Question

Un plano contiene puntos $A$ y $B$ con $AB = 1$ . Sea $S$ la unión de todos los discos de radio $1$ en el plano que cubren $\overline{AB}$ . ¿Cuál es el área de $S$ ?

A plane contains points $A$ and $B$ with $AB = 1.$ Let $S$ be the union of all disks of radius $1$ in the plane that cover $\overline{AB}.$ What is the area of $S?$

$2\pi + \sqrt{3}$

$\dfrac{8\pi}{3}$

$3\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{10\pi}{3} - \sqrt{3}$

$4\pi - 2\sqrt{3}$

Solución:

Un disco de radio $1$ cubre el segmento $\overline{AB}$ exactamente cuando su centro está a distancia menor o igual a $1$ de $A$ y de $B$ . Esa región $R$ es la lente donde se solapan las dos circunferencias unitarias centradas en $A$ y $B$ .

Cada circunferencia unitaria pasa por el centro de la otra, así que la lente está delimitada por dos arcos de $120^\circ$ . Dos sectores de $120^\circ$ de área $\tfrac{\pi}{3}$ se solapan en dos triángulos equiláteros de área total $\tfrac{\sqrt3}{2}$ , lo que da a $R$ un área de $\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}$ .

El conjunto $S$ consiste en todos los puntos a distancia menor o igual a $1$ de $R$ . Más allá de $R$ mismo, esto añade dos sectores de $60^\circ$ de radio $1$ (cada uno de área $\tfrac{\pi}{6}$ ) y dos coronas de $120^\circ$ de radio exterior $2$ y radio interior $1$ (cada una de área $\pi$ ).

Por lo tanto, el área de $S$ es $\begin{aligned} &\left(\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + 2 \cdot \tfrac{\pi}{6} \\ &\quad {}+ 2\pi = 3\pi - \tfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A radius- $1$ disk covers segment $\overline{AB}$ exactly when its center is within $1$ of both $A$ and $B.$ That region $R$ is the lens where the two unit circles centered at $A$ and $B$ overlap.

Each unit circle passes through the other's center, so the lens is bounded by two $120^\circ$ arcs. Two $120^\circ$ sectors of area $\tfrac{\pi}{3}$ overlap in two equilateral triangles of total area $\tfrac{\sqrt3}{2},$ giving $R$ area $\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$

The set $S$ consists of all points within $1$ of $R.$ Beyond $R$ itself, this adds two $60^\circ$ sectors of radius $1$ (each area $\tfrac{\pi}{6}$ ) and two $120^\circ$ annuli of outer radius $2$ and inner radius $1$ (each area $\pi$ ).

Therefore the area of $S$ is $\begin{aligned} &\left(\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + 2 \cdot \tfrac{\pi}{6} \\ &\quad {}+ 2\pi = 3\pi - \tfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años