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2020 AMC 12B Problema 24

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 24 del 2020 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:conteo recursivofactor

Nivel de dificultad: 2220

24.

Sea D(n)D(n) el número de maneras de escribir el entero positivo nn como un producto n=f1⋅f2⋯fk,n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k, donde k≥1,k \ge 1, los fif_i son enteros estrictamente mayores que 1,1, y el orden en que se listan los factores importa (es decir, dos representaciones que difieren solo en el orden de los factores se cuentan como distintas). Por ejemplo, el número 66 se puede escribir como 6,6, 2⋅3,2 \cdot 3, y 3⋅2,3 \cdot 2, así que D(6)=3.D(6) = 3. ¿Cuánto vale D(96)D(96)?

Let D(n)D(n) denote the number of ways of writing the positive integer nn as a product n=f1⋅f2⋯fk,n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k, where k≥1,k \ge 1, the fif_i are integers strictly greater than 1,1, and the order in which the factors are listed matters (that is, two representations that differ only in the order of the factors are counted as distinct). For example, the number 66 can be written as 6,6, 2⋅3,2 \cdot 3, and 3⋅2,3 \cdot 2, so D(6)=3.D(6) = 3. What is D(96)?D(96)?

112112

128128

144144

172172

184184

Solución:

El primer factor f1f_1 puede ser cualquier divisor d>1,d \gt 1, tras lo cual el resto es una factorización ordenada de n/d.n/d. Así que D(n)=∑d∣n, d>1D(n/d),D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(n/d), con D(1)=1.D(1) = 1.

Calculando sobre los divisores de 96=25⋅3:96 = 2^5\cdot 3: D(2)=D(3)=1,D(2) = D(3) = 1, D(4)=2,D(4) = 2, D(6)=3,D(6) = 3, D(8)=4,D(8) = 4, D(12)=8,D(12) = 8, D(16)=8,D(16) = 8, D(24)=20,D(24) = 20, D(32)=16,D(32) = 16, D(48)=48.D(48) = 48.

Finalmente D(96)=D(48)+D(32)+D(24)+D(16)+D(12)+D(8)+D(6)+D(4)+D(3)+D(2)+D(1)=48+16+20+8+8+4+3+2+1+1+1=112. \begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first factor f1f_1 can be any divisor d>1,d \gt 1, after which the rest is an ordered factorization of n/d.n/d. So D(n)=∑d∣n, d>1D(n/d),D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(n/d), with D(1)=1.D(1) = 1.

Computing over the divisors of 96=25⋅3:96 = 2^5\cdot 3: D(2)=D(3)=1,D(2) = D(3) = 1, D(4)=2,D(4) = 2, D(6)=3,D(6) = 3, D(8)=4,D(8) = 4, D(12)=8,D(12) = 8, D(16)=8,D(16) = 8, D(24)=20,D(24) = 20, D(32)=16,D(32) = 16, D(48)=48.D(48) = 48.

Finally D(96)=D(48)+D(32)+D(24)+D(16)+D(12)+D(8)+D(6)+D(4)+D(3)+D(2)+D(1)=48+16+20+8+8+4+3+2+1+1+1=112. \begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

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