is even; the two smaller digits must both be less than it

Pista grande:

Para cada dígito de las unidades par $c,$ cuenta las maneras de elegir dos dígitos crecientes menores que $c$ .

For each even units digit $c,$ count the ways to choose two increasing digits below $c$

Solución:

Sean los dígitos $a \lt b \lt c$ con $c$ par. Como $a \geq 1,$ ningún dígito es cero, y $c \neq 2$ (no hay espacio para dos dígitos más pequeños distintos de cero).

Una vez fijado el dígito de las unidades $c$ , dos dígitos distintos cualesquiera menores que él pueden ordenarse de forma creciente de una única manera. Así, el conteo para cada $c$ es $\binom{c-1}{2}.$

Para $c = 4, 6, 8$ esto da $\begin{aligned} &\binom{3}{2} + \binom{5}{2} \\ &\quad {}+ \binom{7}{2} = 3 + 10 + 21 \\ &\quad = 34. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the digits be $a \lt b \lt c$ with $c$ even. Since $a \geq 1,$ no digit is zero, and $c \neq 2$ (there is no room for two smaller nonzero digits).

Once the units digit $c$ is fixed, any two distinct digits below it can be arranged in increasing order in exactly one way. So the count for each $c$ is $\binom{c-1}{2}.$

For $c = 4, 6, 8$ this gives $\begin{aligned} &\binom{3}{2} + \binom{5}{2} \\ &\quad {}+ \binom{7}{2} = 3 + 10 + 21 \\ &\quad = 34. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

10.

En un triángulo con longitudes de lado enteras, un lado es tres veces más largo que un segundo lado, y la longitud del tercer lado es $15.$ ¿Cuál es el mayor perímetro posible del triángulo?

In a triangle with integer side lengths, one side is three times as long as a second side, and the length of the third side is $15.$ What is the greatest possible perimeter of the triangle?

$43$

$44$

$45$

$46$

$47$

Conceptos:desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Sean los lados $x,$ $3x,$ y $15,$ y luego aplica la desigualdad triangular.

Let the sides be $x,$ $3x,$ and $15,$ then apply the triangle inequality

Pista grande:

La condición determinante es $x + 15 \gt 3x,$ que limita cuán grande puede ser $x$ .

The binding condition is $x + 15 \gt 3x,$ which caps how large $x$ can be

Solución:

Sean los lados $x,$ $3x,$ y $15.$ La desigualdad triangular exige $x + 3x \gt 15,$ así que $x \geq 4,$ y $x + 15 \gt 3x,$ así que $x \leq 7.$

El perímetro $4x + 15$ es máximo cuando $x = 7,$ lo que da $7 + 21 + 15 = 43.$

Así, la respuesta correcta es A.

Let the sides be $x,$ $3x,$ and $15.$ The triangle inequality requires $x + 3x \gt 15,$ so $x \geq 4,$ and $x + 15 \gt 3x,$ so $x \leq 7.$

The perimeter $4x + 15$ is largest when $x = 7,$ giving $7 + 21 + 15 = 43.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Joe y JoAnn compraron cada uno $12$ onzas de café en una taza de $16$ onzas. Joe bebió $2$ onzas de su café y luego añadió $2$ onzas de crema. JoAnn añadió $2$ onzas de crema, revolvió bien el café y luego bebió $2$ onzas. ¿Cuál es la razón resultante entre la cantidad de crema en el café de Joe y la del café de JoAnn?

Joe and JoAnn each bought $12$ ounces of coffee in a $16$ -ounce cup. Joe drank $2$ ounces of his coffee and then added $2$ ounces of cream. JoAnn added $2$ ounces of cream, stirred the coffee well, and then drank $2$ ounces. What is the resulting ratio of the amount of cream in Joe’s coffee to that in JoAnn’s coffee?

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{13}{14}$

$1$

$\dfrac{14}{13}$

$\dfrac{7}{6}$

Conceptos:mezcla razón y proporción

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Joe añade la crema después de beber, así que se conservan todas sus $2$ onzas de crema.

Joe adds cream after drinking, so all $2$ ounces of his cream remain

Pista grande:

JoAnn bebe de una taza bien mezclada de $14$ onzas, quitando crema en proporción.

JoAnn drinks from a well-mixed $14$ -ounce cup, removing cream in proportion

Solución:

Joe añade la crema al final, así que su taza conserva las $2$ onzas completas de crema.

La taza de JoAnn tiene $14$ onzas de mezcla que contienen $2$ onzas de crema. Beber $2$ onzas quita una fracción $\tfrac{2}{14}$ de todo, dejando $2 \cdot \frac{12}{14} = \frac{12}{7}$ onzas de crema.

La razón es $\frac{2}{\,\frac{12}{7}\,} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Joe adds the cream last, so his cup holds all $2$ ounces of cream.

JoAnn’s cup has $14$ ounces of mixture containing $2$ ounces of cream. Drinking $2$ ounces removes a fraction $\tfrac{2}{14}$ of everything, leaving $2 \cdot \frac{12}{14} = \frac{12}{7}$ ounces of cream.

The ratio is $\frac{2}{\,\frac{12}{7}\,} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}.$

Thus, the correct answer is E.

12.

La parábola $y = ax^2 + bx + c$ tiene vértice $(p, p)$ e intersección con el eje $y$ en $(0, -p),$ donde $p \neq 0.$ ¿Cuánto vale $b$ ?

The parabola $y = ax^2 + bx + c$ has vertex $(p, p)$ and $y$ -intercept $(0, -p),$ where $p \neq 0.$ What is $b?$

$-p$

$0$

$2$

$4$

$p$

Conceptos:parábola cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe la parábola en forma canónica $y = a(x - p)^2 + p$ .

Write the parabola in vertex form $y = a(x - p)^2 + p$

Pista grande:

Usa la intersección con el eje $y$ para hallar $a$ en términos de $p,$ y luego lee el coeficiente de $x$ .

Use the $y$ -intercept to find $a$ in terms of $p,$ then read off the coefficient of $x$

Solución:

La forma canónica es $y = a(x - p)^2 + p.$

En $x = 0,$ $y = ap^2 + p = -p,$ así que $ap^2 = -2p$ y $a = -\dfrac{2}{p}.$

Al desarrollar, $y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,$ así que $b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The vertex form is $y = a(x - p)^2 + p.$

At $x = 0,$ $y = ap^2 + p = -p,$ so $ap^2 = -2p$ and $a = -\dfrac{2}{p}.$

Expanding, $y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,$ so $b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.$

Thus, the correct answer is D.

13.

El rombo $ABCD$ es semejante al rombo $BFDE.$ El área del rombo $ABCD$ es $24,$ y $\angle BAD = 60^\circ.$ ¿Cuál es el área del rombo $BFDE$ ?

Rhombus $ABCD$ is similar to rhombus $BFDE.$ The area of rhombus $ABCD$ is $24,$ and $\angle BAD = 60^\circ.$ What is the area of rhombus $BFDE?$

$6$

$4\sqrt{3}$

$8$

$9$

$6\sqrt{3}$

Conceptos:rombo triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Como $\angle BAD = 60^\circ,$ el triángulo $ABD$ es equilátero, así que $BD$ es igual a un lado.

Since $\angle BAD = 60^\circ,$ triangle $ABD$ is equilateral, so $BD$ equals a side

Pista grande:

Si las diagonales se cortan en $O,$ entonces $\triangle ABO$ es un triángulo $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ ; compara las diagonales larga y corta

If the diagonals meet at $O,$ then $\triangle ABO$ is a $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ triangle; compare the long and short diagonals

Solución:

Sean $O$ el punto de intersección de las diagonales de $ABCD.$ Estas se bisecan perpendicularmente y, como $\angle BAD=60^\circ,$ el triángulo $ABO$ es un triángulo de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ . Por tanto, las semidiagonales satisfacen $AO=\sqrt3\,BO.$

El segmento $BD$ es la diagonal corta de $ABCD$ y la diagonal larga del rombo semejante $BFDE.$ Así, la razón de longitudes del rombo menor al mayor es $\frac{BD}{AC}=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{\sqrt3}.$ Las áreas se escalan con el cuadrado de esta razón, de modo que el área de $BFDE$ es $24\cdot\dfrac13=8.$

Así, la respuesta correcta es C.

Let the diagonals of $ABCD$ meet at $O.$ They bisect each other at right angles, and since $\angle BAD=60^\circ,$ triangle $ABO$ is a $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ triangle. Hence the half-diagonals satisfy $AO=\sqrt3\,BO.$

The segment $BD$ is the short diagonal of $ABCD$ and the long diagonal of the similar rhombus $BFDE.$ Thus the smaller-to-larger length ratio is $\frac{BD}{AC}=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{\sqrt3}.$ Areas scale by the square of this ratio, so the area of $BFDE$ is $24\cdot\dfrac13=8.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Elmo hace $N$ sándwiches para una recaudación de fondos. Para cada sándwich usa $B$ porciones de mantequilla de maní a $4$ ¢ cada una, y $J$ porciones de mermelada a $5$ ¢ cada una. El costo de la mantequilla de maní y la mermelada para hacer todos los sándwiches es $\$2.53.$ Supón que $B,$ $J,$ y $N$ son enteros positivos con $N \gt 1.$ ¿Cuál es el costo de la mermelada que Elmo usa para hacer los sándwiches?

Elmo makes $N$ sandwiches for a fundraiser. For each sandwich he uses $B$ globs of peanut butter at $4$ ¢ per glob and $J$ blobs of jam at $5$ ¢ per blob. The cost of the peanut butter and jam to make all the sandwiches is $\$2.53.$ Assume that $B,$ $J,$ and $N$ are positive integers with $N \gt 1.$ What is the cost of the jam Elmo uses to make the sandwiches?

$\$1.05$

$\$1.25$

$\$1.45$

$\$1.65$

$\$1.85$

Conceptos:Ecuación diofántica factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

El costo total es $N(4B + 5J) = 253$ centavos; factoriza $253$ .

The total cost is $N(4B + 5J) = 253$ cents; factor $253$

Pista grande:

Prueba $N = 11, 23, 253,$ y luego determina los valores de $B$ y $J$ .

Test $N = 11, 23, 253,$ then determine the numbers of peanut-butter globs $B$ and jam blobs $J$

Solución:

El costo total en centavos es $N(4B + 5J) = 253 = 11 \cdot 23.$ Como $N \gt 1,$ el valor de $N$ es $11,$ $23,$ o $253.$

Si $N = 253$ , entonces $4B + 5J = 1,$ y si $N = 23$ , entonces $4B + 5J = 11;$ ninguna ecuación tiene una solución entera positiva.

Por lo tanto, $N = 11$ y $4B + 5J = 23,$ cuya única solución positiva es $B = 2,$ $J = 3.$

La mermelada cuesta $N \cdot J \cdot 5$ ¢ $= 11 \cdot 3 \cdot 5 = 165$ centavos, es decir, $\$1.65.$

Así, la respuesta correcta es D.

The total cost in cents is $N(4B + 5J) = 253 = 11 \cdot 23.$ Since $N \gt 1,$ the value of $N$ is $11,$ $23,$ or $253.$

If $N = 253$ then $4B + 5J = 1,$ and if $N = 23$ then $4B + 5J = 11;$ neither has a positive integer solution.

So $N = 11$ and $4B + 5J = 23,$ whose only positive solution is $B = 2,$ $J = 3.$

The jam costs $N \cdot J \cdot 5$ ¢ $= 11 \cdot 3 \cdot 5 = 165$ cents, or $\$1.65.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Dos círculos con centros $O$ y $P$ tienen radios $2$ y $4,$ respectivamente, y son tangentes exteriormente. Los puntos $A$ y $B$ están sobre el círculo centrado en $O,$ y los puntos $C$ y $D$ están sobre el círculo centrado en $P,$ de modo que $AD$ y $BC$ son tangentes exteriores comunes a los círculos. ¿Cuál es el área del hexágono $AOBCPD$ ?

Circles with centers $O$ and $P$ have radii $2$ and $4,$ respectively, and are externally tangent. Points $A$ and $B$ are on the circle centered at $O,$ and points $C$ and $D$ are on the circle centered at $P,$ such that $AD$ and $BC$ are common external tangents to the circles. What is the area of hexagon $AOBCPD?$

$18\sqrt{3}$

$24\sqrt{2}$

$36$

$24\sqrt{3}$

$32\sqrt{2}$

Conceptos:circunferencias tangentes trapecio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Los centros están a $OP = 2 + 4 = 6$ de distancia, y los radios a los puntos de tangencia son perpendiculares a la tangente.

The centers are $OP = 2 + 4 = 6$ apart, and the radii to the tangent points are perpendicular to the tangent

Pista grande:

$AOPD$ es un trapecio rectángulo; halla su lado oblicuo con el teorema de Pitágoras, y luego duplica el área.

$AOPD$ is a right trapezoid; find its slant side with the Pythagorean theorem, then double the area

Solución:

Los círculos son tangentes exteriormente, así que $OP = 2 + 4 = 6.$ En el cuadrilátero $AOPD,$ tanto $OA = 2$ como $PD = 4$ son perpendiculares a la recta tangente $AD,$ lo que lo convierte en un trapecio rectángulo.

Al trazar por $O$ la recta paralela a $AD$ se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa $OP = 6$ y un cateto $PD - OA = 2,$ así que $AD = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2.$

El trapecio $AOPD$ tiene área $\frac{1}{2}(2 + 4)(4\sqrt2) = 12\sqrt2.$

Por simetría, el hexágono $AOBCPD$ está formado por dos de estos trapecios, así que su área es $2 \cdot 12\sqrt2 = 24\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The circles are externally tangent, so $OP = 2 + 4 = 6.$ In quadrilateral $AOPD,$ both $OA = 2$ and $PD = 4$ are perpendicular to the tangent line $AD,$ making it a right trapezoid.

Drawing the line through $O$ parallel to $AD$ creates a right triangle with hypotenuse $OP = 6$ and one leg $PD - OA = 2,$ so $AD = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2.$

The trapezoid $AOPD$ has area $\frac{1}{2}(2 + 4)(4\sqrt2) = 12\sqrt2.$

By symmetry the hexagon $AOBCPD$ is made of two such trapezoids, so its area is $2 \cdot 12\sqrt2 = 24\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

16.

El hexágono regular $ABCDEF$ tiene los vértices $A$ y $C$ en $(0, 0)$ y $(7, 1),$ respectivamente. ¿Cuál es su área?

Regular hexagon $ABCDEF$ has vertices $A$ and $C$ at $(0, 0)$ and $(7, 1),$ respectively. What is its area?

$20\sqrt{3}$

$22\sqrt{3}$

$25\sqrt{3}$

$27\sqrt{3}$

$50$

Conceptos:polígono regular fórmula de la distancia área

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

$A$ y $C$ están separados por dos vértices, así que $AC$ es una diagonal corta del hexágono.

$A$ and $C$ are two vertices apart, so $AC$ is a short diagonal of the hexagon

Pista grande:

Para un lado de longitud $s,$ la diagonal corta es $s\sqrt3;$ el área es $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ .

For side length $s,$ the short diagonal is $s\sqrt3;$ the area is $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$

Solución:

La distancia es $AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}.$ En un hexágono regular de lado $s,$ la distancia entre vértices separados por dos es $s\sqrt3,$ así que $s^2 \cdot 3 = 50,$ lo que da $s^2 = \dfrac{50}{3}.$

El área del hexágono es $\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The distance is $AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}.$ In a regular hexagon with side $s,$ the distance between vertices two apart is $s\sqrt3,$ so $s^2 \cdot 3 = 50,$ giving $s^2 = \dfrac{50}{3}.$

The hexagon’s area is $\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3.$

Thus, the correct answer is C.

17.

Para un par peculiar de dados, las probabilidades de sacar $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ y $6$ en cada dado están en la razón $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6.$ ¿Cuál es la probabilidad de sacar un total de $7$ con los dos dados?

For a particular peculiar pair of dice, the probabilities of rolling $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6$ on each die are in the ratio $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6.$ What is the probability of rolling a total of $7$ on the two dice?

$\dfrac{4}{63}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{8}{63}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{7}$

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La probabilidad de sacar $k$ es $\dfrac{k}{1+2+\cdots+6} = \dfrac{k}{21}$ .

The probability of rolling $k$ is $\dfrac{k}{1+2+\cdots+6} = \dfrac{k}{21}$

Pista grande:

Suma $\dfrac{k}{21} \cdot \dfrac{7-k}{21}$ sobre las parejas que suman $7$ .

Sum $\dfrac{k}{21} \cdot \dfrac{7-k}{21}$ over the pairs that total $7$

Solución:

Como los pesos suman $21,$ la probabilidad de sacar $k$ es $\dfrac{k}{21}.$

Un total de $7$ proviene de $(1,6), (2,5), \ldots, (6,1),$ así que la probabilidad es $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since the weights sum to $21,$ the probability of rolling $k$ is $\dfrac{k}{21}.$

A total of $7$ comes from $(1,6), (2,5), \ldots, (6,1),$ so the probability is $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

18.

Un objeto en el plano se mueve de un punto reticular a otro. En cada paso, el objeto puede moverse una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda, una unidad hacia arriba o una unidad hacia abajo. Si el objeto parte del origen y recorre un camino de diez pasos, ¿cuántos puntos distintos podrían ser el punto final?

An object in the plane moves from one lattice point to another. At each step, the object may move one unit to the right, one unit to the left, one unit up, or one unit down. If the object starts at the origin and takes a ten-step path, how many different points could be the final point?

$120$

$121$

$221$

$230$

$231$

Conceptos:punto reticular paridad conteo básico

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Después de $10$ pasos, el punto final $(a, b)$ cumple $|a| + |b| \le 10$ con $a + b$ par.

After $10$ steps the endpoint $(a, b)$ satisfies $|a| + |b| \le 10$ with $a + b$ even

Pista grande:

Cuenta los puntos reticulares con suma de coordenadas par dentro del rombo $|a| + |b| \le 10$ .

Count lattice points with even coordinate sum inside the diamond $|a| + |b| \le 10$

Solución:

Cada paso cambia la suma de coordenadas en $1,$ así que después de $10$ pasos el punto final $(a, b)$ tiene $a + b$ par y $|a| + |b| \le 10.$ Cualquier punto así es alcanzable: camina $|a| + |b|$ pasos hasta él, y luego usa el número par restante de pasos yendo y volviendo.

Los puntos alcanzables están sobre las rectas $a + b = 2k$ para $-5 \le k \le 5.$ Cada una de estas rectas corta al rombo en exactamente $11$ puntos reticulares.

Con $11$ rectas y $11$ puntos cada una, hay $121$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each step changes the coordinate sum by $1,$ so after $10$ steps the endpoint $(a, b)$ has $a + b$ even, and $|a| + |b| \le 10.$ Any such point is reachable: walk $|a| + |b|$ steps to it, then use the remaining even number of steps going out and back.

The reachable points lie on the lines $a + b = 2k$ for $-5 \le k \le 5.$ Each such line meets the diamond in exactly $11$ lattice points.

With $11$ lines and $11$ points each, there are $121$ points.

Thus, the correct answer is B.

19.

El señor Jones tiene ocho hijos de edades distintas. En un viaje familiar, su hija mayor, que tiene $9$ años, ve una matrícula con un número de $4$ dígitos en el que cada uno de dos dígitos aparece dos veces. «¡Mira, papá!», exclama. «¡Ese número es divisible exactamente entre la edad de cada uno de nosotros!» «Así es», responde el señor Jones, «y las dos últimas cifras resultan ser justo mi edad». ¿Cuál de las siguientes no es la edad de uno de los hijos del señor Jones?

Mr. Jones has eight children of different ages. On a family trip his oldest child, who is $9,$ spots a license plate with a $4$ -digit number in which each of two digits appears two times. “Look, daddy!” she exclaims. “That number is evenly divisible by the age of each of us kids!” “That’s right,” replies Mr. Jones, “and the last two digits just happen to be my age.” Which of the following is not the age of one of Mr. Jones’s children?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:divisibilidad dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

El hijo mayor tiene $9$ años, así que el número es divisible entre $9,$ lo que obliga a que los dos dígitos sumen $9$ .

The oldest child is $9,$ so the number is divisible by $9,$ forcing the two digits to sum to $9$

Pista grande:

Un número que termina en una edad de dos cifras no puede terminar en $0,$ así que piensa qué edades pequeñas debe evitar.

A number ending in a two-digit age cannot end in $0,$ so think about which small ages it must avoid

Solución:

El número tiene la forma $aabb,$ $abab,$ o $baab.$ La divisibilidad entre $9$ significa que $2(a + b)$ es múltiplo de $9,$ así que $a + b = 9.$

Las ocho edades distintas son ocho de los nueve enteros de $1$ a $9,$ por lo que aparece al menos una de las edades $4$ y $8$ . Así, el número es divisible entre $4.$ Las posibilidades son $1188, 2772, 3636,$ $5544, 6336, 7272, 9900.$

Como las dos últimas cifras son la edad del señor Jones, $9900$ es imposible, y ninguno de los demás es múltiplo de $5.$ Por tanto, las edades de los hijos no pueden incluir $5.$ En efecto, $5544$ es divisible entre $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The number has the form $aabb,$ $abab,$ or $baab.$ Divisibility by $9$ means $2(a + b)$ is a multiple of $9,$ so $a + b = 9.$

The eight distinct ages are eight of the nine integers from $1$ through $9,$ so at least one of ages $4$ and $8$ occurs. Therefore the number is divisible by $4.$ The possibilities become $1188, 2772, 3636,$ $5544, 6336, 7272, 9900.$

Since the last two digits are Mr. Jones’s age, $9900$ is impossible, and none of the others is a multiple of $5.$ So the children’s ages cannot include $5.$ Indeed $5544$ is divisible by $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Se elige $x$ al azar en el intervalo $(0, 1)$ . ¿Cuál es la probabilidad de que $\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?$ Aquí $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x$ .

Let $x$ be chosen at random from the interval $(0, 1).$ What is the probability that $\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?$ Here $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{20}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo probabilidad geométrica

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

La condición dice que $x$ y $4x$ tienen la misma magnitud en potencias de diez.

The condition says $x$ and $4x$ have the same power-of-ten magnitude

Pista grande:

En cada intervalo $[10^n, 10^{n+1}),$ la condición se cumple para $x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$ .

On each interval $[10^n, 10^{n+1}),$ the condition holds for $x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$

Solución:

La ecuación dice que $\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor,$ es decir, $x$ y $4x$ están en el mismo intervalo $[10^n, 10^{n+1}).$

Esto se cumple exactamente cuando $10^n \le x$ y $4x \lt 10^{n+1},$ es decir, $10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}.$

Dentro de $[10^n, 10^{n+1}),$ la fracción favorable es $\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Como esta fracción es la misma en cada uno de estos intervalos, la probabilidad total es $\dfrac{1}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equation says $\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor,$ i.e. $x$ and $4x$ lie in the same interval $[10^n, 10^{n+1}).$

This holds exactly when $10^n \le x$ and $4x \lt 10^{n+1},$ that is $10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}.$

Within $[10^n, 10^{n+1}),$ the favorable fraction is $\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since this fraction is the same on every such interval, the overall probability is $\dfrac{1}{6}.$

Thus, the correct answer is C.

21.

El rectángulo $ABCD$ tiene área $2006.$ Una elipse de área $2006\pi$ pasa por $A$ y $C$ y tiene sus focos en $B$ y $D.$ ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? (El área de una elipse es $\pi ab,$ donde $2a$ y $2b$ son las longitudes de sus ejes.)

Rectangle $ABCD$ has area $2006.$ An ellipse with area $2006\pi$ passes through $A$ and $C$ and has foci at $B$ and $D.$ What is the perimeter of the rectangle? (The area of an ellipse is $\pi ab,$ where $2a$ and $2b$ are the lengths of its axes.)

$\dfrac{16\sqrt{2006}}{\pi}$

$\dfrac{1003}{4}$

$8\sqrt{1003}$

$6\sqrt{2006}$

$\dfrac{32\sqrt{1003}}{\pi}$

Conceptos:elipse manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

En esta elipse, la suma de las distancias de $A$ a los focos $B, D$ es igual a la suma de dos lados adyacentes del rectángulo.

For the ellipse, the sum of distances from $A$ to the foci $B, D$ equals a rectangle diagonal plus a side

Pista grande:

Sean los lados $x, y;$ entonces $x + y = 2a$ y la diagonal $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}$ .

Let the sides be $x, y;$ then $x + y = 2a$ and the diagonal $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}$

Solución:

Sean $x$ y $y$ los lados del rectángulo. El punto $A$ está en la elipse con focos $B$ y $D,$ así que $x + y = AB + AD = 2a.$ La distancia entre los focos es la diagonal, así que $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.$

Entonces $2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ $= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)$ $= 4b^2,$ así que $xy = 2b^2.$ El área da $2b^2 = 2006,$ de donde $b^2 = 1003.$

El área de la elipse da $\pi ab = 2006\pi,$ así que $ab = 2006$ y $a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}.$

El perímetro del rectángulo es $2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the rectangle’s sides be $x$ and $y.$ Point $A$ is on the ellipse with foci $B$ and $D,$ so $x + y = AB + AD = 2a.$ The distance between the foci is the diagonal, so $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.$

Then $2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ $= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)$ $= 4b^2,$ so $xy = 2b^2.$ The area gives $2b^2 = 2006,$ hence $b^2 = 1003.$

The ellipse area gives $\pi ab = 2006\pi,$ so $ab = 2006$ and $a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}.$

The perimeter is $2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Supón que $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos con $a + b + c = 2006,$ y $a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n,$ donde $m$ y $n$ son enteros y $m$ no es divisible entre $10.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers with $a + b + c = 2006,$ and $a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n,$ where $m$ and $n$ are integers and $m$ is not divisible by $10.$ What is the smallest possible value of $n?$

$489$

$492$

$495$

$498$

$501$

Conceptos:Fórmula de Legendre ceros finales optimización

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Los factores de $5$ son más escasos que los factores de $2,$ así que $n$ cuenta los factores de $5$ en $a!\,b!\,c!$ .

Factors of $5$ are scarcer than factors of $2,$ so $n$ counts the factors of $5$ in $a!\,b!\,c!$

Pista grande:

Para cada potencia de $5$ , usa $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ $+ \lfloor z \rfloor \ge \lfloor x + y + z \rfloor - 2$ .

Use $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ $+ \lfloor z \rfloor \ge \lfloor x + y + z \rfloor - 2$ at each power of $5$

Solución:

Los factores de $2$ son más abundantes que los factores de $5,$ así que $n$ es igual al número de factores de $5$ en $a!\,b!\,c!,$ es decir, $n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right).$

Para cada $k,$ $\lfloor \frac{a}{5^k} \rfloor + \lfloor \frac{b}{5^k} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{c}{5^k} \rfloor$ $\ge \lfloor \frac{2006}{5^k} \rfloor - 2.$ Sumando sobre $k = 1, 2, 3, 4$ (ya que $2006 \lt 5^5$ ) se obtiene $\begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492. \end{aligned}$

La igualdad es alcanzable, por ejemplo con $a = b = 624$ y $c = 758.$ Así que el mínimo es $492.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since factors of $2$ are more plentiful than factors of $5,$ $n$ equals the number of factors of $5$ in $a!\,b!\,c!,$ namely $n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right).$

For each $k,$ $\lfloor \frac{a}{5^k} \rfloor + \lfloor \frac{b}{5^k} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{c}{5^k} \rfloor$ $\ge \lfloor \frac{2006}{5^k} \rfloor - 2.$ Summing over $k = 1, 2, 3, 4$ (as $2006 \lt 5^5$ ) gives $\begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492. \end{aligned}$

Equality is attainable, for example with $a = b = 624$ and $c = 758.$ So the minimum is $492.$

Thus, the correct answer is B.

23.

El $\triangle ABC$ isósceles tiene un ángulo recto en $C.$ El punto $P$ está dentro del $\triangle ABC,$ de modo que $PA = 11,$ $PB = 7,$ y $PC = 6.$ Los catetos $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ tienen longitud $s = \sqrt{a + b\sqrt{2}},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

Isosceles $\triangle ABC$ has a right angle at $C.$ Point $P$ is inside $\triangle ABC,$ such that $PA = 11,$ $PB = 7,$ and $PC = 6.$ Legs $\overline{AC}$ and $\overline{BC}$ have length $s = \sqrt{a + b\sqrt{2}},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a + b?$

$85$

$91$

$108$

$121$

$127$

Conceptos:transformación ley de los cosenos Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Rota el $\triangle ABC$ $90^\circ$ alrededor de $C$ de modo que $A$ se transforme en $B$ .

Rotate $\triangle ABC$ by $90^\circ$ about $C$ so that $A$ maps onto $B$

Pista grande:

La imagen de $P$ forma un triángulo rectángulo isósceles con $P,$ lo que fija $\angle BPC$ .

The image of $P$ forms an isosceles right triangle with $P,$ which pins down $\angle BPC$

Solución:

Rota el $\triangle ABC$ $90^\circ$ alrededor de $C,$ enviando $A$ a $B$ y $P$ a $P'.$ Entonces $CP' = CP = 6$ y $\angle PCP' = 90^\circ,$ así que $\triangle PCP'$ es un triángulo rectángulo isósceles con $PP' = 6\sqrt2.$

Además $BP' = AP = 11.$ Como $(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49$ $= 121 = 11^2,$ el triángulo $BPP'$ tiene un ángulo recto en $P.$ Por lo tanto, $\angle BPC = \angle BPP'$ $+ \angle P'PC = 90^\circ$ $+ 45^\circ = 135^\circ.$

Por la ley de cosenos en $\triangle BPC,$ $\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}$

Así que $s^2 = 85 + 42\sqrt2,$ lo que da $a = 85,$ $b = 42,$ y por lo tanto $a + b = 127.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rotate $\triangle ABC$ by $90^\circ$ about $C,$ sending $A$ to $B$ and $P$ to $P'.$ Then $CP' = CP = 6$ and $\angle PCP' = 90^\circ,$ so $\triangle PCP'$ is an isosceles right triangle with $PP' = 6\sqrt2.$

Also $BP' = AP = 11.$ Since $(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49$ $= 121 = 11^2,$ triangle $BPP'$ has a right angle at $P.$ Hence $\angle BPC = \angle BPP'$ $+ \angle P'PC = 90^\circ$ $+ 45^\circ = 135^\circ.$

By the Law of Cosines in $\triangle BPC,$ $\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}$

So $s^2 = 85 + 42\sqrt2,$ giving $a = 85,$ $b = 42,$ and $a + b = 127.$

Thus, the correct answer is E.

24.

Sea $S$ el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ del plano coordenado tales que $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ y $0 \le y \le \dfrac{\pi}{2}.$ ¿Cuál es el área del subconjunto de $S$ para el cual $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y \le \frac{3}{4}?$

Let $S$ be the set of all points $(x, y)$ in the coordinate plane such that $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ and $0 \le y \le \dfrac{\pi}{2}.$ What is the area of the subset of $S$ for which $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y \le \frac{3}{4}?$

$\dfrac{\pi^2}{9}$

$\dfrac{\pi^2}{8}$

$\dfrac{\pi^2}{6}$

$\dfrac{3\pi^2}{16}$

$\dfrac{2\pi^2}{9}$

Conceptos:identidad trigonométrica cuadrática área

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Trata la expresión como una cuadrática en $\sin x$ y halla dónde es igual a $\dfrac34$ .

Treat the expression as a quadratic in $\sin x$ and find where it equals $\dfrac34$

Pista grande:

La frontera se reduce a $\sin x = \sin\!\left(y \pm \dfrac{\pi}{3}\right),$ lo que da rectas en $S$ .

The boundary reduces to $\sin x = \sin\!\left(y \pm \dfrac{\pi}{3}\right),$ giving straight lines in $S$

Solución:

Fijado $y,$ resolvemos $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y = \dfrac34$ como una ecuación cuadrática en $\sin x:$ $\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2}\sin y \\ &\quad {}\pm \frac{\sqrt3}{2}\cos y \\ &\quad = \sin\!\left(y \pm \frac{\pi}{3}\right). \end{aligned}$

Dentro de $S,$ la ecuación $\sin x = \sin\!\left(y - \tfrac{\pi}{3}\right)$ da la recta $x = y - \tfrac{\pi}{3},$ mientras que $\sin x = \sin\!\left(y + \tfrac{\pi}{3}\right)$ da $x = y + \tfrac{\pi}{3}$ para $y \le \tfrac{\pi}{6}$ y $x = -y + \tfrac{2\pi}{3}$ para $y \ge \tfrac{\pi}{6}.$

Estas rectas dividen $S$ en regiones; al probar los vértices se observa que la desigualdad solo se cumple en la banda central. Su área es $\begin{aligned} &\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &\quad = \frac{\pi^2}{6}. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

Fixing $y,$ solve $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y = \dfrac34$ as a quadratic in $\sin x:$ $\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2}\sin y \\ &\quad {}\pm \frac{\sqrt3}{2}\cos y \\ &\quad = \sin\!\left(y \pm \frac{\pi}{3}\right). \end{aligned}$

Within $S,$ $\sin x = \sin\!\left(y - \tfrac{\pi}{3}\right)$ gives the line $x = y - \tfrac{\pi}{3},$ while $\sin x = \sin\!\left(y + \tfrac{\pi}{3}\right)$ gives $x = y + \tfrac{\pi}{3}$ for $y \le \tfrac{\pi}{6}$ and $x = -y + \tfrac{2\pi}{3}$ for $y \ge \tfrac{\pi}{6}.$

These lines split $S$ into regions; testing the corners shows the inequality holds only in the middle band. Its area is $\begin{aligned} &\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &\quad = \frac{\pi^2}{6}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

25.

Una sucesión $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ de enteros no negativos se define por la regla $a_{n+2} = |a_{n+1} - a_n|$ para $n \ge 1.$ Si $a_1 = 999,$ $a_2 \lt 999,$ y $a_{2006} = 1,$ ¿cuántos valores distintos de $a_2$ son posibles?

A sequence $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ of non-negative integers is defined by the rule $a_{n+2} = |a_{n+1} - a_n|$ for $n \ge 1.$ If $a_1 = 999,$ $a_2 \lt 999,$ and $a_{2006} = 1,$ how many different values of $a_2$ are possible?

$165$

$324$

$495$

$499$

$660$

Conceptos:máximo común divisor paridad inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Los términos $a_n$ y $a_{n+3}$ siempre tienen la misma paridad; usa esto junto con $a_{2006} = 1$ .

The terms $a_n$ and $a_{n+3}$ always share the same parity; use this with $a_{2006} = 1$

Pista grande:

Cada término es un múltiplo de $\gcd(a_1, a_2),$ así que $\gcd(999, a_2) = 1;$ nota que $999 = 3^3 \cdot 37$ .

Every term is a multiple of $\gcd(a_1, a_2),$ so $\gcd(999, a_2) = 1;$ note $999 = 3^3 \cdot 37$

Solución:

La regla da $a_n \equiv a_{n+3} \pmod 2,$ así que $a_2$ tiene la misma paridad que $a_{2006} = 1;$ por tanto, $a_2$ es impar.

Cada término es múltiplo de $\gcd(a_1, a_2),$ y $a_{2006} = 1$ obliga a que $\gcd(999, a_2) = 1.$ Como $999 = 3^3 \cdot 37,$ necesitamos que $a_2$ no sea divisible entre $3$ ni $37.$

Entre los enteros impares de $[1, 998]$ hay $499;$ quitando los $166$ múltiplos de $3$ y los $13$ múltiplos de $37,$ y añadiendo de nuevo los $4$ múltiplos de $111,$ quedan $499 - 166 - 13 + 4 = 324.$

Cada uno de estos valores de $a_2$ funciona. Para términos positivos consecutivos $u,v,$ la actualización $(u,v)\mapsto(v,|v-u|)$ reduce su máximo en a lo sumo dos pasos. Como ambos términos iniciales son a lo sumo $999,$ aparece algún $a_N=0$ con $N\le1999.$

El máximo común divisor de cada pareja consecutiva es invariante, así que los términos iguales justo antes de ese cero son ambos $\gcd(999,a_2)=1.$ La sucesión entra entonces en el ciclo $1,1,0.$ Finalmente, $2006\equiv2\pmod3,$ así que $a_{2006}$ tiene la misma paridad impar que $a_2;$ dentro de este ciclo, debe ser $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The rule gives $a_n \equiv a_{n+3} \pmod 2,$ so $a_2$ has the same parity as $a_{2006} = 1;$ thus $a_2$ is odd.

Every term is a multiple of $\gcd(a_1, a_2),$ and $a_{2006} = 1$ forces $\gcd(999, a_2) = 1.$ Since $999 = 3^3 \cdot 37,$ we need $a_2$ not divisible by $3$ or $37.$

Among the odd integers in $[1, 998]$ there are $499;$ removing the $166$ multiples of $3$ and $13$ multiples of $37,$ then adding back the $4$ multiples of $111,$ leaves $499 - 166 - 13 + 4 = 324.$

Each such $a_2$ works. For consecutive positive terms $u,v,$ the update $(u,v)\mapsto(v,|v-u|)$ reduces their maximum within at most two steps. Since both initial terms are at most $999,$ some $a_N=0$ occurs by $N\le1999.$

The gcd of each consecutive pair is invariant, so the equal terms immediately before that zero both equal $\gcd(999,a_2)=1.$ The sequence then cycles through $1,1,0.$ Finally, $2006\equiv2\pmod3,$ so $a_{2006}$ has the same odd parity as $a_2;$ in this cycle it must therefore be $1.$

Thus, the correct answer is B.